劉帥　鄔雯雯

（1.大連理工大學(xué)，遼寧大連　116024；2.咸陽師范學(xué)院，陜西咸陽　712000）

玫瑰線的曲率積分是定值

劉帥1鄔雯雯2

（1.大連理工大學(xué)，遼寧大連116024；2.咸陽師范學(xué)院，陜西咸陽712000）

玫瑰線是一種重要曲線，極坐標(biāo)下通過改變參數(shù)而得到不同葉子半徑和數(shù)量的優(yōu)美曲線，一般情況下參數(shù)n取正整數(shù)時(shí)得到閉合圖形。而曲率是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度，曲率問題是工程技術(shù)中的常見問題。通過求解玫瑰線的曲率對(duì)曲線的積分，在不同的參數(shù)n下分析得到一個(gè)玫瑰線全曲率的普遍規(guī)律。

玫瑰線參數(shù)方程 曲率積分全曲率

玫瑰線是一種具有周期性且包絡(luò)線為圓弧的重要曲線，它的極坐標(biāo)方程為：ρ=asin（ nθ），而玫瑰線的幾何結(jié)構(gòu)取決于方程參數(shù)的取值，不同的參數(shù)決定了玫瑰線的大小，葉子的數(shù)目和周期的可變性。這里參數(shù)a（包絡(luò)半徑）控制葉子的長(zhǎng)短，參數(shù)n控制葉子的個(gè)數(shù)，葉子的大小及周期的長(zhǎng)短。如，n分別取2，3，3/2時(shí)分別對(duì)應(yīng)的是三葉、四葉和六葉玫瑰線如圖1所示。通過計(jì)算機(jī)的大量實(shí)驗(yàn)得到玫瑰線的一些特性如下：

特性1：當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，若n為奇數(shù)，則玫瑰線的葉子數(shù)為n，閉合周期為π，即θ角在0-π內(nèi)玫瑰線是閉合的。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，玫瑰線的葉子數(shù)為2，閉合周期為2π，即θ角取值在0-2π內(nèi)玫瑰線才是閉合和完整的。

特性2：當(dāng)n為非整數(shù)的有理數(shù)時(shí)，設(shè)為L(zhǎng)/W，且L/W為簡(jiǎn)約分?jǐn)?shù)，此時(shí)L與W不可能同時(shí)為偶數(shù)。L決定玫瑰線的葉子數(shù)，W決定玫瑰線的閉合周期（Wπ或2Wπ，見特性3）及葉子的寬度，W越大，葉子越寬。但W也會(huì)同時(shí)影響葉子數(shù)的多少，對(duì)同一奇數(shù)值L，在W分別取奇數(shù)和偶數(shù)值時(shí)，葉子數(shù)也是不同的。

特性3：當(dāng)L或W中有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，玫瑰線的葉子數(shù)為2L，閉合周期為2Wπ。當(dāng)L或W同為奇數(shù)時(shí)，玫瑰線的葉子數(shù)為L(zhǎng)，閉合周期為Wπ。換句話說，生成偶數(shù)個(gè)葉子的玫瑰線，L或W中必須有且只有一個(gè)為偶數(shù)值，且L為葉子數(shù)的一半，而生成奇數(shù)個(gè)葉子的玫瑰線，L和W都必須為奇數(shù)，且L值就是葉子數(shù)。圖2是一些不同參數(shù)下的玫瑰線圖形。

這里僅研究n取值為正整數(shù)時(shí)候的玫瑰線。

曲線的曲率是曲線傾角對(duì)其弧長(zhǎng)的變化率，它合理而準(zhǔn)確地刻畫了曲線在一點(diǎn)的彎曲程度。它針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。直角坐標(biāo)下，將玫瑰線在其弧長(zhǎng)上每一點(diǎn)的曲率作以積分就得到了玫瑰線的全曲率。

圖1　左為n=4時(shí)八葉玫瑰線，右為n=3時(shí)三葉玫瑰線

圖2　不同參數(shù)下玫瑰線的圖形

經(jīng)計(jì)算，

帶入

化簡(jiǎn)得

當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，2θπ-，上述積分在積分區(qū)間內(nèi)分為三段：

于是，得到在n取正整數(shù)時(shí)，玫瑰線的全曲率的一般規(guī)律。當(dāng)玫瑰線的極坐標(biāo)方程中的參數(shù)為奇數(shù)時(shí)，曲率對(duì)曲線的積分為2π，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，曲率對(duì)曲線的積分為4π。因此我們發(fā)現(xiàn)，雖然不同參數(shù)下的玫瑰線圖形不一樣，但是其曲線的彎曲程度在連續(xù)變化中所轉(zhuǎn)過的角度是一致的。

［1］大連理工大學(xué).工科微積分［M］.第2版.大連.大連理工大學(xué)出版社，2007（2）：136.