韓　江　江本赤　夏　鏈　田曉青

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

基于遞歸特征分析的NURBS曲線插補(bǔ)算法

韓江江本赤夏鏈田曉青

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

在分析NURBS曲線公式中基函數(shù)遞歸特征的基礎(chǔ)上，提出了一種新的NURBS曲線插補(bǔ)算法。該算法通過(guò)前一個(gè)參數(shù)增量值和前一段插補(bǔ)弦長(zhǎng)來(lái)確定下一個(gè)參數(shù)增量值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的密化。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在改善弦長(zhǎng)誤差和減小計(jì)算量方面優(yōu)于Taylor展開(kāi)插補(bǔ)算法。

NURBS曲線；遞歸特征；迭代算法；插補(bǔ)

0　引言

在CAD/CAM系統(tǒng)中，一般采用參數(shù)形式來(lái)表示復(fù)雜的曲線和曲面。NURBS具備很強(qiáng)的形狀控制能力，于1991年被ISO確定為定義產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學(xué)方法[1]。然而，傳統(tǒng)的CNC系統(tǒng)只能進(jìn)行直線和圓弧插補(bǔ)，需要用大量微直線段和圓弧逼近自由曲線，不僅需要大量的存儲(chǔ)空間，而且需要很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，這顯然不符合高速加工的實(shí)時(shí)性要求。更重要的一點(diǎn)是用多段直線和圓弧表示曲線，段間的不連續(xù)破壞了曲線或曲面的光滑度，同時(shí)會(huì)導(dǎo)致速度、加速度的不連續(xù)[2]。因此，學(xué)者們對(duì)多種NURBS曲線直接插補(bǔ)技術(shù)進(jìn)行了研究[3-6]。通過(guò)將NURBS曲線參數(shù)傳遞給數(shù)控系統(tǒng)，然后由CNC系統(tǒng)生成軌跡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)NURBS曲線的直接插補(bǔ)。NURBS曲線插補(bǔ)就是在已知當(dāng)前參數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)合理確定參數(shù)增量值來(lái)求取下一個(gè)參數(shù)值，然后從參數(shù)空間映射到軌跡空間，下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)就是將新的參數(shù)值代入數(shù)學(xué)模型而得到的。因而，NURBS曲線插補(bǔ)的關(guān)鍵在于確定下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)參數(shù)的密化。

Bedi等[7]首先提出將曲線參數(shù)在定義域內(nèi)等分的方法，該方法會(huì)造成插補(bǔ)速度的波動(dòng)。Shpitalni等[8]針對(duì)參數(shù)曲線提出了Taylor展開(kāi)近似方法的插補(bǔ)算法。現(xiàn)有文獻(xiàn)中報(bào)道的NURBS曲線插補(bǔ)算法大多是基于Taylor展開(kāi)公式逼近而實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)密化的[9-14]。由于Taylor一階逼近會(huì)產(chǎn)生較大的截?cái)嗾`差，羅福源等[10]對(duì)基于Taylor一階展開(kāi)插補(bǔ)法的平穩(wěn)性進(jìn)行了研究。Shiuh等[11]在Taylor展開(kāi)近似計(jì)算的基礎(chǔ)上考慮了曲線的幾何特性，提出了閉環(huán)控制NURBS插補(bǔ)算法。Farouki等[12]和Yeh等[13]分別采用Taylor二階逼近和改變速度的方法來(lái)減小插補(bǔ)誤差。Liu等[14]提出了考慮動(dòng)力學(xué)的NURBS插補(bǔ)算法。Feng等[15]提出了考慮軸加速度限制的NURBS實(shí)時(shí)自適應(yīng)插補(bǔ)算法。上述考慮加減速和機(jī)床動(dòng)力學(xué)的NURBS曲線插補(bǔ)算法也采用了Taylor二階逼近。無(wú)論采用哪一種算法，Taylor一階逼近都會(huì)產(chǎn)生較高的插補(bǔ)弦長(zhǎng)誤差，而Taylor二階逼近將大大增加運(yùn)算量。

事實(shí)上，通過(guò)考察NURBS曲線的定義公式不難發(fā)現(xiàn)，其中的B樣條基函數(shù)是由遞推公式定義的，存在遞歸特性。該特性的幾何意義體現(xiàn)在，當(dāng)相鄰的兩個(gè)參數(shù)增量值接近時(shí)，通過(guò)插補(bǔ)所得到的兩個(gè)弦長(zhǎng)值亦較接近。因此，一方面，可以通過(guò)預(yù)估的參數(shù)增量值Δu初步獲取所需弦長(zhǎng)；另一方面，盡管參數(shù)與弦長(zhǎng)之間不存在精確的解析關(guān)系，但仍可根據(jù)初步得到的弦長(zhǎng)值反過(guò)來(lái)對(duì)參數(shù)增量值Δu進(jìn)行適當(dāng)?shù)奈⒄{(diào)，經(jīng)過(guò)少量的迭代計(jì)算得到理想的參數(shù)增量值。

本文提出了一種基于NURBS自身遞歸特征的NURBS曲線簡(jiǎn)易插補(bǔ)算法。該算法通過(guò)前一個(gè)參數(shù)增量值和前一個(gè)弦長(zhǎng)值來(lái)獲取下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)增量值。為得到理想的弦長(zhǎng)值，在算法中設(shè)置了過(guò)渡參數(shù)增量值，最終的有效參數(shù)增量值則是利用上述遞歸特征更新過(guò)渡增量值而得到的。對(duì)一條典型NURBS曲線進(jìn)行的插補(bǔ)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的可行性。

1　NURBS曲線的定義

一條p次NURBS曲線定義為

(1)

a≤u≤b

其中，Pi為控制頂點(diǎn)；wi為權(quán)因子；Ni,p(u)是定義在非周期節(jié)點(diǎn)矢量U上的p次B樣條基函數(shù)，它是在區(qū)間[ui,ui+p+1)上的非零多項(xiàng)式，其數(shù)值為

(2)

(3)

節(jié)點(diǎn)矢量U中，a和b的重復(fù)度都為p+1，除非特別聲明，通常取a=0，b=1。

式(2)和式(3)為B樣條基函數(shù)定義公式，不難看出其具有遞歸特征。以定義在節(jié)點(diǎn)矢量U=(0，0，0，0，0.25，0.5，0.75，1，1，1，1)上的3次基函數(shù)為例，考察基函數(shù)的變化情況，如圖1所示。為便于觀察，圖1中只給出了其部分基函數(shù)。可見(jiàn)，各基函數(shù)是連續(xù)的，不存在突變。

圖1　某3次NURBS曲線的部分基函數(shù)

當(dāng)Δu=0.005時(shí)，取相鄰兩基函數(shù)的差值ΔNi,p(u)=Ni,p(u)-Ni-1,p(u)，可以更清楚地觀察基函數(shù)的變化情況，如圖2所示?？梢?jiàn)，基函數(shù)的遞歸特征決定其變化的平滑性，因而利用遞歸特征求取均勻的插補(bǔ)弦長(zhǎng)存在理論上的可行性。

圖2　相鄰基函數(shù)的變化量

2　基于遞歸特征的NURBS曲線插補(bǔ)算法

NURBS曲線插補(bǔ)的關(guān)鍵在于求取下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，而軌跡插補(bǔ)算法就是實(shí)現(xiàn)參數(shù)u在節(jié)點(diǎn)矢量區(qū)間上的密化。針對(duì)Taylor展開(kāi)算法的不足，為減小運(yùn)算量和改善插補(bǔ)弦長(zhǎng)誤差，本文提出了基于NURBS自身遞歸特征的插補(bǔ)算法。

2.1求取初始參數(shù)增量Δu1的算法

設(shè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間為0≤u≤1，即umin=0，umax=1。按照遞歸特征求取參數(shù)增量值，需要前一個(gè)參數(shù)增量值和前一段插補(bǔ)弦長(zhǎng)，但是用這種方法顯然無(wú)法求出第一個(gè)參數(shù)增量值Δu1。考慮到當(dāng)參數(shù)u從0增大到1時(shí)，就完成了對(duì)整個(gè)NURBS曲線的插補(bǔ)，即當(dāng)參數(shù)的變化量為Δut=umax-umin時(shí)，弧長(zhǎng)的變化量為NURBS曲線的總弧長(zhǎng)Lt。設(shè)期望弦長(zhǎng)值為L(zhǎng)d，可嘗試用Δut∶Lt=Δu1∶Ld這個(gè)比例關(guān)系來(lái)初步求出Δu1。但是由于計(jì)算弧長(zhǎng)Lt比較復(fù)雜，經(jīng)分析NURBS曲線的有關(guān)參數(shù)信息，本文擬利用控制點(diǎn)之間的距離總長(zhǎng)Lk(即控制多邊形的總邊長(zhǎng))代替Lt來(lái)初步求出Δu1，所產(chǎn)生的誤差可以通過(guò)較簡(jiǎn)單的迭代計(jì)算來(lái)消除。Lk的計(jì)算公式為

(4)

式中，xP(i)、yP(i)為控制頂點(diǎn)Pi的坐標(biāo)值。

由于Lt與Lk之間存在較大誤差，將此處所求出的參數(shù)增量值稱(chēng)為過(guò)渡參數(shù)增量值，記作Δu1,1，其計(jì)算公式為

Δu1,1=ΔutLd/Lk

(5)

同理，記過(guò)渡參數(shù)值u2,1=u1+Δu1,1，利用NURBS公式求出過(guò)渡插補(bǔ)點(diǎn)C(u2,1)之后，可得到首個(gè)過(guò)渡弦長(zhǎng)L1,1=|C(u2,1)-C(u1)|。將L1,1與期望弦長(zhǎng)Ld之間相對(duì)誤差率記為ε1，其表達(dá)式為

ε1=(Ld-L1,1)/Ld

(6)

記給定的許用相對(duì)誤差為[εL]，當(dāng)ε1>[εL]時(shí)，則需求出第2次過(guò)渡參數(shù)增量值，按照下式進(jìn)行1次迭代計(jì)算(為了明確算法的計(jì)算量，將使用NURBS公式的次數(shù)稱(chēng)作迭代次數(shù))：

Δu1,1=Δu1,1Ld/L1,1

(7)

同理，可得到過(guò)渡參數(shù)值u2,2=u1+Δu1,2和過(guò)渡弦長(zhǎng)L1,2=|C(u2,2)-C(u1)|，并求出相對(duì)誤差ε2。則求取初始參數(shù)增量值的通式為

Δu1,k=Δu1,k-1Ld/L1,k-1k≥2

(8)

連續(xù)應(yīng)用式(8)，直到弦長(zhǎng)相對(duì)誤差滿(mǎn)足要求為止，而此時(shí)的過(guò)渡值即為最終的有效值。即當(dāng)εk≤[εL]時(shí)，Δu1,k=Δu1，u2,k=u2，L1,k=L1。計(jì)算Δu1所需迭代次數(shù)的確定方法將在實(shí)驗(yàn)仿真部分詳細(xì)說(shuō)明。

2.2求取其余參數(shù)增量Δui(i>1)的算法

按照上述對(duì)遞歸特征的分析，當(dāng)兩個(gè)參數(shù)增量值大小接近時(shí)，所得到的兩弦長(zhǎng)值也比較接近，即當(dāng)Δui-1≈Δui時(shí)，Li-1≈Li，反之亦然。因此，可以通過(guò)期望弦長(zhǎng)值反求Δui。上文已經(jīng)求出了Δu1和u2，其余的插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)為ui+1=ui+Δui(i>1)，其中的參數(shù)增量Δui,1的計(jì)算公式為

Δui,1=Δui-1Ld/Li-1

(9)

類(lèi)似于式(8)，通過(guò)m-1次迭代求取其余參數(shù)增量值的通式為

Δui,m=Δui,m-1Ld/Li,m-1m≥2

(10)

當(dāng)εm≤[εL]時(shí)，Δui,m=Δui。特別地，當(dāng)ui>umax時(shí)，取ui=umax。計(jì)算Δui(i>1)所需迭代次數(shù)的確定方法也將在實(shí)驗(yàn)仿真部分說(shuō)明。

3　仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文算法的可行性并評(píng)估其性能，現(xiàn)以節(jié)點(diǎn)矢量U=(0,0,0,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,0.9,1,1,1,1)，控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2.0,8)mm，(3.0,4.8)mm，(4.0,3.0)mm，(5.0,2.0)mm，(6.2,2.5)mm，(7.5,8.8)mm，(9.0,8.5)mm，(10.5,7.0)mm，(11.0,5.0)mm，(13.5,0)mm，(16.0,5.5)mm，(18.0,7.0)mm，wi=1，p=3的NURBS曲線為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。如果將期望弦長(zhǎng)設(shè)為恒定值，則利用本文算法所獲得的插補(bǔ)點(diǎn)分布情況如圖3所示。

圖3　期望弦長(zhǎng)設(shè)為恒定值時(shí)的插補(bǔ)點(diǎn)分布示意圖

3.1迭代次數(shù)的確定

3.1.1確定計(jì)算Δu1所需迭代次數(shù)

第一個(gè)參數(shù)增量Δu1的求解，由于沒(méi)有前一段弦長(zhǎng)值可供參考，本文參照了NURBS曲線控制多邊形的邊長(zhǎng)值，雖然會(huì)產(chǎn)生較大的弦長(zhǎng)相對(duì)誤差，但可通過(guò)后續(xù)的迭代計(jì)算來(lái)改善。為了控制誤差范圍，設(shè)置許用弦長(zhǎng)誤差率[εL]作為迭代計(jì)算的判斷依據(jù)，即當(dāng)前一次計(jì)算所得弦長(zhǎng)的誤差率超過(guò)[εL]時(shí)，就需進(jìn)行下一次迭代計(jì)算。下面的仿真實(shí)驗(yàn)是按照2.1節(jié)所述的計(jì)算方法開(kāi)展的。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)期望弦長(zhǎng)Ld=0.1mm時(shí)，未經(jīng)迭代計(jì)算(僅根據(jù)控制多邊形的邊長(zhǎng)值按比例求解)所得的過(guò)渡參數(shù)增量Δu1,1=2.9067×10-3，弦長(zhǎng)誤差率ε1=186.46%；經(jīng)1次迭代計(jì)算后的Δu1,2=1.0147×10-3，弦長(zhǎng)誤差率ε2=1.33%；迭代2次所得的Δu1,3=1.0013×10-3，弦長(zhǎng)誤差率則降至ε3=0.01%?？梢?jiàn)，對(duì)于該NURBS曲線，若設(shè)[εL]=2%作為控制條件，則只需進(jìn)行1次迭代；若設(shè)[εL]=1%，則需進(jìn)行2次迭代。

當(dāng)期望弦長(zhǎng)Ld=1μm時(shí)，未經(jīng)迭代計(jì)算所得的Δu1,1=2.91×10-5，ε1=192.29%；經(jīng)1次迭代計(jì)算后的Δu1,2=9.9445×10-6，而弦長(zhǎng)誤差率降至ε2=0.01%；迭代2次所得的Δu1,3=9.9432×10-6，弦長(zhǎng)誤差率則驟降至ε3=10-8。顯然，當(dāng)期望弦長(zhǎng)值為μm級(jí)時(shí)，若以[εL]=1%作為控制條件，則只需進(jìn)行1次迭代，而即使[εL]=0.1%，迭代2次已經(jīng)足夠。

作為首個(gè)參數(shù)增量，Δu1的精確度將影響后續(xù)參數(shù)增量Δui(i>1)計(jì)算的迭代效率。因此，必要時(shí)可以考慮減小[εL]值以適當(dāng)增加迭代計(jì)算的次數(shù)，但是3次迭代已經(jīng)能獲得足夠高的精度。

3.1.2確定計(jì)算Δui(i>1)所需迭代次數(shù)

對(duì)照上文計(jì)算Δu1的方法，來(lái)探究求解Δui(i>1)所需的迭代次數(shù)，仍分別取Ld=0.1mm和Ld=1μm進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。為了表征弦長(zhǎng)值的波動(dòng)情況，特引入標(biāo)準(zhǔn)差σ，其計(jì)算公式如下：

(11)

圖4　Ld=0.1 mm時(shí)的插補(bǔ)弦長(zhǎng)變化情況

圖5　Ld=1 μm時(shí)的插補(bǔ)弦長(zhǎng)變化情況

綜合圖4和圖5可見(jiàn)，在同等弦長(zhǎng)誤差率限制條件下，期望弦長(zhǎng)Ld越小，求解參數(shù)增量Δui所需的迭代次數(shù)越少，當(dāng)Ld為μm級(jí)時(shí)，未經(jīng)迭代計(jì)算而根據(jù)遞歸特征直接求解即可得到非常高的計(jì)算精度。

3.2誤差分析

曲線插補(bǔ)的誤差一般分為徑向誤差和弦高誤差。對(duì)于本文所提出的直接插補(bǔ)算法，由于插補(bǔ)點(diǎn)都是通過(guò)NURBS公式直接計(jì)算出來(lái)的，即所有插補(bǔ)點(diǎn)都落在曲線上，不存在徑向誤差。其弦高誤差Ei計(jì)算公式為

(12)

式中，ri為第i個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)C(ui)處的曲率半徑；Li為第i段插補(bǔ)弦長(zhǎng)。

由式(12)可以看出，當(dāng)弦長(zhǎng)值Li很小時(shí)，Ei也很小。以本文所用的NURBS曲線為例，其曲率分布情況如圖6所示，當(dāng)u=0.224時(shí)，曲率半徑取得最小值rmin=0.559mm，此時(shí)的弦高誤差Ei將達(dá)到最大值Emax。當(dāng)Li=Ld=0.1mm時(shí)，Emax=2μm；當(dāng)Li=Ld=1μm時(shí)，Emax=0.2236nm。

圖6　NURBS曲線曲率分布圖

可見(jiàn)，當(dāng)期望弦長(zhǎng)為μm級(jí)時(shí)，本文算法產(chǎn)生的弦高誤差與目前數(shù)控機(jī)床的分辨率相比，完全可以忽略。

3.3與泰勒展開(kāi)方法對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本算法的性能，從運(yùn)算量和插補(bǔ)弦長(zhǎng)誤差兩個(gè)方面，將其與常用的Taylor展開(kāi)系列算法進(jìn)行對(duì)比。

3.3.1插補(bǔ)運(yùn)算量的比較

Taylor二階展開(kāi)插補(bǔ)算法常用的公式為

而本算法中當(dāng)?shù)螖?shù)為2次以上(m≥2)時(shí)所用的公式為

Δui,m=Δui,m-1Ld/Li,m-1

顯然本算法極大地減少了運(yùn)算量，更易于滿(mǎn)足高速插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性要求。

3.3.2插補(bǔ)弦長(zhǎng)誤差的比較

仍以圖3所示的NURBS曲線為例，設(shè)置期望弦長(zhǎng)Ld=0.1 mm，比較兩種算法插補(bǔ)運(yùn)算的弦長(zhǎng)誤差情況。

圖7　一階Taylor展開(kāi)與一次迭代計(jì)算效果對(duì)比

圖8　二階Taylor展開(kāi)與二次迭代計(jì)算效果對(duì)比

結(jié)果表明，與Taylor展開(kāi)系列算法相比，本算法不僅運(yùn)算量小，而且弦長(zhǎng)誤差也更小，總體上優(yōu)于基于Taylor展開(kāi)的插補(bǔ)算法。

4　結(jié)語(yǔ)

在分析NURBS自身遞歸特征的基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的NURBS曲線插補(bǔ)算法。該算法通過(guò)前一段插補(bǔ)弦長(zhǎng)和前一個(gè)參數(shù)增量的關(guān)系來(lái)獲取下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：①通過(guò)利用NURBS公式進(jìn)行少量的迭代計(jì)算可顯著改善插補(bǔ)的弦長(zhǎng)誤差，并可根據(jù)所設(shè)置的精度自動(dòng)調(diào)整迭代次數(shù)；②在運(yùn)算量相當(dāng)?shù)臈l件下，期望弦長(zhǎng)越短，插補(bǔ)效率越高，當(dāng)期望弦長(zhǎng)值為μm級(jí)時(shí)，未經(jīng)迭代計(jì)算而根據(jù)遞歸特征直接求解亦可得到極高的插補(bǔ)精度，而且弦高誤差也足夠小。

由于該算法避免了復(fù)雜的NURBS曲線求導(dǎo)運(yùn)算，代之以簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，故其計(jì)算量遠(yuǎn)小于基于Taylor展開(kāi)的系列算法，改善了插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性。而且該算法插補(bǔ)弦長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差也小于Taylor展開(kāi)算法，可以更有效地抑制插補(bǔ)速度的波動(dòng)。

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(編輯陳勇)

NURBS Curve Interpolation Algorithm Based on Recursive Feature Analysis

Han JiangJiang BenchiXia LianTian Xiaoqing

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Based on the recursive feature analysis of the base function in NURBS formula, a novel interpolation algorithm was put forwards. The method obtained the next parameter increment by a previous parameter increment and a previous chord length, and then the parameter interpolation was achieved.Simulation results show that, the proposed interpolation algorithm has obvious advantages in improving chord length errors and lessening computation load compared with those using Taylor’s equation.

NURBS curve；recursive feature；iterative algorithm；interpolation

2013-09-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275147)

TP273< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.01.019

韓江，男，1963年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造技術(shù)、數(shù)控技術(shù)與數(shù)控裝備。發(fā)表論文100余篇。江本赤，男，1979年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院博士研究生。夏鏈，女，1964年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院教授。田曉青，女，1987年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院講師。