蔣馳，張小飛，張立岑

南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京210016

面陣中降維Capon的二維DOA估計(jì)

蔣馳，張小飛，張立岑

南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京210016

提出了面陣中基于降維Capon的二維波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）估計(jì)算法.先求得接受信號(hào)的協(xié)方差矩陣，再對(duì)其變換式進(jìn)行譜峰搜索估計(jì)出一個(gè)參數(shù)，進(jìn)而通過(guò)最小二乘估計(jì)出第2個(gè)參數(shù).采用一維全局搜索實(shí)現(xiàn)二維DOA的聯(lián)合估計(jì)，可避免二維Capon算法由二維譜峰搜索帶來(lái)的巨大計(jì)算量，從而大大降低了計(jì)算復(fù)雜度，且角度估計(jì)性能非常接近于二維Capon算法.該算法既可以實(shí)現(xiàn)二維角度的自動(dòng)配對(duì)，又可以精確地估計(jì)出相同方位角（或仰角）的信源，其優(yōu)越性均可在文中得到驗(yàn)證.

面陣；波達(dá)方向估計(jì)；降維Capon

陣列信號(hào)處理在通信、雷達(dá)、聲納和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1-5］，并受到了高度重視.其本質(zhì)是通過(guò)空間分散排列的傳感器陣列和多通道接收可以獲取信號(hào)的時(shí)域和空域等多維信息，同時(shí)利用這些信息來(lái)檢測(cè)信號(hào)和提取參數(shù)，具有靈活、信號(hào)增益高、抗干擾能力強(qiáng)以及空間分辨能力好等諸多優(yōu)點(diǎn).在陣列信號(hào)處理中，波達(dá)方向（direction of arrival，DOA）估計(jì)無(wú)疑是一個(gè)非常重要的技術(shù)，已經(jīng)成為研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn).DOA估計(jì)方法主要包括多重信號(hào)分類(lèi)（multiple signal classification，MUSIC）方法［6-7］、借助于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)（estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT）算法［8-10］、傳播算子算法（propagator method，PM）［11］和Capon算法［12］等.

在DOA估計(jì)中，由于一維參數(shù)估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中存在局限性，近年來(lái)二維DOA估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的一個(gè)標(biāo)志性方向成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)［13-21］，包含二維MUSIC算法［18］、二維ESPRIT算法［19］、二維PM算法［20］和二維Capon算法等.

二維Capon算法利用抑制噪聲及非信源方向上的干擾，并根據(jù)信源方向上的信號(hào)功率不變的準(zhǔn)則來(lái)準(zhǔn)確估計(jì)二維DOA.該算法需要在二維參數(shù)空間中通過(guò)二維譜峰搜索過(guò)程估計(jì)DOA，計(jì)算量巨大，故在實(shí)際中難以應(yīng)用.因此，本文對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種適用于面陣情況下的降維Capon算法，以實(shí)現(xiàn)二維DOA的估計(jì).該算法采用一維全局搜索實(shí)現(xiàn)二維DOA的聯(lián)合估計(jì)，不但避免了二維Capon算法復(fù)雜的計(jì)算量，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度，而且其角度估計(jì)性非常接近于二維Capon算法，此外還可以很好地實(shí)現(xiàn)二維角度的自動(dòng)配對(duì).本文推導(dǎo)了該算法的估計(jì)誤差方差和克拉美羅界（Cramer-Rao bound，CRB）.

圖1　均勻面陣的陣元結(jié)構(gòu)［1］Figure 1 Structure of the uniform planar array［1］

1　數(shù)據(jù)模型

圖1是一個(gè)M×N的矩形面陣，其中相鄰陣元間距為d.考慮到遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的信源足夠遠(yuǎn)，可以認(rèn)為信號(hào)到達(dá)陣列時(shí)是平行波.假設(shè)噪聲與信號(hào)獨(dú)立，且為加性獨(dú)立同分布的高斯噪聲.假設(shè)有K個(gè)非相干信源，第k個(gè)信源對(duì)應(yīng)的仰角和方位角分別表示為θk和φk，定義uk=sinφksinθk，vk=cosφksinθk.

矩形面陣中第1個(gè)子陣列的接收信號(hào)為x1（t）=Axs（t）+n1（t），其中Ax=［ax（v1），ax（v2），···，ax（vK）］，而ax（vk）=［1，e-j2πdvk/λ，···，e-j2π（M-1）dvk/λ］T，［·］T表示轉(zhuǎn)置，λ為信號(hào)波長(zhǎng). n1（t）為第1個(gè)子陣的加性高斯白噪聲.s（t）∈CK×1為信源矢量.矩形面陣中第n個(gè)子陣的接收信號(hào)可以表示為xn（t）=AxΨn-1s（t）+nn（t），其中Ψ=diag（e-j2πdu1/λ，···，e-j2πduK/λ），diag（·）為對(duì)角化算子，nn（t）為第n個(gè)子陣的加性高斯白噪聲.陣列的接收信號(hào)可以表示為

式中，Ay=［ay（u1），ay（u2），···，ay（uK）］，ay（uk）=［1，e-j2πduk/λ，···，e-j2π（N-1）duk/λ］T，?表示Khatri-Rao積，n（t）=［n1（t）T，n2（t）T，···，nN（t）T］T.Ay?Ax=［ay（u1）?ax（v1），···，ay（uK）?ax（vK）］.因此，式（1）也可以重新寫(xiě)為

2　面陣下的二維DOA估計(jì)

2.1二維Capon算法

構(gòu)造二維Capon空間譜函數(shù)為［1］

2.2降維Capon算法

降維Capon算法作為二維Capon算法的一種改進(jìn)算法，采用一維全局搜索實(shí)現(xiàn)二維DOA的聯(lián)合估計(jì)，可以大大降低計(jì)算復(fù)雜度［21］.文獻(xiàn)［21］針對(duì)二維Capon算法巨大的計(jì)算量，提出了一種應(yīng)用于MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的降維Capon算法.本文將降維Capon算法推廣到面陣中實(shí)現(xiàn)二維角度的聯(lián)合估計(jì)，并提出適用于面陣下二維DOA估計(jì)的降維Capon算法.

下面介紹本文提出的降維Capon算法的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程.定義

式（4）也可以表示為［21］

構(gòu)造代價(jià)函數(shù)L（θ，φ）=ax（v）HQ（u）ax（v）-λ，其中λ為一個(gè)常量，對(duì)ax（v）求導(dǎo)，有

由式（7）可得ax（v）=μQ（u）-1e1，其中μ為一個(gè)常量.由于，結(jié)合ax（v）= μQ（u）-1e1，可得.代入求得ax（v）為

式（9）也可以寫(xiě)為

對(duì)u在u∈［-1，+1］內(nèi)進(jìn)行全局搜索，找到Q（u）-1第（1，1）個(gè)元素的最大值.根據(jù)式（8），通過(guò)最大的K個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的uk（k=1，···，K）得到K個(gè)矢量

式中，angle（·）為取復(fù)矩陣中每個(gè)元素的相位，可寫(xiě)成gk=［0，2πdvk/λ，···，（M-1）2πdvk/ λ］T=vkq，其中q=［0，2πd/λ，···，（M-1）2πd/λ］T，用最小二乘法估計(jì)vk.歸一化導(dǎo)向矢量的估計(jì)值為，然后根據(jù)式（11）由歸一化的得到

現(xiàn)在用最小二乘擬合去估計(jì)vk.最小二乘法為，其中表示F范數(shù)，P=［1M，q］，ck=［ck0，vk］T∈R2×1是一個(gè)未知的參數(shù)矢量，ck0為參數(shù)誤差估計(jì)值.通過(guò)最小二乘結(jié)果，可得信源方向的仰角和方位角分別為

至此已明確給出了在面陣中使用降維Capon算法來(lái)進(jìn)行二維DOA聯(lián)合估計(jì)的方法.算法的主要步驟如下：

步驟2通過(guò)全局搜索，找到Q（u）-1第（1，1）個(gè)元素中最大的K個(gè)峰值，得到對(duì)應(yīng)的uk（k=1，···，K）的估計(jì)值，根據(jù)式（8）得到，然后利用最小二乘得到vk（k=1，···，K）的估計(jì)值，其計(jì)算復(fù)雜度為O（M3N3+n1［N2（M+1）+2（M2N3+MN3+N3+N2+N）］）.

2.3復(fù)雜度分析

相對(duì)于使用譜峰搜索方法的二維Capon算法，本文算法的計(jì)算復(fù)雜度很低.該算法的主要計(jì)算復(fù)雜度為O（LM2N2+M3N3+n1［N2（M+1）+2（M2N3+MN3+N3+N2+ N）］），其中n1為一維全局范圍［-1，1］內(nèi)搜索u的步數(shù).二維Capon算法的計(jì)算復(fù)雜度為O，其中n2為全局范圍［-90?，90?］內(nèi)搜索θ和φ的步數(shù).

2.4算法優(yōu)點(diǎn)

1）可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配對(duì)的二維角度估計(jì)；

2）只需一維全局搜索，而二維Capon算法需要二維全局搜索；

3）角度估計(jì)性能接近于二維Capon算法；

4）可以在相同方位角（或仰角）的信源下有效地工作.

以上這些優(yōu)點(diǎn)可以在下文的仿真結(jié)果分析中得到驗(yàn)證.

3　性能分析

本小節(jié)分析了本文算法的角度估計(jì)性能.建立本算法的二維DOA估計(jì)的大樣本均方誤差（mean-square error，MSE），同時(shí)推導(dǎo)二維DOA估計(jì)的CRB.本小節(jié)旨在尋找下面公式的最小值］，其中限制ax（v）的第1個(gè)元素為1.

式中，riξ表示由ri和之間線段上的一些值組成的矢量.根據(jù)式（15）可得矢量ri的估計(jì)誤差

由式（17）可知變量uk的估計(jì)誤差為=Φkk（1，1），而vk的估計(jì)誤差為= Φkk（2，2）.uk和vk的估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣為E［?vk?uk］=Φkk（2，1）.

根據(jù)式（12）和（13），得到方位角和仰角的MSE分別為

下面給出均勻矩陣下角度估計(jì)的CRB［22］

4　仿真結(jié)果分析

對(duì)降維Capon算法估計(jì)二維DOA進(jìn)行仿真，并且用角度的求根均方誤差（root mean square error，RMSE）清晰直觀地反映本文算法的性能.至此，定義角度的RMSE為

式中，T為仿真次數(shù)，ωkm為第m次仿真中第k個(gè)信源仰角（或方位角）的估計(jì)值，K為信源數(shù)目，ωk為仰角（或方位角）的精確值.

為表述方便，定義目標(biāo)數(shù)目為K，快拍數(shù)為L(zhǎng)，面陣陣元數(shù)為M×N.不失一般性，以下仿真過(guò)程中均設(shè)N=8.

4.1確定信噪比（signal to noise ratio，SNR）的情況下3個(gè)不同信源的仿真

當(dāng)SNR為5 dB時(shí)，3個(gè)不同信源的仿真結(jié)果如圖2所示，其中M=8，3個(gè)不同信源的仰角和方位角分別為（10?，20?）、（20?，30?）、（30?，40?），可以看出該算法能有效地估計(jì)出仰角和方位角.

圖2　降維Capon算法的二維DOA估計(jì)（L=100，M=8，K=3，N=8和SNR=5 dB）Figure 2 2D DOA estimation performance with RD-Capon algorithm（L=100，M=8，K=3，N=8 and SNR=5 dB）

4.2不同快拍數(shù)情況下的角度估計(jì)性能仿真

圖3針對(duì)不同快拍數(shù)情況下的角度估計(jì)性能進(jìn)行仿真.從圖3中可以看出，仰角和方位角的σRMSE值隨著快拍數(shù)的增加而變小，算法的性能也變好.因?yàn)椴蓸訑?shù)據(jù)隨著快拍數(shù)的增加而增加，從而得到更加精確的協(xié)方差矩陣，所以得到的角度估計(jì)性能越好.

圖3　不同L情況下的仰角和方位角的估計(jì)性能（M=6，N=8和K=3）Figure 3 Elevation and azimuth estimation performance with diferent L（M=6，N=8 and K=3）

4.3不同陣元數(shù)情況下的角度估計(jì)性能仿真

圖4仿真了不同陣元數(shù)情況下的角度估計(jì)性能.從圖4中可以看出，仰角和方位角的σRMSE值隨著陣元數(shù)的增加而變小，算法的性能也得到提升，這是因?yàn)殛囋獢?shù)的增加而使分集增益增加的緣故.

圖4　不同M情況下的仰角和方位角的估計(jì)性能（L=100，N=8和K=3）Figure 4 Elevation and azimuth estimation performance with diferent M（L=100，N=8 and K=3）

4.4不同信源數(shù)情況下的角度估計(jì)性能仿真

圖5展示了不同信源數(shù)情況下的角度估計(jì)性能.從圖5中可以看出，仰角和方位角的σRMSE值隨著信源數(shù)的增加而變大，算法的性能也變差.這是因?yàn)樾旁磾?shù)增加會(huì)導(dǎo)致信源間的干擾變大，角度估計(jì)性能變差.

圖5　不同K情況下的仰角和方位角的估計(jì)性能（L=100，M=6和N=8）Figure 5 Elevation and azimuth estimation performance with diferent K（L=100，M=6 and N=8）

4.5與二維Capon算法估計(jì)二維DOA的性能以及CRB的對(duì)比

圖6是本文提出的降維Capon算法和二維Capon算法估計(jì)二維DOA的性能對(duì)比圖，并把這兩種算法的性能與CRB進(jìn)行比較.顯然，本文算法（RD-Capon）在同時(shí)估計(jì)仰角和方位角情況下的性能與二維Capon算法相近，且在較高信噪比情況下非常逼近于二維Capon算法.盡管該算法為了降低計(jì)算復(fù)雜度而犧牲了部分性能，但在圖6中可以清晰地看出，只要信噪比稍大一些，該算法性能和二維Capon算法性能非常逼近，因此較二維Capon算法有更寬廣的應(yīng)用范圍.

圖6　不同算法的仰角和方位角的估計(jì)性能（L=100，M=6，N=8和K=3）Figure 6 Elevation and azimuth estimation performance with diferent algorithm（L=100，M=6，N=8 and K=3）

4.6相同仰角的信源進(jìn)行角度估計(jì)的性能仿真

如圖7所示，本文算法可以很好地估計(jì)出相同仰角的信源.

圖7　相同仰角情況下信源的估計(jì)（L=100，M=8，N=8，K=3和SNR=30 dB）Figure 7 2D DOA estimation with the same elevation source（L=100，M=8，N=8，K=3 and SNR=30 dB）

4.7相同方位角的信源進(jìn)行角度估計(jì)的性能仿真

如圖8所示，本文算法可以準(zhǔn)確地估計(jì)出相同方位角的信源.因?yàn)樵撍惴ㄊ枪烙?jì)角度對(duì)（θk，φk）的綜合信息uk和vk，即使θk（或φk）相同，本文算法依然能很好地工作.

圖8　相同方位角情況下信源的估計(jì)（L=100，M=8，N=8，K=3和SNR=30 dB）Figure 8 2D DOA estimation with the same azimuth source（L=100，M=8，N=8，K=3 and SNR=30 dB）

5　結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種應(yīng)用在面陣下的二維DOA聯(lián)合估計(jì)算法––降維Capon算法.該算法采用一維全局搜索實(shí)現(xiàn)二維DOA的聯(lián)合估計(jì)，由于只需一維搜索，成功地避免了二維Capon算法由譜峰搜索過(guò)程帶來(lái)的的巨大計(jì)算量，大大降低了復(fù)雜度，同時(shí)性能非常接近于二維Capon算法估計(jì)性能；也可以實(shí)現(xiàn)二維角度的自動(dòng)配對(duì)；還可以精確地估計(jì)出相同方位角（或仰角）的信源.因此，該算法更加高效，適用范圍也更加廣泛.

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（編輯：秦?。?/p>

Two-Dimensional DOA Estimation for Planar Array via Reduced-Dimension Capon

JIANG Chi，ZHANG Xiao-fei，ZHANG Li-cen
College of Electronic Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

This paper discusses estimation of two-dimensional（2D）direction of arrival（DOA）for a planar array，and derives a reduced-dimension Capon（RD-Capon）algorithm. The frst parameter is obtained by searching the spectrum peak of transformation of the covariance matrix，obtained from the received signal.The second parameter is estimated using least squares.The algorithm uses one-dimensional global search to achieve a joint estimation of 2D DOA.This algorithm based on one-dimension local searches can avoid high computational cost within 2D-Capon algorithm by spectrum peak search，with the performance close to the 2D-Capon algorithm.The proposed algorithm can obtain automaticallypaired 2D DOA estimation for planar array.It works well for the sources with the same azimuth（or elevation）.Simulation results verify the usefulness of the algorithm.

planar array，direction of arrival（DOA）estimation，reduced-dimension Capon（RD-Capon）

TN92

0255-8297（2015）02-0167-11

10.3969/j.issn.0255-8297.2015.02.006

2014-04-03；

2014-10-14

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61371169）；江蘇省博士后科研項(xiàng)目基金（No.1201039C）；中國(guó)博士后基金（No.2012M521099）；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程項(xiàng)目基金；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金（No.NZ2012010）；南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地（實(shí)驗(yàn)室）開(kāi)放基金（No.kfjj120115）資助

張小飛，教授，博導(dǎo)，研究方向：陣列信號(hào)處理、通信信號(hào)處理、移動(dòng)通信技術(shù)等，E-mail：zhangxiaofei@nuaa.edu.cn