陳可嘉　周曉敏

福州大學(xué)，福州，350108

多目標置換流水車間調(diào)度的改進食物鏈算法

陳可嘉周曉敏

福州大學(xué)，福州，350108

針對目標函數(shù)為最小化最大完成時間和總延遲時間的多目標置換流水車間調(diào)度問題，提出了一種改進的食物鏈算法。該算法在食物鏈算法的基礎(chǔ)上，引入基于Pareto最優(yōu)解的快速非支配性排序和個體擁擠距離計算，增強了算法的尋優(yōu)性能。對OR-Library三個典型算例的優(yōu)化比較表明，該算法在解的質(zhì)量上明顯超越NSGA-Ⅱ算法。

置換流水車間調(diào)度；多目標優(yōu)化；食物鏈算法；Pareto最優(yōu)解

0　引言

流水車間調(diào)度問題作為許多實際流水線生產(chǎn)調(diào)度的簡化模型，是生產(chǎn)調(diào)度中的一個重要研究對象。在實際生產(chǎn)中，生產(chǎn)者追求的目標并不是單一的，往往要求生產(chǎn)能夠滿足多個目標。因此，多目標流水車間調(diào)度問題更加符合生產(chǎn)制造的實際情況，具有研究的現(xiàn)實意義。Ishibuchi等[1]提出了基于局部搜索的遺傳算法，求解了以最小化最大完成時間和最大延遲時間為目標的流水車間調(diào)度問題。Ravindran等[2]分析了最小化最大完成時間和最小化總流程時間的雙目標流水車間調(diào)度問題，設(shè)計了三種啟發(fā)式算法。Yagmahan等[3]采用蟻群算法，解決了以最小化最大完成時間和總流程時間為目標的流水車間調(diào)度問題。Lee等[4]針對目標函數(shù)為最小化加權(quán)延遲時間和最大完成時間的流水車間調(diào)度問題，給出了遺傳算法。多目標置換流水車間調(diào)度要求每臺機器上工件加工順序相同，是一類典型多目標流水車間調(diào)度問題，受到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注。Pasupathy等[5]研究了以最小化最大完成時間和總流程時間為目標的置換流水車間調(diào)度問題，提出了基于Pareto最優(yōu)解的遺傳算法。Lemesre等[6]應(yīng)用精確并行方法，解決了目標函數(shù)為最小化最大完成時間和總延遲時間的置換流水車間調(diào)度問題。Qian等[7]探討了具有有限緩沖區(qū)的同時最小化最大完成時間和最大延遲時間的多目標置換流水車間調(diào)度問題，給出了混合差分進化算法。Dubois-Lacoste等[8]將最大完成時間、總完成時間、無加權(quán)總延遲時間、加權(quán)總延遲時間組合成五類雙目標置換流水車間調(diào)度問題，設(shè)計了基于兩階段局部搜索和Pareto局部搜索的混合算法。Arroyo等[9]針對最小化最大完成時間、最大延遲時間、總流程時間的多目標置換流水車間調(diào)度問題，提出了基于貪婪隨機自適應(yīng)搜索的啟發(fā)式算法。不難看出，智能算法已逐漸成為求解多目標流水車間調(diào)度問題的重要工具，對于智能算法的探索加快了復(fù)雜多目標置換流水車間調(diào)度問題的求解，使得結(jié)果更加貼近實際需求。

近年來，國內(nèi)學(xué)者對多目標置換流水車間調(diào)度問題的關(guān)注也越來越多。楊開兵等[10]將遺傳算法與局部搜索相結(jié)合，求解了帶調(diào)整時間的以最小化最大完成時間和最大延遲時間為目標的置換流水車間調(diào)度問題。董興業(yè)等[11]針對最小化最大完成時間和總流程時間的多目標置換流水車間調(diào)度問題，給出了局部搜索算法。秦艷[12]采用改進交叉策略的遺傳算法，解決了加權(quán)形式的多目標置換流水車間調(diào)度問題。顯然，國內(nèi)學(xué)者在研究多目標置換流水車間調(diào)度問題時，注重對現(xiàn)有算法進行改進，從而完善算法性能，提高算法精度。

食物鏈算法是模擬生態(tài)系統(tǒng)中食物鏈現(xiàn)象而提出的一種新型人工生命算法，具有魯棒性強、并行處理容易等優(yōu)點，已在供應(yīng)鏈計劃[13]、分銷網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[14]等問題中取得了良好的應(yīng)用效果。食物鏈與流水車間之間具有鏈式結(jié)構(gòu)相似性，食物鏈算法對于多目標置換流水車間調(diào)度優(yōu)化問題有著獨特的優(yōu)勢。然而，從國內(nèi)外已有文獻來看，將食物鏈算法應(yīng)用于流水車間調(diào)度問題的研究相對較少，將食物鏈算法與多目標置換流水車間問題相結(jié)合的研究更少?；诖?，本文設(shè)計了多目標置換流水車間調(diào)度的改進食物鏈算法，通過算例分析，驗證了算法的有效性。

1　問題描述

1.1多目標優(yōu)化問題

假設(shè)求解多目標最小化問題，多目標優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)形式可描述為[15]

(1)

其中，x為決策向量，y為目標向量，X為決策向量x形成的決策空間，Y為目標向量y形成的目標空間。F()為將x映射至目標向量空間的優(yōu)化函數(shù)，gi(x)≤0(i=1,2,…,h)為x需要滿足的h個約束條件。

定義1Pareto支配。設(shè)Xf為多目標優(yōu)化問題的可行解集，F(xiàn)(x)={f1(x),f2(x),…,fk(x)}為目標向量，xk∈Xf，xl∈Xf，則稱xkPareto支配xl(簡稱支配，記作xkxl)。當(dāng)且僅當(dāng)下式成立時，xkPareto支配xl：

(2)

定義2Pareto最優(yōu)解。如果在某一集合中不存在其他解x′Pareto支配x，則稱x為該集合中的Pareto非支配解(簡稱非支配解)；如果x為多目標優(yōu)化問題整個可行解集中的Pareto非支配解，則稱x為該問題的Pareto最優(yōu)解。

定義3Pareto最優(yōu)前沿。一個多目標優(yōu)化問題所有的Pareto最優(yōu)解對應(yīng)的目標向量集合，構(gòu)成了該問題的Pareto最優(yōu)前沿。

1.2多目標置換流水車間調(diào)度問題

流水車間調(diào)度問題是研究m臺機器上n個工件的流水加工過程，每個工件以相同順序依次經(jīng)過各臺機器的加工，同時約定每個工件在每臺機器上只加工一次，每臺機器一次在某一時刻只能夠加工一個工件，各個工件在各臺機器上所需的加工時間已知。進一步，若約定每臺機器上各個工件的加工順序相同，則稱其為置換流水車間調(diào)度問題。

本文多目標置換流水車間調(diào)度問題的優(yōu)化目標是：確定各個工件在每臺機器上的最優(yōu)加工順序，使得最大完成時間以及總延遲時間達到最小，最大完成時間越小意味著機器的利用率越高，總延遲時間越小意味著所有工件滿足交貨期的總體情況越好。

對于多目標置換流水車間調(diào)度問題有如下的數(shù)學(xué)模型：

(3)

s.t.C(1,1)=t(1,1)

(4)

C(1,j)=C(1,j-1)+t(1,j)

j=2,3,…,m

(5)

C(i,1)=C(i-1,1)+t(i,1)

i=2,3,…,n

(6)

C(i,j)=max{C(i-1,j);C(i,j-1)}+t(i,j)

(7)

i=2,3,…,n;j=2,3,…,m

Ci=C(i,m)=max{C(i-1,m);C(i,m-1)}+t(i,m)i=2,3,…,n

(8)

Cmax=C(n,m)

(9)

ti=max{0,Ci-di}i=1,2,…,n;j=1,2,…,m

(10)

s(i,j)+t(i,j)≤s(i+1,j)i=1,2,…,n;j=1,2,…,m

(11)

s(i,j)+t(i,j)≤s(i,j+1)i=1,2,…n;j=1,2,…,m

(12)

s(i,j)+t(i,j)=C(i,j)i=1,2,…n;j=1,2,…,m

(13)

s(i,j)≥0,C(i,j)≥0i=1,2,…n;j=1,2,…,m

(14)

式(4)～式(9)表示最大完成時間Cmax的計算過程；式(10)表示工件Ji的延遲時間等于工件Ji完成時間和交貨期的差值與零之間的較大者；式(11)表示在某一時刻，機器Mj上最多只能加工一個工件；式(12)表示所有工件的工藝路線均相同；式(13)表示工件Ji在機器Mj上結(jié)束加工時間等于該工件在機器Mj上開始加工時間加上加工時間；式(14)為非負約束。

2　算法設(shè)計

2.1食物鏈算法介紹

食物鏈算法是根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)中食物鏈這一重要的生態(tài)現(xiàn)象，借鑒行為生態(tài)學(xué)理論，利用具有一定自主推理且自主決策、能夠與環(huán)境動態(tài)交互的人工生命來仿真食物鏈物種之間的捕食行為和進化特征，所構(gòu)造的一類具有食物鏈形式的人工生命算法。食物鏈算法的基本步驟如下[13-14]：

清華大學(xué)老校長梅貽琦說過，“大學(xué)之謂，非大樓也”?，F(xiàn)在大學(xué)房子越蓋越豪華，但是教授越來越不像教授，學(xué)生越來越不像學(xué)生，大學(xué)精神不斷淪落，大學(xué)校園彌漫的學(xué)術(shù)不端氛圍，令人憂慮。高校、科研機構(gòu)擔(dān)負著傳承文化、弘揚正義的職責(zé)。如果為人師表者學(xué)術(shù)道德失守，不僅有辱學(xué)術(shù)尊嚴，還會誤導(dǎo)學(xué)生、搞壞學(xué)術(shù)風(fēng)氣。韓愈說，“師者，傳道、授業(yè)、解惑也”。教師除了教給學(xué)生學(xué)問外，更有義務(wù)教給他們做人的道理、做學(xué)問的道德。如果教師自身學(xué)術(shù)不端，即使道貌岸然給學(xué)生講學(xué)術(shù)道德，學(xué)生也聽不進去。

(2)覓食。人工生命個體在鄰域范圍內(nèi)進行覓食，尋找最優(yōu)的食物資源。若找到，則設(shè)當(dāng)前最優(yōu)食物資源位置為局部最優(yōu)解，并增加能量Ee。若當(dāng)前局部最優(yōu)解優(yōu)于歷史全局最優(yōu)解，則更新全局最優(yōu)解。若沒有找到，則消耗能量Ep。所有人工生命個體都要完成一次覓食搜索。

(3)位置更新。所有人工生命個體移動到當(dāng)前最優(yōu)食物資源位置。

(5)循環(huán)控制。每完成一次人工生命集的新陳代謝，迭代次數(shù)K增加1。若迭代次數(shù)K

2.2改進食物鏈算法設(shè)計

多目標優(yōu)化問題的傳統(tǒng)處理方法是給各個目標附加權(quán)重，將多目標轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題，從而求得唯一最優(yōu)解。然而在實際多目標優(yōu)化問題中，各個目標之間往往是相互制約、相互沖突的，同時決策者對于權(quán)重系數(shù)的選擇存在主觀因素，因此求解出多目標優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集，更加有利于決策者制定正確的決策。NSGA-Ⅱ是公認的最為有效的多目標進化算法之一[16]，它對NSGA進行了改進，采用快速非支配排序，將種群中的個體進行分層，降低了計算的復(fù)雜性；通過計算個體的擁擠距離，判斷個體的分布是否均勻，提高了Pareto最優(yōu)解的分布性?；谝陨蟽?yōu)點，本文引入NSGA-Ⅱ的快速非支配排序和個體擁擠距離計算，改進食物鏈算法，用于求解多目標置換流水車間調(diào)度問題。改進食物鏈算法的流程圖如圖1所示，具體計算步驟如下：

圖1　改進食物鏈算法流程圖

(1)初始化。定義N個人工生命個體，構(gòu)成初始人工生命集。人工生命個體包括3個部分：第一部分采用基于工序的編碼方法，n個元素是n個工件號隨機排序形成的可行解；第二部分的2個元素為根據(jù)該可行解計算出的2個目標函數(shù)值；第三部分的2個元素分別是根據(jù)第二部分函數(shù)值進行快速非支配排序得到的個體等級數(shù)以及計算得到的個體擁擠距離，在初始化階段，該部分為空，在新陳代謝階段，該部分將被計算。例如，對于工件數(shù)量n=4、機器數(shù)量m=3的置換流水車間調(diào)度問題，加工時間矩陣t和交貨期矩陣d(本文加工時間和交貨期均為量綱一參量)為

(2)覓食。在算法的覓食階段，對人工生命個體中第一部分的元素排序進行調(diào)整，并重新計算第二部分的目標函數(shù)值。本文采用可變鄰域?qū)崿F(xiàn)覓食，通過可變鄰域，使得覓食的方向多樣化，提高覓食的遍歷性?？勺冟徲蛟O(shè)置為δ=δinitial-mod(K,10)×(δinitial/10)，其中，δinitial為初始鄰域，mod(K,10)為求K/10的余數(shù)。為了保證至少調(diào)整兩個元素，通過計算max(2,δn)，確定人工生命個體中需要調(diào)整的元素個數(shù)。對于步驟(1)所生成的人工生命個體Gk1，假設(shè)δinitial=0.5，K=6，因此δ=0.2，max(2,δn)=2。隨機選出2個元素，假設(shè)為元素“4”和元素“1”，對這兩個元素隨機排序，得到新人工生命個體Gk2：(1-3-4-2)-(32-14)-(null-null)。對新個體和原個體進行非支配排序，可以看出，新個體的兩個目標函數(shù)值都比原個體的兩個目標函數(shù)值小，新個體支配原個體，此次覓食成功，個體更新。若新個體的兩個目標函數(shù)值，一個比原個體大，一個比原個體小，則這兩個個體處于同一非支配等級上，個體不更新；若新個體的兩個目標函數(shù)值都比原個體要大，原個體支配新個體，個體也不更新；對于這兩種情況，原個體沒有覓食成功。

(3)位置更新。當(dāng)人工生命集中所有人工生命個體且完成覓食行為后，形成一個新的人工生命集，其中的人工生命個體實現(xiàn)了位置的優(yōu)化和更新。

(4)新陳代謝。在算法的新陳代謝階段，選取成熟的人工生命個體繁殖產(chǎn)生下一代新的人工生命個體，以彌補死亡的人工生命個體，使人工生命集中的個體數(shù)量保持不變。在選擇成熟人工生命個體時，引入快速非支配排序及個體擁擠距離計算的方法，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的適應(yīng)值計算比較，以便能夠更加有效地選出成熟人工生命個體。

非支配排序就是按照Pareto支配的定義，確定人工生命個體的非支配性?？焖俜侵渑判颍菍⑷斯ど械娜斯ど鼈€體按照非支配性進行分層，每一層人工生命個體的非支配性相同。具體過程為：首先，找出當(dāng)前人工生命集中的所有非支配個體并分配等級1；然后，排除該層非支配個體集，對剩下的個體進行非支配個體集搜索并分配等級2；重復(fù)這個過程，直到人工生命集中的所有個體都被賦予相應(yīng)的等級為止。

通過快速非支配排序及個體擁擠距離計算，實現(xiàn)人工生命個體第三部分等級數(shù)和擁擠距離2個元素的賦值，進而完成新陳代謝。對人工生命個體進行快速非支配排序，賦予等級數(shù)。將人工生命個體按照等級數(shù)從小到大排序，選取前N/2個人工生命個體，采用與覓食行為相同的策略，產(chǎn)生N/2個新人工生命個體。將N/2個新人工生命個體與原來N個人工生命個體混合，再次進行快速非支配排序，更新等級數(shù)。對同一非支配層中的人工生命個體，計算擁擠距離，將人工生命個體按照擁擠距離從大到小排序。通過非支配等級和擁擠距離的雙重排序，淘汰排序靠后的N/2個人工生命個體，保留前N個成熟人工生命個體形成新一代的人工生命集。例如，對于步驟(1)生成的Gk1和步驟(2)生成的Gk2，采用快速非支配排序?qū)λ鼈兎峙涞燃墧?shù)，由于Gk2的兩個目標函數(shù)值都要小于Gk1，因此Gk2分配等級1、Gk1分配等級2。同時，由于Gk2優(yōu)于Gk1，Gk2產(chǎn)生一個新人工生命個體Gk3：(2-1-3-4)-(33-21)-(null-null)。對Gk1、Gk2、Gk3三個人工生命個體再次進行快速非支配排序，Gk1和Gk2等級不變，Gk3分配等級2。假設(shè)三個人工生命個體的擁擠距離分別為0.6、0.7、∞，則Gk1：(4-3-1-2)-(36-15)-(2-0.6)；Gk2：(1-3-4-2)-(32-14)-(1-0.7)；Gk3：(2-1-3-4)-(33-21)-(2-∞)。因此三個人工生命個體的排序為：Gk2-Gk3-Gk1。按照新陳代謝原則，淘汰Gk1。

步驟(5)循環(huán)控制。通過以上步驟，人工生命集完成了一次循環(huán)過程，達到最大循環(huán)次數(shù)后，算法終止。非支配等級為1的所有個體就是算法找到的一組Pareto最優(yōu)解。

3　算例分析

3.1Pareto最優(yōu)解比較指標

本文采用以下兩個指標對算法求得的Pareto最優(yōu)解進行比較：

(1)Pareto最優(yōu)解的個數(shù)。通過將每種算法求得的Pareto最優(yōu)解的個數(shù)進行比較，可以看出不同算法的搜索能力。個數(shù)越多，表明算法搜索能力越強。

(2)C指標。采用文獻[15]中的C指標評價兩種算法產(chǎn)生的Pareto最優(yōu)解集A和B，C指標的計算公式：

(15)

C(A,B)表示B的Pareto最優(yōu)解被A的Pareto最優(yōu)解占優(yōu)支配的個數(shù)占B的Pareto最優(yōu)解總數(shù)的比率，它的取值介于0到1之間。當(dāng)B中任何點都被A中某些點占優(yōu)支配時，C(A,B)=1。當(dāng)B中所有點都不被A中任何點占優(yōu)支配時，C(A,B)=0。一般C(A,B)≠C(B,A)。該指標反映了解的質(zhì)量及算法的收斂性。

3.2算例結(jié)果分析

以文獻[16]提出的NSGA-Ⅱ作為參照算法，它克服了NSGA的缺點，是目前公認的最為有效的多目標進化算法之一。設(shè)置兩種算法的群體規(guī)模均為200，最大迭代次數(shù)均為500，NSGA-Ⅱ的交叉概率和變異概率分別為0.9和0.1，改進食物鏈算法的初始鄰域為0.5。在Intel Core i3-2350M CPU 2.30 GHz處理器、2GB內(nèi)存、Windows XP系統(tǒng)下，以MATLAB實現(xiàn)兩種算法，分別對三個典型算例運算15次，合并各次的解集，剔除其中的劣解，獲得三個典型算例最終的Pareto最優(yōu)解集(圖2～圖4)。結(jié)果顯示，改進食物鏈算法比NSGA-Ⅱ能夠獲得更多的Pareto最優(yōu)解，同時改進食物鏈算法產(chǎn)生的Pareto最優(yōu)解均在NSGA-Ⅱ產(chǎn)生的解的左下方，得出的結(jié)果要優(yōu)于NSGA-Ⅱ。

圖2　兩種算法優(yōu)化REC03算例獲得的Pareto最優(yōu)解集

圖3　兩種算法優(yōu)化REC11算例獲得的Pareto最優(yōu)解集

圖4　兩種算法優(yōu)化REC21算例獲得的Pareto最優(yōu)解集

將改進食物鏈算法與NSGA-Ⅱ兩種算法優(yōu)化三個典型算例的求解統(tǒng)計結(jié)果列于表1。從表1可以看出，對于三個典型算例，改進食物鏈算法求得的Pareto最優(yōu)解個數(shù)均多于NSGA-Ⅱ。C指標結(jié)果更進一步表明，改進食物鏈算法獲得的Pareto最優(yōu)解集A與NSGA-Ⅱ獲得的Pareto最優(yōu)解集B相比，在B中任意一個Pareto最優(yōu)解，A中都存在優(yōu)于它的解。就單次平均計算時間而言，改進食物鏈算法求解三個典型算例的時間均稍長于NSGA-Ⅱ。這主要是由于為了尋找更多的最優(yōu)解，改進食物鏈算法在覓食階段對于Pareto最優(yōu)解的局部搜索花費了較多時間。綜合以上結(jié)果可知，在相同的條件下，雖然改進食物鏈算法的優(yōu)化時間略長于NSGA-Ⅱ，但是改進食物鏈算法對多目標置換流水車間調(diào)度問題的尋優(yōu)能力明顯勝過NSGA-Ⅱ，從而驗證了改進食物鏈算法求解多目標置換流水車間調(diào)度問題的有效性。

表1　求解統(tǒng)計結(jié)果

4　結(jié)語

多目標的置換流水車間調(diào)度問題更加符合實際的生產(chǎn)情況，具有重要的研究意義。本文根據(jù)流水車間與食物鏈具有相似鏈式結(jié)構(gòu)的特點，提出了一種改進的食物鏈算法，并用于求解多目標置換流水車間調(diào)度問題。改進食物鏈算法采用可變鄰域覓食，保證了搜索方向的多樣性及遍歷性；引進快速非支配性排序和個體擁擠距離計算，提高了求解多目標問題的優(yōu)化性能。應(yīng)用改進食物鏈算法對OR-Library三個典型算例進行求解，研究結(jié)果表明，本文給出的算法取得了比NSGA-Ⅱ更加理想的Pareto最優(yōu)解集，具有較好的實際應(yīng)用前景。

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(編輯郭偉)

Improved Food Chain Algorithm for Multi-objective Permutation Flow Shop Scheduling

Chen KejiaZhou Xiaomin

Fuzhou University,Fuzhou,350108

An improved food chain algorithm was proposed for permutation flow shop scheduling with multiple objectives of minimizing makespan and total tardiness. Fast non-dominated sorting and crowded distance estimation were introduced into the food chain algorithm to improve the optimization ability based on Pareto optimal solutions. Three typical OR-Library examples were selected to conduct comparison. Numerical results show that the designed algorithm can obtain much better solutions than NSGA-Ⅱ.

permutation flow shop scheduling; multi-objective optimization; food chain algorithm; Pareto optimal solution

2013-11-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(70901021，71201033)；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助項目(NCET-11-0903)

F406.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.03.011

陳可嘉，男，1978年生。福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院教授、博士。主要研究方向工業(yè)工程、系統(tǒng)工程。周曉敏，女，1988年生。福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院碩士研究生。