朱堅(jiān)民　王　健　張統(tǒng)超　李孝茹

上海理工大學(xué)，上海，200093

一種改進(jìn)的基于響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)法的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法

朱堅(jiān)民王健張統(tǒng)超李孝茹

上海理工大學(xué)，上海，200093

針對(duì)現(xiàn)有的基于響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)法(RCSA)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法需要辨識(shí)主軸-刀柄、刀柄-刀具結(jié)合面參數(shù)以及需要自制刀柄模型等引起的預(yù)測(cè)誤差和預(yù)測(cè)過(guò)程復(fù)雜等問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的基于RCSA的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法。該方法首先改進(jìn)已有的子結(jié)構(gòu)劃分方法，將機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)劃分為機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿、剩余刀桿和刀齒三個(gè)子結(jié)構(gòu)；然后改進(jìn)主軸-刀柄處轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)的計(jì)算方法，通過(guò)銑刀的模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)采用反向RCSA和有限差分法計(jì)算機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)，并基于Euler梁模型計(jì)算出剩余刀桿、刀齒子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)；最后將三個(gè)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)耦合確定刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)。以一立式加工中心為研究對(duì)象，應(yīng)用所提出的方法對(duì)銑刀刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并與其實(shí)測(cè)頻響函數(shù)進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明：刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)符合程度較高，其預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)前三階固有頻率之間的誤差在6.9%以內(nèi)，所提出的方法可行有效、簡(jiǎn)單方便，且可直接基于銑刀的模態(tài)實(shí)驗(yàn)計(jì)算主軸-刀柄的頻響函數(shù)，避免了相關(guān)結(jié)合面參數(shù)的辨識(shí)和刀柄模型的制作。

銑刀；刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)；預(yù)測(cè)；響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)法

0　引言

機(jī)床的切削顫振會(huì)降低被加工工件的表面質(zhì)量并影響機(jī)床的使用壽命。目前避免切削顫振最有效的方法是通過(guò)加工系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖選取穩(wěn)定的切削加工參數(shù)[1]。穩(wěn)定性葉瓣圖由加工系統(tǒng)中刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)計(jì)算得到[1-2]，刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)可通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試確定，但在實(shí)際加工中經(jīng)常更換刀具導(dǎo)致的重復(fù)模態(tài)測(cè)試不僅耗時(shí)，而且會(huì)引入人為誤差。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，Schmitz等[3-4]提出了一種基于RCSA的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法，該方法將整個(gè)機(jī)床劃分為主軸-刀柄、刀具兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，二者頻響函數(shù)分別通過(guò)模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)確定和梁模型理論計(jì)算得到，采用最小二乘法識(shí)別出刀柄-刀具結(jié)合面的平移、旋轉(zhuǎn)剛度和阻尼系數(shù)后，將兩個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行耦合預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。Schmitz等[5]對(duì)上述方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種三子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合分析法，將機(jī)床系統(tǒng)劃分為主軸-刀柄(包括刀柄的圓錐部分和凸緣部分)、剩余刀柄、刀具三部分，通過(guò)對(duì)刀柄模型進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)確定其頻響函數(shù)，最終通過(guò)RCSA法預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。近年來(lái)，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，并研究了主軸結(jié)構(gòu)中軸承的剛度、阻尼參數(shù)等對(duì)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響[6-12]。閆蓉等[13]以均勻分布的彈簧-阻尼單元模擬刀具-刀柄結(jié)合部之間的柔性連接，采用實(shí)驗(yàn)和仿真相結(jié)合的方法辨識(shí)刀具-刀柄結(jié)合部的剛度和阻尼系數(shù)。Mohammad等[14]使用兩個(gè)線性剛度-阻尼單元計(jì)算刀柄和刀具結(jié)合面的參數(shù)，避免了主軸-刀柄結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)頻響函數(shù)的計(jì)算，并使用遺傳算法對(duì)線性剛度和阻尼參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。王二化等[15]利用傳遞矩陣法與RCSA耦合算法預(yù)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，采用粒子群算法辨識(shí)主軸-刀柄、刀柄-刀具結(jié)合面的參數(shù)。Park等[16]通過(guò)反向耦合的方法推導(dǎo)出主軸-刀柄結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)頻響函數(shù)的表達(dá)式，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)通過(guò)非線性方程組計(jì)算出主軸的旋轉(zhuǎn)頻響函數(shù)，然后由RCSA方法預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，Mancisidor等[17]使用固定邊界條件的方法來(lái)計(jì)算兩端自由的刀具子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)響應(yīng)，進(jìn)而通過(guò)RCSA方法預(yù)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)。

上述研究中，刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法或者需要辨識(shí)主軸-刀柄、刀柄-刀具結(jié)合面的參數(shù)，或者需要自制刀柄模型來(lái)求取主軸-刀柄處的轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)。而結(jié)合面參數(shù)的辨識(shí)計(jì)算量大、容易陷入局部最小值；自制刀柄模型費(fèi)時(shí)、費(fèi)力。針對(duì)這些問(wèn)題，本文提出一種改進(jìn)的基于RCSA的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法，該方法改進(jìn)機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)的劃分，將機(jī)床系統(tǒng)劃分為主軸-刀柄-部分刀桿、剩余刀桿和刀齒三部分，改進(jìn)主軸-刀柄處轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)的計(jì)算方法，直接由銑刀的錘擊模態(tài)實(shí)驗(yàn)求出，通過(guò)理論計(jì)算出刀桿和刀齒部分的頻響函數(shù)，最后將三個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛性耦合確定刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)。

1　機(jī)床系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分和響應(yīng)耦合分析

1.1機(jī)床系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分

機(jī)床-主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱機(jī)床系統(tǒng))主要包括機(jī)床-主軸、刀柄、刀具等幾個(gè)部分，刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)反映了機(jī)床加工系統(tǒng)在刀尖點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)特性，它是找出機(jī)床穩(wěn)定切削區(qū)域、避免切削顫振的基礎(chǔ)。為了快速、方便地預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，本文對(duì)現(xiàn)有機(jī)床系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分方法進(jìn)行改進(jìn)，將其劃分為主軸-刀柄-部分刀桿、剩余刀桿和刀齒三個(gè)子結(jié)構(gòu)。圖1以立式加工中心為例，將其劃分為子結(jié)構(gòu)Ⅰ、子結(jié)構(gòu)Ⅱ和子結(jié)構(gòu)Ⅲ，各子結(jié)構(gòu)劃分及坐標(biāo)點(diǎn)的定義如圖1所示。

圖1　機(jī)床系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分

圖1中，子結(jié)構(gòu)Ⅰ為銑刀的刀齒部分，其兩端坐標(biāo)分別記為1、2a。由于刀齒包含螺旋槽等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為便于頻響函數(shù)的理論計(jì)算，可采用等質(zhì)量法將其等效為一個(gè)圓柱梁，等效直徑de由下式確定：

(1)

式中，M為銑刀的質(zhì)量；ρ為刀具材料的密度；ds和ls分別為刀桿的直徑和長(zhǎng)度；lf為刀齒長(zhǎng)度。

子結(jié)構(gòu)Ⅱ?yàn)槿コ迦氲侗糠趾笫Ｓ嗟牡稐U，為一個(gè)等直徑圓柱梁，其兩端坐標(biāo)分別記為2b、3a，它和等效后的刀齒可使用Euler梁或者Timoshenko梁模型計(jì)算其頻響函數(shù)。子結(jié)構(gòu)Ⅲ包括機(jī)床-主軸、刀柄以及插入刀柄中的部分刀桿，其端點(diǎn)坐標(biāo)記為3b。由于坐標(biāo)點(diǎn)3b非?？拷侗嗣妫鄬?duì)于整個(gè)機(jī)床-主軸-刀柄結(jié)構(gòu)，插入刀柄中的刀桿部分對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響較小，在更換不同刀具時(shí)，可忽略刀具直徑的變化(較小范圍內(nèi))以及刀具材料的變化對(duì)子結(jié)構(gòu)Ⅲ動(dòng)態(tài)特性的影響，即認(rèn)為子結(jié)構(gòu)Ⅲ的動(dòng)態(tài)特性保持不變。另外，由于子結(jié)構(gòu)Ⅲ中3b點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)特性已包含了主軸-刀柄以及刀柄-刀桿兩處結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性，因此，本文提出的子結(jié)構(gòu)劃分方法無(wú)需單獨(dú)考慮這些結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性，避免了這兩處結(jié)合面參數(shù)的辨識(shí)。

1.2機(jī)床系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合分析

子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合分析中，一般先通過(guò)實(shí)驗(yàn)或計(jì)算得到各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，然后根據(jù)各子結(jié)構(gòu)之間的兼容條件和平衡條件將它們耦合，最后通過(guò)計(jì)算確定整個(gè)機(jī)床系統(tǒng)中刀尖點(diǎn)處的頻響函數(shù)。圖1中劃分的子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相鄰之間均為剛性耦合，考慮平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)自由度，施加在各子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)點(diǎn)i(i=1,2a,2b,3a,3b)處的載荷表示為qi=(fi,mi)T，其中，fi為力向量，mi為力矩向量。各子結(jié)構(gòu)坐標(biāo)點(diǎn)i的位移響應(yīng)記為ui=(xi,θi)T，其中，xi為平動(dòng)位移響應(yīng)，θi為轉(zhuǎn)動(dòng)位移響應(yīng)。

圖1中，對(duì)于子結(jié)構(gòu)Ⅰ，其兩端1、2a處的頻響函數(shù)矩陣可記為Rij(i,j=1,2a)，ui=Rijqj，Rij可統(tǒng)一寫成如下形式：

(2)

其中，hij、lij、nij、pij分別為在子結(jié)構(gòu)Ⅰ的點(diǎn)j處施加單位力引起的點(diǎn)i處平動(dòng)位移響應(yīng)、點(diǎn)j處施加單位力矩引起的點(diǎn)i處平動(dòng)位移響應(yīng)、點(diǎn)j處施加單位力引起的點(diǎn)i處轉(zhuǎn)角響應(yīng)以及點(diǎn)j處施加單位力矩引起的點(diǎn)i處轉(zhuǎn)角響應(yīng)。i=j時(shí)Rij為原點(diǎn)頻響函數(shù)，i≠j時(shí)Rij為跨點(diǎn)頻響函數(shù)。對(duì)子結(jié)構(gòu)Ⅱ，同樣可得到其頻響函數(shù)矩陣Rmn(m,n=2b,3a)。子結(jié)構(gòu)Ⅰ與Ⅱ剛性耦合組成裝配體Ⅰ-Ⅱ，如圖2所示。

圖2　子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的剛性耦合

裝配體Ⅰ-Ⅱ兩端的原點(diǎn)頻響函數(shù)記為RS11、RS3a3a，跨點(diǎn)頻響函數(shù)記為RS13a、RS3a1。為了求取RS11和RS3a3a，在裝配體Ⅰ-Ⅱ的點(diǎn)1處施加載荷Q1，如圖2所示，各子結(jié)構(gòu)端點(diǎn)處受到的力分別為q1、q2a、q2b，則各端點(diǎn)處的位移響應(yīng)可寫成如下形式：

(3)

根據(jù)力平衡條件

q2a+q2b=0，q1=Q1

(4)

以及相容條件

u2a=u2b

(5)

可得

R2a1q1+R2a2aq2a-R2b2bq2b=0

(6)

q2b=(R2b2b+R2a2a)-1R2a1Q1

(7)

則RS11可表示為

(8)

即

RS11=R11-R12a(R2b2b+R2a2a)-1R2a1

(9)

同理可求得RS3a1為

(10)

即

RS3a1=R3a2b(R2b2b+R2a2a)-1R2a1

(11)

同理，假設(shè)在裝配體Ⅰ-Ⅱ的點(diǎn)3a處施加Q3a的載荷，使用與上述相同的分析方法可求出RS3a3a、RS13a:

RS3a3a=R3a3a-R3a2b(R2a2a+R2b2b)-1R2b3a

(12)

RS13a=R12a(R2a2a+R2b2b)-1R2b3a

(13)

子結(jié)構(gòu)Ⅰ和Ⅱ耦合成裝配體Ⅰ-Ⅱ后，再與子結(jié)構(gòu)Ⅲ在3a、3b點(diǎn)處進(jìn)行剛性耦合，組成圖3所示的整個(gè)機(jī)床系統(tǒng)。

圖3　裝配體Ⅰ-Ⅱ與子結(jié)構(gòu)Ⅲ的耦合

根據(jù)上述子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的剛性耦合分析原理，同理可得機(jī)床系統(tǒng)在刀尖點(diǎn)1處的原點(diǎn)頻響函數(shù)Gt11為

Gt11=RS11-RS13a(RS3a3a+R3b3b)-1RS3a1

(14)

式(14)中，僅有R3b3b未知，其余均可由梁模型和耦合原理計(jì)算得到。R3b3b為子結(jié)構(gòu)Ⅲ在點(diǎn)3b處的頻響函數(shù)，它包含了機(jī)床-主軸本身的動(dòng)態(tài)特性以及主軸與刀柄、刀柄與刀具兩處結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性。由上述分析，令

(15)

式(14)可表示為

(16)

在實(shí)際的機(jī)床切削穩(wěn)定性研究中，只需考慮刀尖點(diǎn)的原點(diǎn)位移頻響函數(shù)ht11，根據(jù)頻響函數(shù)矩陣的對(duì)稱性有l(wèi)33=n33，由式(16)得

h3a1(-n33n13a+p33h13a)]

(17)

式(17)中，只有h33、n33、p33未知，其為R3b3b頻響函數(shù)矩陣的元素，求出主軸-刀柄頻響函數(shù)矩陣R3b3b后即可通過(guò)式(17)預(yù)測(cè)出不同懸伸長(zhǎng)度下刀具刀尖點(diǎn)的位移頻響函數(shù)ht11。

2　子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ頻響函數(shù)計(jì)算

由上述分析，子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ均為兩端自由的勻質(zhì)等直徑圓柱梁，其兩自由端點(diǎn)的原點(diǎn)和跨點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣可以通過(guò)Euler或者Timoshenko梁模型計(jì)算[18-20]。Timoshenko梁考慮了梁的剪切效應(yīng)，在高頻處計(jì)算結(jié)果比Euler模型更加準(zhǔn)確，但其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。在實(shí)際切削加工關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，二者計(jì)算結(jié)果基本沒(méi)有區(qū)別。為計(jì)算簡(jiǎn)便，本文使用Euler梁模型對(duì)子結(jié)構(gòu)Ⅰ和Ⅱ的頻響函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于兩端自由的均質(zhì)圓柱梁，設(shè)其端點(diǎn)分別為j、k，其平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

I=πd4/64

其中，E為梁材料的彈性模量，I為梁的二階慣性矩，i為虛部符號(hào)，d為梁的直徑，η為梁材料的阻尼因子，λ為頻率參數(shù)，由下式計(jì)算：

(26)

m=πd2ρl/4

其中，m為梁的質(zhì)量，ρ為梁的材料密度，l為梁的長(zhǎng)度。式(18)～式(25)中的F1、F3、F5、F6、F7、F8、F10均為λ的函數(shù)，它們分別由下式計(jì)算：

F1=sinλl+sinhλl

(27)

F3=cosλlcoshλl-1

(28)

F5=cosλlsinhλl-sinλlcoshλl

(29)

F6=cosλlsinhλl+sinλlcoshλl

(30)

F7=sinλl+sinhλl

(31)

F8=sinλl-sinhλl

(32)

F10=cosλl-coshλl

(33)

計(jì)算出F1、F3、F5、F6、F7、F8、F10后就可根據(jù)式(18)～式(25)計(jì)算出子結(jié)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ的各自由端點(diǎn)處的頻響函數(shù)矩陣。

3　子結(jié)構(gòu)Ⅲ頻響函數(shù)的計(jì)算

由上文分析，子結(jié)構(gòu)Ⅲ在點(diǎn)3b處的頻響函數(shù)矩陣R3b3b未知，其平動(dòng)位移頻響函數(shù)h3b3b可通過(guò)模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)得到，而其轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)n3b3b、p3b3b難以直接測(cè)量，可通過(guò)間接測(cè)量的方法得到。本文對(duì)現(xiàn)有子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合分析中主軸-刀柄結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)的求取方法進(jìn)行了改進(jìn)，首先根據(jù)整體機(jī)床系統(tǒng)點(diǎn)3處的頻響函數(shù)Gt33由反向RCSA推導(dǎo)出R3b3b的表達(dá)式，然后通過(guò)銑刀的模態(tài)實(shí)驗(yàn)和有限差分法求出R3b3b中轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)，避免了結(jié)合面參數(shù)的辨識(shí)和實(shí)驗(yàn)刀柄模型的制作。

首先求取Gt33，使用與1.2節(jié)相似的方法推導(dǎo)出Gt33的表達(dá)式:

Gt33=RS3a3a-RS3a3a(RS3a3a+R3b3b)-1RS3a3a

(34)

由式(34)可反向求得R3b3b表達(dá)式:

R3b3b=RS3a3a(RS3a3a-Gt33)-1RS3a3a-RS3a3a

(35)

其中，RS3a3a為裝配體Ⅰ-Ⅱ在點(diǎn)3a處的頻響函數(shù)，可通過(guò)式(12)計(jì)算得到。Gt33可表示為如下形式：

(36)

其中，Ht33可通過(guò)模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)獲得。轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)Nt33可使用有限差分法計(jì)算[21]。有限差分法求取轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)方法中，最簡(jiǎn)單的為一階有限差分，該方法只需要考慮兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)處的直接位移頻響函數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)單，使用的數(shù)據(jù)量也最少。首先將一把立銑刀安裝在機(jī)床上，確定子結(jié)構(gòu)劃分點(diǎn)3的坐標(biāo)，然后在距離點(diǎn)3右側(cè)s處位置選擇一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，記為點(diǎn)4，如圖3所示。對(duì)銑刀刀桿上的點(diǎn)3、4分別進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)，得到點(diǎn)3的原點(diǎn)平動(dòng)位移頻響函數(shù)Ht33和點(diǎn)3到點(diǎn)4的跨點(diǎn)平動(dòng)位移頻響函數(shù)Ht34，然后根據(jù)下式計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)Nt33：

(37)

利用已得到的頻響函數(shù)Ht33和Nt33，通過(guò)下式的合成得出Pt33：

(38)

由式(37)可知，Nt33由測(cè)量得到的Ht33和Ht34之間的差值計(jì)算得到，因此，在實(shí)驗(yàn)中要盡可能選擇較大的距離s來(lái)保證測(cè)量到的Ht33和Ht34之間的幅值存在明顯的差異，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。實(shí)際模態(tài)實(shí)驗(yàn)中，點(diǎn)3、點(diǎn)4均在銑刀的刀桿上，距離s可根據(jù)銑刀刀桿的實(shí)際長(zhǎng)度進(jìn)行選取。同時(shí)在模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)對(duì)點(diǎn)3、點(diǎn)4進(jìn)行多次測(cè)量取平均值作為Ht33和Ht34的結(jié)果，以降低測(cè)量中隨機(jī)噪聲對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

至此，Gt33頻響函數(shù)中的4個(gè)元素均已求出，通過(guò)式(35)就可以確定頻響函數(shù)矩陣R3b3b，最終通過(guò)式(15)、式(17)即可預(yù)測(cè)出任意懸伸長(zhǎng)度下刀具的刀尖點(diǎn)位移頻響函數(shù)ht11，具體步驟如圖4所示。

圖4　刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)流程圖

4　實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證本文方法的有效性，在VMC850E加工中心上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，本文研究中使用的刀柄型號(hào)為BT-40-ER32彈簧夾頭刀柄。實(shí)驗(yàn)中，每把刀具都使用較大力度進(jìn)行裝夾，可近似認(rèn)為實(shí)驗(yàn)刀柄與刀具之間的裝夾力恒定。

4.1求取子結(jié)構(gòu)Ⅲ點(diǎn)3b處頻響函數(shù)

首先通過(guò)一把實(shí)驗(yàn)刀具來(lái)求取子結(jié)構(gòu)Ⅲ點(diǎn)3b處頻響函數(shù)R3b3b，將此刀具記為T0，其幾何參數(shù)如圖5所示。T0的材料為高速鋼，其彈性模量為210 GPa，密度為7800 kg/m3，材料阻尼為0.0015，泊松比為0.3。子結(jié)構(gòu)劃分中的各相關(guān)坐標(biāo)點(diǎn)如圖5所示。

圖5　實(shí)驗(yàn)刀具T0幾何參數(shù)

由式(1)計(jì)算出T0刀齒部分的等效直徑de=8.6 mm，根據(jù)式(18)～式(25)、式(9)～式(13)計(jì)算出裝配體Ⅰ-Ⅱ兩自由端的頻響函數(shù)矩陣RS11、RS3a3a、RS13a和RS3a1。其中RS11頻響函數(shù)矩陣中的位移/力頻響函數(shù)的實(shí)部Re、虛部Im如圖6所示。

(a)實(shí)部

(b)虛部圖6　T0裝配體Ⅰ-ⅡRS11中位移/力頻響函數(shù)

在刀具T0的點(diǎn)3、4處分別進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)，使用Kistler9724A激振力錘對(duì)測(cè)量點(diǎn)施加瞬時(shí)激振力，并使用B&K4525B三向加速度傳感器記錄此時(shí)振動(dòng)加速度響應(yīng)。激振力信號(hào)和加速度信號(hào)使用NI9234數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行同步采集。模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)裝置照片如圖7所示。

圖7　模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)裝置照片

進(jìn)行多次測(cè)量，使用ModalView模態(tài)分析軟件得到頻響函數(shù)Ht33和Ht34，然后通過(guò)式(18)、式(19)計(jì)算出坐標(biāo)點(diǎn)3處的Nt33和Pt33，三者幅值H如圖8所示。

圖8　T0刀具點(diǎn)3處的頻響函數(shù)Ht33、Nt33、Pt33

(a)實(shí)部

(b)虛部圖9　子結(jié)構(gòu)Ⅲ點(diǎn)3b處位移/力頻響函數(shù)H3b3b

最終由式(35)計(jì)算出頻響函數(shù)矩陣R3b3b，其中位移/力頻響函數(shù)H3b3b的實(shí)部、虛部如圖9所示。4.2刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)與分析

根據(jù)本文預(yù)測(cè)方法對(duì)三把不同的刀具進(jìn)行刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)刀具分別記為T1、T2和T3，其參數(shù)如表1所示。

表1　預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)刀具的相關(guān)參數(shù)

在實(shí)際的刀具更換時(shí)，裝夾的刀具長(zhǎng)度可能會(huì)有所不同，但是其長(zhǎng)度變化在較小的范圍內(nèi)，且刀具裝夾長(zhǎng)度的變化對(duì)整個(gè)子結(jié)構(gòu)Ⅲ(包括整個(gè)機(jī)床-主軸結(jié)構(gòu)和刀柄結(jié)構(gòu))動(dòng)態(tài)特性的影響很小，故可忽略刀具裝夾長(zhǎng)度的變化對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。本文實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中各刀具裝夾長(zhǎng)度與實(shí)驗(yàn)刀具T0保持一致，均為20 mm。

首先預(yù)測(cè)較長(zhǎng)懸伸長(zhǎng)度的刀具T1的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，為驗(yàn)證預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，在T1刀尖點(diǎn)處進(jìn)行模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)，獲得其實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，二者實(shí)部、虛部的對(duì)比如圖10所示。

從圖10中可以看出，預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)的實(shí)部、虛部曲線在整體上符合較好，前三階固有頻率處具有很好的一致性。

然后預(yù)測(cè)較短懸伸長(zhǎng)度的刀具T2的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)，同時(shí)為了驗(yàn)證不同刀具直徑對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，T2刀具的直徑選為8 mm。使用上述相同方法得出T2刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)頻響函數(shù)，二者實(shí)部、虛部的對(duì)比如圖11所示。

(a)實(shí)部

(a)實(shí)部

從圖11可以看出，T2刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)的實(shí)部、虛部曲線在整體上符合較好，雖在第一階固有頻率處預(yù)測(cè)曲線具有一定的誤差，但其總體趨勢(shì)符合較好，且二者曲線中固有頻率基本相同。第二階、第三階固有頻率處預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)曲線符合程度較好。說(shuō)明刀具直徑在較小范圍內(nèi)變化時(shí)，本文預(yù)測(cè)方法仍是準(zhǔn)確的。

上述實(shí)驗(yàn)刀具T0和預(yù)測(cè)刀具T1、T2材料均為高速鋼，為研究不同材料對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，對(duì)硬質(zhì)合金刀具T3的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。使用與上述相同的方法得到T3刀尖點(diǎn)預(yù)測(cè)頻響函數(shù)和實(shí)測(cè)頻響函數(shù)，二者的實(shí)部、虛部對(duì)比如圖12所示。

(a)實(shí)部

(b)虛部圖12　刀具T3刀尖點(diǎn)預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)頻響函數(shù)對(duì)比

從圖12可以看出，T3刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線符合也很好，前三階固有頻率基本相同。由于刀具材料通常為硬質(zhì)合金和高速鋼兩種，所以，本文方法適用于不同材料刀具的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)。

為進(jìn)一步比較上述預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，從圖10～圖12的T1、T2、T3刀具的預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)曲線中分別求出各自的前3階固有頻率fn，如表2所示。

表2T1、T2、T3刀尖點(diǎn)預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)前三階固有頻率

刀具號(hào)數(shù)據(jù)項(xiàng)模態(tài)階次n123T1實(shí)測(cè)(Hz)4869471349預(yù)測(cè)(Hz)4829361330誤差(%)0.81.21.4T2實(shí)測(cè)(Hz)104518312184預(yù)測(cè)(Hz)97318012291誤差(%)6.91.64.9T3實(shí)測(cè)(Hz)89312141628預(yù)測(cè)(Hz)90611861645誤差(%)1.52.31.0

從表2中可以看出，刀尖點(diǎn)預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)固有頻率均比較接近，最大誤差為6.9%，最小誤差僅為0.8%，可認(rèn)為本文預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)是準(zhǔn)確的。

從上述的實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果可知，通過(guò)本文方法預(yù)測(cè)得到的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)具有較好的一致性，實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)的刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的前三階固有頻率誤差較小，同時(shí)，相比于其他刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法，本文預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確性較高，且無(wú)需考慮主軸-刀柄和刀柄-刀具兩處結(jié)合面的建模及其參數(shù)的識(shí)別，計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)單方便。本文刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)方法是可行的、準(zhǔn)確的，可以應(yīng)用于實(shí)際的切削加工穩(wěn)定性研究中。

5　結(jié)論

(1)提出一種改進(jìn)的基于RCSA方法的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)方法。該方法首先將機(jī)床系統(tǒng)劃分為機(jī)床-主軸-刀柄-部分刀桿、剩余刀桿和刀齒三個(gè)子結(jié)構(gòu)，通過(guò)銑刀的模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)由反向RSCA和一階有限差分法得出機(jī)床-主軸-刀柄結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)，然后由Euler梁模型計(jì)算出兩端自由的刀桿和刀齒子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，最后將三者進(jìn)行耦合預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)。

(2)以加工中心上三把不同銑刀為研究對(duì)象，分別得出其預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)并進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果表明：刀尖點(diǎn)的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)符合程度較高，其預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)固有頻率之間的誤差在6.9%以內(nèi)，具有較高的預(yù)測(cè)精度，本文預(yù)測(cè)方法是有效的、準(zhǔn)確的，適用于具有相似刀柄安裝情況的任意懸伸長(zhǎng)度的銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)。

(3)本文將機(jī)床-主軸、刀柄和一部分刀桿作為一個(gè)整體，直接通過(guò)銑刀的模態(tài)實(shí)驗(yàn)求取機(jī)床-主軸-刀柄處的轉(zhuǎn)動(dòng)頻響函數(shù)，避免了主軸-刀柄和刀柄-刀具兩處結(jié)合面參數(shù)的辨識(shí)和實(shí)驗(yàn)刀柄模型的制作，計(jì)算簡(jiǎn)單，預(yù)測(cè)快速、準(zhǔn)確，便于實(shí)際應(yīng)用。

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(編輯郭偉)

An Improved Tool Point Frequency Response Function Prediction Method Based on RCSA

Zhu JianminWang JianZhang TongchaoLi Xiaoru

University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

The present predicting methods of tool point frequency response function (FRF) based on RCSA needed to identify the joint parameters of the spindle-holder and holder-tool joints and to manufacture the artificial tool-holder model, which will result in predicting errors and complexity, aiming at these problems, this paper presented an improved tool point FRF predicting method based on the RCSA. This method firstly improved the present substructure separating methods, and separated the machine-spindle-holder-tool structure into three parts: the machine-spindle-holder-partial tool bar, the remaining toolbar and the tool tooth; then improved the method for calculating the rotating FRFs of the machine-spindle-holder-partial tool bar through inverse RCSA and finite difference method by applying modal impact test on the toolbar, and calculated the FRFs of the remaining toolbar and tool tooth using Euler beam theory;finally the tool point FRF was predicted by coupling the three parts’ FRFs. Experiments conducted on a machining center show that the predicted and measured tool point FRFs are in good agreement, the error between the first three order natural frequencies of the predicted and measured FRFs are within 6.9%, the proposed method is feasible, effective and easy to carry out, it can compute the spindle-holder’s rotating FRFs directly based on the tool modal experiments, avoiding the identification of the joint parameters and the manufacturing of the holder model.

milling cutter；tool point frequency response function；prediction；receptance coupling substructure analysis (RCSA)

2014-10-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975179)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(11ZZ136)；上海市科委科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(13160502500)；滬江基金資助項(xiàng)目(D14005)

TH113DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.03.001

朱堅(jiān)民，男，1968年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)的智能測(cè)控。王健(通信作者)，男，1989年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。張統(tǒng)超，男，1990年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。李孝茹，女，1980年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。