李滿宏　張明路　張建華　張小俊

河北工業(yè)大學(xué)，天津，300130

基于運動相對性的六足機(jī)器人機(jī)體運動規(guī)劃

李滿宏張明路張建華張小俊

河北工業(yè)大學(xué)，天津，300130

將處于支撐相的六足機(jī)器人視為時變的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)分析，給出了姿態(tài)給定情況下機(jī)體工作空間的確定方法及邊界方程。在此基礎(chǔ)上基于運動相對性原理，提出將機(jī)體的運動規(guī)劃轉(zhuǎn)化為足端軌跡規(guī)劃的方法，從而簡化機(jī)體運動規(guī)劃中逆解的求取問題，并通過仿真與實驗進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明：六足機(jī)器人在支撐相內(nèi)機(jī)體的工作空間為至多是支撐腿條數(shù)個空心球體的交集，利用運動相對性原理對支撐相內(nèi)機(jī)體的運動規(guī)劃問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化簡便、可行。

六足機(jī)器人；工作空間；相對運動；運動規(guī)劃

0　引言

六足機(jī)器人具有豐富的步態(tài)和冗余的肢體結(jié)構(gòu)，能適應(yīng)復(fù)雜的地理環(huán)境且具有較高的可靠性，在排險、軍事、服務(wù)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。自20世紀(jì)80年代中期以來，國內(nèi)外學(xué)者通過研究、模仿生物系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、運動方式和控制方式，相繼研制成功Genghis、Ariel、SPR-robot等多種性能卓越的六足機(jī)器人[3-5]。伴隨著機(jī)器人的研制，六足機(jī)器人運動學(xué)在穩(wěn)定性判據(jù)、步態(tài)規(guī)劃和軌跡規(guī)劃等方面也取得了豐碩的成果[6-8]。

六足機(jī)器人在運動過程中會存在擺動相和支撐相[9]。擺動相要解決的問題是運動過程中足端軌跡規(guī)劃、避碰和時間節(jié)拍問題，而支撐相需要解決的問題則是各腿協(xié)調(diào)一致實現(xiàn)機(jī)體的移動[10]。目前，針對支撐相運動學(xué)研究相對較少，且主要集中在機(jī)體的工作空間和運動規(guī)劃。六足機(jī)器人在運動過程中支撐腿條數(shù)及其落足點具有不確定性，故可將處于支撐相的六足機(jī)器人視為時變并聯(lián)機(jī)構(gòu)。雖然傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論對于常規(guī)并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間和運動規(guī)劃的求解相對簡單，但其并不完全適用于此種特殊機(jī)構(gòu)，對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)建模及求解難度相對較大。針對六足機(jī)器人機(jī)體的工作空間，文獻(xiàn)中多采用蒙特卡羅等數(shù)值解法[11-13]，其理論價值與實用意義相對有限；而對于六足機(jī)器人機(jī)體的運動規(guī)劃，多為解決機(jī)器人行進(jìn)過程中的避障與路徑優(yōu)化問題[14-16]，很少考慮如何高效求取逆解以實現(xiàn)規(guī)劃軌跡。

本文擬對六足機(jī)器人機(jī)體工作空間進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上基于運動相對性原理將支撐相內(nèi)機(jī)體的運動規(guī)劃轉(zhuǎn)化為機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃，以簡化機(jī)體運動規(guī)劃中逆解的求取問題，實現(xiàn)機(jī)體位姿的動態(tài)調(diào)整，并利用仿真與實驗對分析結(jié)果進(jìn)行綜合驗證。

1　工作空間

處于支撐相的六足機(jī)器人可視為一并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，機(jī)體為動平臺，由落足點構(gòu)成的支撐多邊形為定平臺。當(dāng)落足點固定時，考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈與動、定平臺連接點間的相對運動，可視支撐腿為類Stewart并聯(lián)機(jī)器人[17]的支鏈，則六足機(jī)器人機(jī)體工作空間即為類Stewart并聯(lián)機(jī)器人動平臺的工作空間。

為便于分析，建立圖1所示的運動學(xué)坐標(biāo)系，其中C為軀干質(zhì)心，Ai為第i條支撐腿的末端，即落足點，Bi為第i條支撐腿與機(jī)體的連接點。各坐標(biāo)系坐標(biāo)軸滿足右手螺旋法則，ΣC為固定在機(jī)體質(zhì)心上的機(jī)體坐標(biāo)系Cxyz，z坐標(biāo)軸垂直于機(jī)體平面背離重力方向，y坐標(biāo)軸沿著機(jī)體軸線指向前進(jìn)方向，ΣO為固定在地面上的參考坐標(biāo)系Oxyz，L1、L2分別為股節(jié)和脛節(jié)的長度，θi為股節(jié)與脛節(jié)的夾角，實線和虛線分別表示處于支撐相與擺動相。

圖1　六足機(jī)器人運動學(xué)坐標(biāo)系

定義OPAi、OPBi、OPC分別為Ai、Bi與機(jī)體質(zhì)心C在ΣO中的位置矢量，CPBi為Bi在ΣC中的位置矢量，Ri為Ai與Bi之間的距離。機(jī)體坐標(biāo)系ΣC相對于參考坐標(biāo)系ΣO的姿態(tài)矩陣ORC可用三個歐拉角α、β、γ表示為

q11=cosαcosβ

q12=cosαsinβsinγ-sinαcosγ

q13=cosαsinβcosγ+sinαsinγ

q21=sinαcosβ

q22=sinαsinβsinγ+cosαcosγ

q23=sinαsinβcosγ-cosαsinγ

q31=-sinβ

q32=cosβsinγ

q33=cosβcosγ

根據(jù)矢量在坐標(biāo)系間的變換關(guān)系，可得

OPBi=OPc+ORCCPBi

(1)

由于OPAi為Ai在ΣO中的位置矢量，于是有

(2)

如OPc為(x,y,z)，通式NsM表示M點在坐標(biāo)系ΣN下s軸上的分量，由式(1)、式(2)可得

(3)

xi=OxAi-q11CxBi-q12CyBi-q13CzBi

yi=OyAi-q21CxBi-q22CyBi-q23CzBi

zi=OzAi-q31CxBi-q32CyBi-q33CzBi

顯而易見，式(3)為以O(shè)i(xi,yi,zi)為球心，Ri為半徑的球面方程。球心Oi的坐標(biāo)由OPAi、CPBi和ORC決定。實際情況中，落足點的位置OPAi往往已知，CPBi由機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。因此，球面方程的球心通常僅與機(jī)體相對地面的姿態(tài)矩陣ORC有關(guān)。

在△AiBiCi中，根據(jù)余弦定理存在

(4)

于是有

(5)

綜上可知，如果六足機(jī)器人的支撐腿存在n條，且給定了機(jī)體的姿態(tài)，那么六足機(jī)器人機(jī)體的工作空間是n個以O(shè)i(xi,yi,zi)為球心、內(nèi)徑為Rimin、外徑為Rimax的空心球體的交集。

2　機(jī)體運動規(guī)劃

機(jī)器人在支撐相內(nèi)機(jī)體的運動規(guī)劃問題實質(zhì)上為給定機(jī)器人機(jī)體位姿，快速求解相應(yīng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，實現(xiàn)機(jī)體位姿動態(tài)調(diào)整的問題。對機(jī)器人進(jìn)行運動學(xué)分析直接影響著機(jī)體平臺的運動性能以及機(jī)器人整體的協(xié)調(diào)性、靈活性。

六足機(jī)器人在運動過程中支撐腿條數(shù)及其落足點具有不確定性，故可將處于支撐相的六足機(jī)器人視為時變并聯(lián)機(jī)構(gòu)。由于該機(jī)構(gòu)支鏈條數(shù)與定平臺參數(shù)在不斷變化，當(dāng)采用常規(guī)的并聯(lián)機(jī)器人逆解求取方法求解該機(jī)構(gòu)的逆解時，需根據(jù)支鏈條數(shù)與定平臺參數(shù)實時調(diào)整高次三角方程組中方程的個數(shù)與參數(shù)，計算繁瑣，因而常規(guī)的并聯(lián)機(jī)器人逆解求取方法并不完全適用于此種機(jī)構(gòu)逆解的求取。

運動的相對性是機(jī)械運動的一種性質(zhì)，即同一個物體是運動還是靜止，取決于所選的參照物。如人騎在馬上向前奔跑的瞬間，在騎馬人看來，馬的身體沒動，馬蹄在動；而在路人看來，馬蹄沒動，馬的身體在動。

得益于上述事實，發(fā)現(xiàn)機(jī)器人機(jī)體的運動軌跡與足端運動軌跡存在著密切聯(lián)系。機(jī)器人機(jī)體在支撐相內(nèi)移動過程中的每一時刻，落足點Ai與支撐腿和機(jī)體連接點Bi的相對位置是固定的。從固連在大地上的參考坐標(biāo)系ΣO來看Ai是固定不動的，而從固連在機(jī)器人上的機(jī)體坐標(biāo)系ΣC上看來Bi是固定不動的，于是可將參考坐標(biāo)系中機(jī)體的運動軌跡轉(zhuǎn)化為機(jī)體坐標(biāo)系中足端Ai的運動軌跡。為簡化六足機(jī)器人機(jī)體運動規(guī)劃中逆解的求取，可將機(jī)器人規(guī)劃的機(jī)體運動軌跡轉(zhuǎn)化為足端軌跡進(jìn)行逆解求取，不僅避免了常規(guī)方法中高次三角方程組的調(diào)整與求解，而且可根據(jù)支鏈條數(shù)靈活應(yīng)用各支鏈的解析逆解快速求取整個并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解。

圖2　運動軌跡間關(guān)系

設(shè)機(jī)體質(zhì)心在機(jī)體工作空間內(nèi)的運動軌跡SC(t)為

(6)

曲線上任意一點為某一特定時刻質(zhì)心在參考坐標(biāo)系ΣO中的位置矢量OPC。

根據(jù)矢量在坐標(biāo)系間的變換關(guān)系，可得

OPBi=OPC+ORCCPBi

(7)

于是有

(8)

則Si(t)的參數(shù)方程為

(9)

(10)

于是存在

(11)

(12)

根據(jù)矢量在坐標(biāo)系間的變換關(guān)系，可得

OPAi=OPc+ORCCPAi

(13)

(14)

(15)

3　仿真與實驗

針對六足機(jī)器人機(jī)體的工作空間和運動規(guī)劃，利用設(shè)計的樣機(jī)(圖3)進(jìn)行了相應(yīng)的仿真與實驗。樣機(jī)的結(jié)構(gòu)尺寸如圖4所示。機(jī)體寬度W為50 cm，機(jī)體長度L為100 cm。機(jī)器人6條結(jié)構(gòu)相同的腿對稱布置于機(jī)體兩側(cè)，其中股節(jié)長度L1為30 cm，脛節(jié)長度L2為50 cm。假設(shè)機(jī)器人開始運動時機(jī)體水平，支撐腿的股節(jié)水平且其軸線與機(jī)體中軸線垂直，股節(jié)與脛節(jié)的夾角θi均為53°。為計算方便，將機(jī)體坐標(biāo)系建于機(jī)體質(zhì)心之上，參考坐標(biāo)系建于質(zhì)心正下方的大地上，則A1、A2、A3在ΣO中的坐標(biāo)分別為(85,0,0)cm、(-85,-50,0)cm、(-85,50,0)cm，B1、B2、B3在ΣC中的坐標(biāo)依次為(25,0,0)cm、(-25，-50,0)cm、(-25,50,0)cm。受機(jī)械結(jié)構(gòu)限制，θi的取值為0°～90°。根據(jù)式(5)，可求得58 cm≤Ri≤80 cm。

圖3　六足機(jī)器人樣機(jī)

圖4　六足機(jī)器人參數(shù)

當(dāng)決定機(jī)器人機(jī)體相對于參考坐標(biāo)系姿態(tài)的歐拉角α、β、γ均取10°時，機(jī)器人機(jī)體的工作空間如圖5所示，為三個空心球體的交集。圖中星形為空心球體球心，菱形為機(jī)體質(zhì)心，實線為支撐腿，虛線為擺動腿，三個空心球體的球心依次為(60.75,-4.28,4.34)cm、(-67.82,3.03,4.21)cm、(-53.69,5.52,-12.89)cm。

圖5　歐拉角均取10°時機(jī)體的工作空間

當(dāng)α、β、γ均取0°時，機(jī)體平面與地面平行，且左側(cè)兩支撐腿具有相同的結(jié)構(gòu)，則可認(rèn)為在與機(jī)體坐標(biāo)系y軸平行的方向上機(jī)器人形成了平行四邊形機(jī)構(gòu)，產(chǎn)生了虛約束。該虛約束對機(jī)器人機(jī)體的工作空間不會產(chǎn)生影響。因此，求得的空心球體的球心中會有兩個重合，機(jī)體的工作空間為兩個空心球體的交集，如圖6所示，球心依次為(60,0,0)cm、(-60,0,0)cm。此例表明了上述機(jī)體工作空間確定方法的正確性。

圖6　歐拉角均取0°時機(jī)體的工作空間

如機(jī)器人機(jī)體工作空間內(nèi)的質(zhì)心軌跡SC(t)為

(16)

t∈(0,4π)

圖7　六足機(jī)器人的運動軌跡

圖8　六足機(jī)器人的足端軌跡

為進(jìn)一步驗證本文機(jī)體運動規(guī)劃方法的有效性，采用該方法利用設(shè)計樣機(jī)分別進(jìn)行了調(diào)姿和步行實驗。調(diào)姿實驗中，機(jī)器人六足均處于支撐相且各落足點保持不變，機(jī)器人機(jī)體質(zhì)心位置固定，僅將歐拉角中的β由0°調(diào)整為10°。圖9a所示為機(jī)器人調(diào)姿實驗的初始狀態(tài)，其機(jī)體與各股節(jié)均處于水平狀態(tài)。圖9b所示為調(diào)姿實驗的終止?fàn)顟B(tài)，β已調(diào)整為10°。在整個調(diào)姿過程中，機(jī)器人機(jī)體運動平穩(wěn)，各關(guān)節(jié)動作協(xié)調(diào)。在機(jī)器人步行實驗中，機(jī)器人以圖9c所示的初始狀態(tài)，向正前方前進(jìn)50cm到達(dá)圖9d所示的位置，整個運動過程連貫、平穩(wěn)。機(jī)器人的調(diào)姿和步行實驗表明，應(yīng)用本文所提出的機(jī)體運動規(guī)劃方法可實現(xiàn)時變并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)體位姿的動態(tài)調(diào)整，該方法準(zhǔn)確、有效，能夠滿足六足機(jī)器人實時控制需求。

(a)調(diào)姿初始狀態(tài)(b)調(diào)姿終止?fàn)顟B(tài)

(c)步行初始狀態(tài)(d)步行終止?fàn)顟B(tài)圖9　調(diào)姿和步行實驗

4　結(jié)論

(1)對處于支撐相的六足機(jī)器人進(jìn)行運動學(xué)分析時，可將其抽象為時變的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，借鑒并聯(lián)機(jī)器人的相關(guān)理論以簡化分析。

(2)六足機(jī)器人機(jī)體的工作空間與支撐腿的條數(shù)、落足點的位置、機(jī)器人自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)和機(jī)體的姿態(tài)有關(guān)。機(jī)器人機(jī)體姿態(tài)給定時，其工作空間為至多為支撐腿條數(shù)個空心球體的交集。

(3)基于運動的相對性原理，可將機(jī)器人機(jī)體的運動規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為各支撐腿的足端軌跡規(guī)劃問題，以簡化機(jī)體運動規(guī)劃中逆解的求取。機(jī)器人機(jī)體的運動軌跡在其工作空間內(nèi)連續(xù)時，轉(zhuǎn)化的各支撐腿的足端軌跡連續(xù)。

(4)仿真與實驗結(jié)果表明，本文所闡述的方法準(zhǔn)確、可行，且便于控制算法的編寫。

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(編輯郭偉)

Body Motion Planning for a Hexapod Robot Based on Relative Motion

Li ManhongZhang MingluZhang JianhuaZhang Xiaojun

Hebei University of Technology,Tianjin,300130

A hexapod robot in support phase was regarded as a time-varying parallel mechanism to make the kinematics analysis. The determination methods and boundary equations of the workspace were described herein for the hexapod robot whose body posture was given. Based on the relative motion theory, a method to transform body motion planning into foot trajectory planning was presented to simplify the issue of body motion planning. Simulation and experimental results show that the workspace for the hexapod robot in support phase is the intersection of the hollow spheres whose number is up to the number of the support legs and using the principles of relative motion to transform the issue of body motion planning in support phase it is simple and feasible.

hexapod robot; workspace; relative motion; motion planning

2013-10-27

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2012AA041508)；天津市自然科學(xué)基金資助項目(12JCYBJC12100)

TP242DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.03.006

李滿宏，男，1987年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為機(jī)器人運動學(xué)。張明路，男，1964年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。張建華，男，1979年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。張小俊，男，1979年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。