侯雨雷　王嫦美　胡鑫喆　曾達幸　趙永生

1.燕山大學，秦皇島，0660042.東方電氣集團東方電機有限公司，德陽，618000

一種關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人工作空間邊界提取的新方法

侯雨雷1王嫦美2胡鑫喆1曾達幸1趙永生1

1.燕山大學，秦皇島，0660042.東方電氣集團東方電機有限公司，德陽，618000

利用桿件極限組合原理，結(jié)合定步距角法可固定關(guān)節(jié)變量的特點，提出一種提取工作空間邊界的新方法——“極限定步距角法”，闡明思路并給出其具體實施步驟。以某型ABB機器人為例，利用D-H法設定機器人連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量，并建立機器人坐標系與D-H坐標系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，獲得機器人邊界關(guān)鍵點位置，進而借助MATLAB軟件繪制機器人手腕處三維透視工作空間，對比分析表明所獲邊界關(guān)鍵點精度完全滿足商用機器人標準。所提出的方法簡單有效、計算便捷、利于操作，對串聯(lián)機器人工作空間的研究具有理論指導意義和實踐應用價值。

串聯(lián)機器人；工作空間；邊界；極限定步距角

0　引言

機器人工作空間的大小代表其活動范圍，是衡量機器人工作能力的一個重要運動學指標[1]。關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人具有高度的能動性及廣闊的可達空間，精確地獲取其工作空間邊界有利于機器人合理設計、選型及與周邊設備有效配合。

目前，求取串聯(lián)機器人工作空間的方法主要分為解析法、圖解法和數(shù)值法。其中，解析法需建立復雜的數(shù)學方程，難以滿足工程應用要求[2]；商用工業(yè)機器人多采用圖解法來直觀地呈現(xiàn)二維空間，但該方法不適合準確描述三維圖形[3]；數(shù)值法是將關(guān)節(jié)組合變量作為輸入，而以對應的位置解集作為輸出[4]，因此工作空間體現(xiàn)為點狀云圖。隨著計算機運算能力的提升，數(shù)值法愈加體現(xiàn)出其編程思路簡單、圖形處理能力強的優(yōu)勢[5]。

數(shù)值打點法成像最具代表性的實現(xiàn)方法有Rastegar等[6]引進的基于隨機抽樣組合原理的蒙特卡洛法、鐘勇等[7]對前者改進后的定步距角法、趙燕江等[8]提出的基于結(jié)構(gòu)建模的MATLAB/Simulink仿真法等。劉曉宇等[9]對比了上述3種主要方法，認為蒙特卡洛法與定步距角法更適用于串聯(lián)機器人工作空間的求解，其中后者利用機器人運動學正解打出定步長的工作空間點，能以相同的成像點數(shù)繪制出更為清晰完整的邊界，還能通過固定某些關(guān)節(jié)來查看機器人在特定位姿下的工作空間。

由于點狀云圖無法確切地表現(xiàn)內(nèi)外邊界，因此許多學者進行了云圖邊界點的降維提取與三維空間曲面的再現(xiàn)研究工作，一般主要篩選利用蒙特卡洛法生成的空間云圖，其中包括Dabid等[10]的柵格搜索法、曹毅等[11]的極值搜索法、印峰等[12]的文本搜索法及趙杰等[13]的逆解搜索法等，上述各方法理論體系較為完備，然而其所基于的蒙特卡洛云圖是工作空間的近似描述，即便工作量巨大，得到的也只能是逼近邊界。Brezovnik等[14]、Gianni等[15]另辟蹊徑，分別基于準三維模型法與計算機像素法再現(xiàn)了較為美觀的三維工作空間邊界，但這兩種方法的可操作程度尚不夠完善；楊文珍等[16]基于CAD軟件建立了靈巧手運動學仿真的工作空間三維模型，由于其不涉及運動學正問題，且二維結(jié)構(gòu)建模簡單、三維實體生成速度快，若能成功解決三維曲面間的交叉問題，將有望成為一種通用性強的工作空間邊界提取辦法。

本文在廣泛調(diào)研現(xiàn)有工作空間邊界提取方法的優(yōu)勢和不足基礎上，利用定步距角法可固定關(guān)節(jié)的特點，根據(jù)桿件極限組合原理直接獲得串聯(lián)機器人的二維、三維空間邊界，進而形成一種新的串聯(lián)機器人工作空間提取方法，即“極限定步距角法”。

1　“極限定步距角法”思路與步驟

本文針對應用較為廣泛的關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人，利用定步距角法能固定某些關(guān)節(jié)的特色之處，提出一種可以直接提取其工作空間邊界的新方法——“極限定步距角法”，其核心思想為：由于關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人末端參考點的位置主要由機器人的桿長和轉(zhuǎn)角范圍決定[14]，因此將機器人關(guān)節(jié)角的極限情況進行組合，通過定步長打點方式直接繪制二維工作空間邊界曲線，在對之進行精確裁剪和關(guān)鍵點的驗證后，最終分區(qū)擬合出機器人工作空間三維邊界曲面。

“極限定步距角法”提取關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人腕部參考點的工作空間邊界的流程參見圖1。

圖1　“極限定步距角法”提取串聯(lián)機器人工作空間邊界流程圖

“極限定步距角法”提取關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人腕部工作空間邊界的具體實施步驟如下：

(1)關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人的前三個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)θ1、θ2、θ3(分別存在于基座與腰部、腰部與大臂、大臂和小臂之間)決定著機器人末端腕部參考點的活動范圍，建立機器人的基坐標系O0X0Y0Z0，并依次在其第1～4個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)處分別建立Xi、Yi、Zi(i=1，2，3，4)軸，其中Zi軸是關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)軸，若相鄰的Zi-1、Zi軸不相交，則Xi軸是二者公垂線；連桿參數(shù)a為Zi-1沿Xi-1至Zi的距離，αi-1為Zi-1繞Xi-1轉(zhuǎn)至Zi的角度，di為Xi-1沿Zi至Xi的距離，θi為Xi-1繞Zi轉(zhuǎn)至Xi的角度，依此法則建立D-H連桿坐標系[17]，如圖2所示。

圖2　關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人D-H連桿坐標系

分析連桿坐標系及桿件參數(shù)，設點P為機器人末端的腕部中心參考點，其位置正解方程如下：

(1)

(2)利用機器人原始變量參數(shù)直接生成D-H坐標系下的工作空間，根據(jù)云圖輪廓尺寸檢驗與參考空間是否一致，若一致則直接進入提取二維“完整邊界”步驟；若不一致則需尋求機器人原始坐標系的建立法則，進而重新確認機器人關(guān)節(jié)變量范圍的極限值。設機器人前三個關(guān)節(jié)在D-H坐標系下的參數(shù)范圍分別為(θ1min,θ1max)、(θ2min,θ2max)、(θ3min,θ3max)，將第二、三關(guān)節(jié)變量參數(shù)的極限情況進行組合，即固定機器人第一關(guān)節(jié)角(一般設為0°)，另一關(guān)節(jié)角任設一個極限角度，再一關(guān)節(jié)角在其轉(zhuǎn)動范圍內(nèi)從關(guān)節(jié)1到關(guān)節(jié)i定步長取值，分段繪制機器人二維空間“完整邊界”。

機器人的二維“完整邊界”即為機器人腕部所能到達的所有極限位置，通常內(nèi)部存在線條交叉。以機器人的第二、三個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動中心點O2、O3以及小臂末端的參考點O4(圖2)可否連成一條直線為界，“完整邊界”的生成情況分為兩類：第一類是O2、O3及O4三點未能連成一條直線，即當|θ3|<90°-arctan(a3/d4)時，邊界由四條曲線L1、L2、L3與L4頭尾相接而成(圖3)，對應關(guān)節(jié)變量的極限組合情況分別為：θ2=θ2min與θ3=(θ3min,θ3max)，θ2=(θ2min,θ2max)與θ3=θ3max，θ2=θ2max與θ3=(θ3max,θ3min)，θ2=(θ2max,θ2min)與θ3=θ3min；第二類是當|θ3|≥90°-arctan(a3/d4)時，則在第一邊界類型的基礎上增設一條O2、O3及O4連成一條直線時的最高邊界L5(圖4)，對應的變量極限組合為θ2=(θ2min,θ2max)與θ3=90°-arctan(a3/d4)。

圖3　機器人第一類工作空間邊界圖4　機器人第二類工作空間邊界

(3)剔除機器人二維“完整邊界”內(nèi)部可能產(chǎn)生的交叉曲線，形成首尾順序相接的“單向邊界”并檢驗邊界關(guān)鍵點。

本文提出一種較為簡便的“數(shù)值逼近法”來剔除虛假邊界：由于兩相交邊界曲線所對應數(shù)學方程即為運動學位置正解方程，因此只需若干次調(diào)整相應的極限變量輸入，便能得到最為接近的相交點(關(guān)鍵點)坐標，且關(guān)鍵點的精度可高達到0.1 μm；該方法突破了另行擬合兩相交邊界曲線方程的常規(guī)思路，能夠很好地實現(xiàn)機器人工作空間關(guān)鍵點的準確獲取。

參照現(xiàn)今商用機器人標準，若所獲關(guān)鍵點坐標與標準參考值的偏差在±0.5 mm以內(nèi)，則邊界驗證通過；否則必須重新生成邊界，再次檢驗；若依然不符則需通過三維建模軟件或者機器人專用軟件來共同證明之。

(4)在三維邊界成形時，若機器人第一關(guān)節(jié)角范圍超過180°，“單向邊界”旋轉(zhuǎn)時通常會產(chǎn)生曲面交叉，因此需進一步提取“準三維邊界”。

“準三維邊界”即為三維工作空間最終成形之前的二維最小內(nèi)邊界與最大外邊界。對于第一關(guān)節(jié)角范圍不超過180°的機器人，其“單向邊界”即為“準三維邊界”；若超過180°，本文提出“雙向邊界交叉法”來提取之：將第一關(guān)節(jié)角相差180°的兩個“單向邊界”疊放于同一坐標系下，在交叉處對之進行精確裁剪，余下的最外層和最內(nèi)層曲線即為“準三維邊界”。該方法使機器人空間邊界提取過程中易于忽視且難于處理的三維曲面交叉問題變得簡潔明了。

(5)按一定的嵌套規(guī)律存儲“準三維邊界”上的點，并分區(qū)域擬合光滑的內(nèi)邊界曲面以及透明的外邊界曲面，從而構(gòu)造出機器人三維工作空間透視圖。

2　“極限定步距角法”應用實例

圖5所示為ABB IRB 1410機器人(以下簡稱ABB機器人)，該機器人堅固可靠、活動范圍大，是一款工業(yè)上常用于焊接、搬運的六自由度關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人。鑒于其商用說明書中提供了詳細的二維工作空間相關(guān)數(shù)據(jù)，因此通過“極限定步距角法”來提取其工作空間具有可靠的參照性。

(1)依照前文的具體實施步驟對ABB機器人進行D-H建模分析，得到連桿參數(shù)與關(guān)節(jié)角變量范圍如表1所示。

表1　ABB IRB 1410機器人連桿參數(shù)

由于利用表1中的ABB機器人關(guān)節(jié)角范圍直接求取的工作空間云圖與其參考空間不符，因此需重新確認機器人的關(guān)節(jié)變量范圍：通過ABB坐標系向D-H坐標系的轉(zhuǎn)變關(guān)系(圖6)可知，ABB坐標系是以機器人各軸均處于零點位姿為基準而建立的，且以順時針旋向為正方向，從而得到D-H坐標系下的機器人第二、三關(guān)節(jié)角極限值，它們分別為：θ2min=+20°，θ2max=+160°；θ3min=-65°，θ3max=+70°。

(a)ABB坐標系下關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角范圍(b)D-H坐標系下關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角范圍

(c)ABB坐標系下關(guān)節(jié)3轉(zhuǎn)角范圍(d)D-H坐標系下關(guān)節(jié)3轉(zhuǎn)角范圍圖6　ABB機器人第二、三關(guān)節(jié)角坐標系轉(zhuǎn)換

(2)由于ABB機器人的第三關(guān)節(jié)角|θ3|<90°-arctan(a3/d4)，可知其“完整邊界”由4條曲線L1、L2、L3與L4首尾相接而成，對應關(guān)節(jié)變量的極限情況組合分別為：θ2=+20°與θ3=(-65°,+70°)，θ2=(+20°,+160°)與θ3=+70°，θ2=+160°與θ3=(+70°,-65°)，θ2=(+160°,+20°)與θ3=-65°，如圖7所示，因其內(nèi)部無交叉曲線，即為“單向邊界”。利用MATLAB軟件編程，在普通計算機(CPU：2.8 GHz；內(nèi)存：2.0 GB)上計算，“單向邊界”生成所需最長計算時間為1.362 s。

圖7　ABB機器人二維工作空間邊界

(3)參照ABB機器人商用工作空間圖形及邊界關(guān)鍵點位置(圖8，表2)，利用“數(shù)值逼近法”獲取邊界各關(guān)鍵點P0～P7的坐標，精確到小數(shù)點后1位，如表3所示?？梢?，圓整后的關(guān)鍵點位置參數(shù)與ABB公司提供的數(shù)據(jù)完全相同，且其對應的關(guān)節(jié)角參數(shù)符合坐標系轉(zhuǎn)換規(guī)律，因而驗證了所提取二維“單向邊界”的正確性。

圖8　ABB機器人商用二維工作空間邊界

位置編號X(mm)Z(mm)θ2(°)θ3(°)08707795001306800-70+702-7161345-70-353-10081104-70-654-5961561-43-6552081792-6-6561142737+70-657239125+70+70

表3　ABB機器人連桿參數(shù)

(4)由于ABB機器人第一關(guān)節(jié)角-170°≤θ≤170°，超出了180°的旋轉(zhuǎn)范圍，因此為預防邊界曲面交叉，需提取“準三維邊界”。在θ1=(-10°,+10°)范圍內(nèi)，機器人的“單向邊界”即為“準三維邊界Ⅰ”(圖7)；在θ1=(-170°,-10°)及θ1=(10°,170°)范圍內(nèi)，利用“雙向邊界交叉法”分別取θ1相差180°的兩個“單向邊界”疊放于同一坐標系下(圖9)，繼而采用“數(shù)值逼近法”裁剪虛假邊界，從而得到“準三維邊界Ⅱ”(圖10)。

圖9　ABB機器人雙向邊界交叉

圖10　ABB機器人的“準三維邊界Ⅱ”

(5)分別將“準三維邊界Ⅰ”在θ1=(-10°,10°)區(qū)域內(nèi)、“準三維邊界Ⅱ”在θ1=(-170°,-10°)或θ1=(10°,170°)區(qū)域內(nèi)擬合三維工作空間曲面，利用“mesh”命令生成透明的網(wǎng)格狀外邊界，由“surf”命令生成光滑內(nèi)邊界，渲染后的ABB機器人手腕處的三維空間透視效果如圖11所示，所有極限位置一目了然，利用普通個人計算機實現(xiàn)三維造型所需最長計算時間為2.534 s。

圖11　ABB機器人三維工作空間透視圖

3　結(jié)語

針對關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人工作空間求解問題，本文提出了能簡便、有效提取機器人空間邊界的“極限定步距角法”，給出了其前三個關(guān)節(jié)工作空間邊界的獲取方案，ABB工業(yè)機器人手腕處三維透視工作空間的生成實例充分體現(xiàn)出該方法直截、精準、省時的特征，為關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人的軌跡規(guī)劃和運動干涉的研究提供了便利條件。

“極限定步距角法”較好地解決了關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人腕部二維工作空間邊界的精確提取、關(guān)鍵點的有效驗證以及三維工作空間邊界的無交叉擬合問題，為三桿以上關(guān)節(jié)型串聯(lián)機器人空間邊界的獲取奠定了理論基礎，也為其他類型串聯(lián)機器人工作空間的求取與優(yōu)化提供了應用借鑒。

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(編輯郭偉)

A New Method for Workspace Boundary Extraction for Jointed Serial Robot

Hou Yulei1Wang Changmei2Hu Xinzhe1Zeng Daxing1Zhao Yongsheng1

1.Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Dongfang Electric Machinery Co.,Ltd.,Deyang,Sichuan,618000

Based on the principles of bar limit combined with fixed joint variable, a new method for the workspace boundary extraction——“l(fā)imit fixed interval angle” was proposed. The ideas and implementation steps was illuminated. Taking the ABB robot as an example, the link parameters and joint variables were set with D-H method. In addition, the transformation relation between the robot coordinate system and D-H coordinate system was established, from which the key point of workspace was obtained. Using MATLAB software, the three dimensional perspective workspace of the robot in the wrist was drew. A comparative analyses reveal that the accuracy of the boundary keypoint satisfies the standard of the commercial robots completely. The method presented herein is simple, effective, easy to calculate and manipulate. The research fruit of workspace of the serial robot possesses important theoretical guiding significance and practical application value.

serial robot; workspace; boundary; limit fixed interval angle

2014-05-19

國家科技重大專項(2010ZX04004-112)；河北省自然科學基金資助項目(E2012203034)

TP24DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.03.005

侯雨雷，男，1980年生。燕山大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為并聯(lián)機構(gòu)學、多維力傳感器技術(shù)、人形機器人關(guān)節(jié)仿生等。王嫦美，女，1987年生。東方電氣集團東方電機有限公司工藝部水輪發(fā)電機組助理工程師。胡鑫喆，女，1987年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。曾達幸，男，1978年生。燕山大學機械工程學院副教授、博士。趙永生(通信作者)，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。