黃應(yīng)清+文軍+謝志宏

摘 要： 傳統(tǒng)的攝像機(jī)標(biāo)定方法需要依賴空間的點(diǎn)對(duì)應(yīng)條件或者特定的運(yùn)動(dòng)模式，且內(nèi)外參數(shù)存在的耦合問題易引起求解的不穩(wěn)定和不精確現(xiàn)象。非量測(cè)校正方法利用透視投影本身的幾何不變特性，通過將畸變參數(shù)分離出來單獨(dú)求解，較好地克服了傳統(tǒng)方法的上述問題。這里從畸變模型、不變特征與畸變測(cè)度、模型求解三個(gè)方面綜述并總結(jié)了非量測(cè)校正技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀和技術(shù)路線。

關(guān)鍵詞： 非量測(cè)校正； 畸變模型； 畸變測(cè)度； 非線性尋優(yōu)

中圖分類號(hào)： TN911.73?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）20?0059?04

Research on non?metric calibration algorithm of camera lens distortion

HUANG Yingqing， WEN Jun， XIE Zhihong

（Department of Control Engineering， Academy of Armored Force Engineering， Beijing 100072， China ）

Abstract： The traditional camera calibration method relies on spatial point corresponding conditions or specific movement patterns， and is easy to cause the instability and inaccuracy due to coupled problem of internal and external parameters. To solve these problems， the non?metric calibration algorithm is proposed， which takes the advantage of the geometrical invariability of perspective projection to separate distortion parameter to solve it independently. The development status and technical route of non?metric calibration algorithm are concluded from the distortion model， invariant features & distortion measure， and model solution.

Keywords： non?metric calibration； distortion model； distortion measure； nonlinear optimization

攝像機(jī)標(biāo)定是任何視覺任務(wù)的基礎(chǔ)，是通過二維圖像獲取三維信息的橋梁。以張正友法為代表的傳統(tǒng)標(biāo)定方法利用空間和像平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)估計(jì)攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，這樣的方法主要存在3個(gè)方面的問題：

（1） 依賴特定的標(biāo)定物，如棋盤[1]等；

（2） 需要準(zhǔn)確的空間點(diǎn)的物理坐標(biāo)，而這在實(shí)際應(yīng)用如視頻監(jiān)控[2]中很難實(shí)現(xiàn)；

（3） 攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)可能存在某種程度的耦合[3?4]，影響求解的精度和穩(wěn)定性。

還有一些方法利用多個(gè)視圖之間點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者利用相機(jī)與物體之間的已知某種特定的運(yùn)動(dòng)關(guān)系來求解內(nèi)外參數(shù)。這些方法都需要一定的先驗(yàn)知識(shí)，且一般需要多個(gè)視圖以求解相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。非量測(cè)畸變校正方法的出現(xiàn)解決了這些問題，并越來越受到人們的重視。這些方法將畸變參數(shù)的求解單獨(dú)分離出來，利用透視投影的幾何不變特征，如直線[3?7]，消失點(diǎn)（滅點(diǎn)）[8?11]，球體的圖像[12]，交比不變性[13?14]，平行性[15]等，確定合適的畸變測(cè)度，通過建立測(cè)度與畸變參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，以非線性尋優(yōu)來確定測(cè)度的最小值，并求解相應(yīng)的畸變參數(shù)。這些方法不依賴特定的標(biāo)定物和特定的相機(jī)運(yùn)動(dòng)，且能從單幅圖像得到相機(jī)的畸變系數(shù)，因而得到了廣泛的應(yīng)用。本文將從畸變模型、不變特征與畸變測(cè)度和模型求解3個(gè)方面介紹攝像機(jī)的非量測(cè)校正方法。

1 畸變模型

理想的針孔攝像機(jī)模型是線性的，但是由于畸變的存在，空間中的點(diǎn)在像平面上的實(shí)際位置并不是針孔模型所確立的理想的像素點(diǎn)的位置?；兡Ｐ蚚u]描述的是空間中的點(diǎn)[（X，Y）]在圖像上的實(shí)際位置[（xd，yd）]和理想的無畸變圖像上的點(diǎn)[（xu，yu）]的映射關(guān)系，即[u：（xd，yd）→（xu，yu）]。根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)合，人們提出了不同的畸變模型來描述上述關(guān)系。Brown和Fitzgibbon分別提出了攝像機(jī)畸變的多項(xiàng)式和除式校正模型[16]，Basu等人提出了對(duì)數(shù)畸變模型，Devernay等人提出了FOV模型。

1.1 多項(xiàng)式模型

該模型最早由Brown提出，并得到了廣泛應(yīng)用和發(fā)展，現(xiàn)在其一般形式為：

[xu=xd+xd（k1r2d+k2r4d+k3r6d+…）+ [p1（r2d+2xd2）+2p2xdyd][1+p3r2d+…]yu=yd+yd（k1r2d+k2r4d+k3r6d+…） + [p2（r2d+2yd2）+2p1xdyd][1+p3r2d+…]] （1）

式中：[xd=xd-cx]；[yd=yd-cy]；[r2d=xd2+yd2]；[k1，k2，k3，…]是徑向畸變系數(shù)；[p1，p2，p3，…]是切向畸變系數(shù)；[rd]是畸變圖像中的點(diǎn)到畸變中心[（cx，cy）]的距離。需要說明的是，通常情況下只對(duì)其中有限個(gè)畸變參數(shù)進(jìn)行建模，因?yàn)楦唠A項(xiàng)的影響相對(duì)較小，通常只需考慮一階或二階徑向畸變即可滿足系統(tǒng)測(cè)量精度要求[17?18]，憑經(jīng)驗(yàn)來說，多引入?yún)?shù)可以任意精度逼近該模型，實(shí)際上引入過多參數(shù)反而會(huì)引起解的不穩(wěn)定性[19]。因此在不同的場(chǎng)合，必須采用不同的畸變模型。

1.2 除式模型

Fitzgibbon提出的除式模型[20]能夠使用較少參數(shù)校正較大鏡頭的畸變，其一般形式為[21]：

[ru=rd1+k1r2d+k2r4d+???] （2）

采用一階模型，其求解結(jié)果為：

[xu=xd1+kr2dyu=yd1+kr2d] （3）

各個(gè)符號(hào)的含義同1.1節(jié)。這種模型主要估計(jì)徑向畸變。文獻(xiàn)[8]指出，非徑向畸變的總和是徑向畸變的[18]～[17]，因而這種方法也能達(dá)到較高的精度。

1.3 對(duì)數(shù)模型

為了使模型能夠更好地反映魚眼相機(jī)的畸變，Basu等人研究提出了攝像機(jī)畸變的對(duì)數(shù)模型[22]。

[rd=R（ru）=s?log（1+λru）] （4）

式中：[rd]，[ru]為圖像中心到圖像點(diǎn)的距離；[s]為畸變因子；[λ]為徑向畸變系數(shù)。該模型對(duì)于魚眼鏡頭和廣角鏡頭的畸變校正比較適用，因而獲得一定范圍的應(yīng)用。

1.4 FOV模型

Devernay等人根據(jù)魚眼鏡頭像點(diǎn)與圖像主點(diǎn)的距離與其相應(yīng)的三維點(diǎn)，光軸，光心之間的角度成比例的特點(diǎn)，提出另一種魚眼鏡頭畸變模型，即FOV（視場(chǎng)角）[5]模型。其形式為：

[rd=1ωarctan（2rutan ω2）] （5）

其逆變換為：

[ru=tan（rdω）2tan ω2] （6）

式中[ω]為魚眼鏡頭的視場(chǎng)角。如果這樣的一階模型不足以描述鏡頭的畸變，還可以引入改進(jìn)的高階模型以提高精度，以滿足不同的要求。

以上是一些常用的畸變模型，畸變模型的選擇是進(jìn)行攝像機(jī)校正的第一步，不同的模型有不同的適用范圍和條件。在大多數(shù)場(chǎng)合，一般選擇多項(xiàng)式模型，如現(xiàn)在的Matlab標(biāo)定工具箱和Opencv的標(biāo)定程序都是使用多項(xiàng)式模型。

2 不變特征與畸變測(cè)度

一旦選定了畸變模型，那么基于非量測(cè)校正的方法的一個(gè)重要內(nèi)容就是選擇合適的不變特征和畸變測(cè)度。由于非量測(cè)的校正方法不依靠點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系和特定的運(yùn)動(dòng)行為，所以必須根據(jù)透視投影的性質(zhì)選取合適的不變特征來建立畸變測(cè)度。所謂畸變測(cè)度是指畸變大小的定量衡量標(biāo)準(zhǔn)，而這些畸變測(cè)度的建立常和選用的不變特征有關(guān)。根據(jù)透視投影的性質(zhì)，透視投影的幾何不變特征包括直線的投影仍為直線、消失點(diǎn)（滅點(diǎn)）、球體圖像等。在所有這些特征中，直線因?yàn)閺V泛存在于各個(gè)場(chǎng)景中而被經(jīng)常使用。

2.1 直線特征與相應(yīng)的畸變測(cè)度

基于直線的畸變測(cè)度是利用透視投影中直線的投影仍為直線這一性質(zhì)。最初的時(shí)候，通過邊緣提取和曲線擬合來估算畸變量，由于這種方法比較繁瑣，可靠性不高而逐漸被其他方法取代?，F(xiàn)行的方法主要是通過提取出亞像素精度的圖像邊緣，定義相關(guān)的畸變測(cè)度，使用相應(yīng)的非線性尋優(yōu)方法，求出最優(yōu)的畸變系數(shù)。基于直線的畸變測(cè)度主要有：畸變的線點(diǎn)的平均曲率、線點(diǎn)兩端和中線之間的距離、畸變點(diǎn)與其修正曲線的距離平方和、畸變曲線兩端相連所圍成的面積等。

2.1.1 修正后曲線斜率一致性測(cè)度

這一測(cè)度最初由Moumen Ahmed提出[6]，其基本思想是，若畸變的圖像被很好地修正，那么其在修正的曲線上每一點(diǎn)的斜率都相等。故可以定義斜率差值作為畸變測(cè)度，其一般形式為：

[ξs=i=2Ns（xdi，ydi）-s（xdi-1，ydi-1）2] （7）

式中：[ξs]為畸變測(cè)度；[s（xdi，ydi）]為畸變曲線在點(diǎn)[（xdi，ydi）]的斜率。

這一測(cè)度的提出改變了以往通過曲線擬合來利用曲線特征的繁瑣方法，具有更高的精度，為后來的研究開拓了思路。

2.1.2 法線平行性測(cè)度

這是Moumen Ahmed利用直線特征提出的另一畸變測(cè)度[3]，是校正后曲線斜率一致的一種等價(jià)表述形式。該方法巧妙地利用了圖像邊緣法線的方向與其灰度梯度方向平行的性質(zhì)，從而能夠利用圖像灰度方便地求解出曲線上各點(diǎn)的法線方向。這一測(cè)度的一般表述形式為：

[ξg=i=2Ng′（xdi，ydi）-g′（xdi-1，ydi-1）2 ] （8）

式中：[ξg]為畸變測(cè)度；[g′（xdi，ydi）]為曲線上點(diǎn)[（xdi，ydi）]的灰度梯度。這里需要說明一點(diǎn)，這種方法還利用了這樣一個(gè)假設(shè)：圖像的畸變僅影響圖像點(diǎn)的位置，不影響圖像的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值。這個(gè)假設(shè)是這種方法的前提，目前還沒有相應(yīng)的證明，因而在應(yīng)用上存在一定的局限性。

2.1.3 修正后的面積最小化測(cè)度

張靖等人提出了修正后面積平方和測(cè)度[23]，其基本思想是，把修正后得到的曲線的兩個(gè)端點(diǎn)的用直線段連接起來，形成一條圍線，如果曲線得到有效修正，那么得到的圍線的面積就會(huì)越小，因而可用圍線面積來衡量畸變大小和修正效果。該畸變測(cè)度函數(shù)可以表示為：

[ξ=i=1Mj=1Nj（xjiyj+1i-xj+1iyji）2] （9）

式中：[ξ]為畸變測(cè)度；[（xji，yji）]是修正后第[i]條曲線第[j]個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。與前述方法相比，這種方法計(jì)算量相對(duì)小，且具有一定的抗噪能力，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

2.1.4 共線向量外積最小化測(cè)度

周子卿等人根據(jù)修正后曲線上的點(diǎn)組成的共線向量外積為零的性質(zhì)，提出了共線向量外積最小化測(cè)度[24]，其一般形式為：

[ξ=l=1Li=2Nl-1pi-1pi×pipi+12+m=1Mj=2Nm-1pj-1pj×pjpj+12] （10）

式中：

[pi-1pi×pipi+12=[（xui-xui-1）（yui+1-yui） - （xui+1-xui）（yui-yui-1）]， i=2，3，???，Nl-1] （11）

其基本思想是無畸變的像平面上的直線組成的共線向量的外積應(yīng)為零，因此可以采用最小化這個(gè)外積值來求解相應(yīng)的畸變參數(shù)。

以上四種方法都是通過將直線在像平面的投影拉直，或者將其直線度增強(qiáng)，從而求解出相應(yīng)畸變參數(shù)的。

2.2 消失點(diǎn)（滅點(diǎn)）

空間中平行直線在像平面上的投影并不會(huì)相互平行，而是會(huì)相交在某一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)通常被稱為滅點(diǎn)或消失點(diǎn)。根據(jù)這一性質(zhì)，霍炬等人提出了基于消隱點(diǎn)幾何特性的攝像機(jī)自標(biāo)定方法[11]，蔡鳴等人提出了基于消隱點(diǎn)無窮單應(yīng)的攝像機(jī)焦距精確自標(biāo)定方法[9]，盧津等人提出了新型正交消隱點(diǎn)的攝像機(jī)標(biāo)定方法[10]。這些方法都是根據(jù)平行線會(huì)相交于滅點(diǎn)這一條件，建立滅點(diǎn)幾何約束條件與徑向畸變系數(shù)的非線性模型，通過算法估計(jì)滅點(diǎn)坐標(biāo)與徑向畸變參數(shù)。根據(jù)質(zhì)量評(píng)價(jià)準(zhǔn)則（畸變測(cè)度）求解畸變中心和徑向畸變系數(shù)。

2.3 球體圖像

球體圖像方面，Ying等利用三幅球體圖像確立的6個(gè)不變量建立約束方程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)反射折射全向照相機(jī)的標(biāo)定[25]，這種方法比通過直線特征獲得的不變量更具有魯棒性。Sun等利用球體圖像改進(jìn)傳統(tǒng)攝像機(jī)標(biāo)定方法[12]，不僅精度與傳統(tǒng)方法相當(dāng)，而且能夠最少通過一幅圖像實(shí)現(xiàn)攝像機(jī)的標(biāo)定，從而具備獨(dú)特的價(jià)值。

3 模型求解

本節(jié)從求解數(shù)據(jù)的獲取，畸變中心的處理，求解方法和離群值的剔除方面介紹畸變模型的求解問題。

3.1 亞像素定位技術(shù)

亞像素定位技術(shù)是獲取模型求解數(shù)據(jù)和保證求解精度的關(guān)鍵。很多人在聽到亞像素定位時(shí)可能會(huì)懷疑，既然像素是圖像的最低單位，那么亞像素定位看起來就是不合常理的。這種理解通常來說是正確的，但是亞像素定位是有前提的，即目標(biāo)不是由單一的像素點(diǎn)構(gòu)成，而是存在一定的形狀和灰度分布[5]。這樣在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行初步分析處理之后，利用浮點(diǎn)運(yùn)算便能得到此目標(biāo)亞像素的位置特征。因?yàn)榛儏?shù)本來的值就非常小，所以采用亞像素定位技術(shù)保證了求解的準(zhǔn)確性。值得一提的是，目前Matlab的標(biāo)定工具箱和OpenCV相應(yīng)的標(biāo)定函數(shù)均采用此技術(shù)提取角點(diǎn)的坐標(biāo)值。

3.2 畸變中心的處理

在獲得計(jì)算的數(shù)據(jù)之后，模型求解一個(gè)重要問題是對(duì)畸變中心的處理。這是因?yàn)槿绻麑⒒冎行暮突兿禂?shù)一起優(yōu)化求解，將會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象[5，7]。一般來說，可以十分粗略地將圖像中心視為畸變中心，實(shí)際上除非安裝足夠精密，畸變中心和圖像中心一般是不重合的。但是由于畸變中心和圖像中心在相差[±10]像素時(shí)仍能夠達(dá)到亞像素的精度[3]，因此在求解的初期可以將圖像中心近似表示畸變中心。在精確求解時(shí)，可以通過額外增加兩個(gè)切向畸變項(xiàng)[19]來精確表示這個(gè)誤差。這是將畸變中心和畸變系數(shù)一起求解時(shí)不穩(wěn)定的原因所在，也是一種處理畸變中心的方法。

3.3 求解算法

模型求解的另一個(gè)關(guān)鍵問題是確定求解算法，模型求解實(shí)際上是尋找畸變測(cè)度的最小值問題。文獻(xiàn)[10，26?27]使用Levenberg?Marquardt （LM）算法，LM算法是一種尋找函數(shù)值最小值參數(shù)的向量算法，它通過在Hessian矩陣上加一個(gè)正定矩陣來進(jìn)行分析評(píng)估，其存在的問題是需要對(duì)每一個(gè)待估參數(shù)求偏導(dǎo)，在參數(shù)復(fù)雜時(shí)可能不太適應(yīng)。為了避免這個(gè)問題，周子卿等使用Powell算法求解[26]，這是一種典型的求函數(shù)極值方法，屬于共軛梯度法的范疇。文獻(xiàn)[3，6]使用LMedS算法，不僅求出了最優(yōu)值，而且能有效地剔除離群值，從而為非量測(cè)自動(dòng)校正提供可能。

最小化測(cè)度的問題實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)非線性尋優(yōu)的問題，在傳統(tǒng)的攝像機(jī)標(biāo)定問題上，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、粒子群算法等典型的非線性尋優(yōu)方法都有應(yīng)用。在非量測(cè)校正方面，殷春平等用粒子群算法優(yōu)化攝像機(jī)標(biāo)定過程[28]，張靖等又將遺傳算法[23]應(yīng)用于此，這兩種算法都是典型的群智能方法。群智能方法能有效地獲取函數(shù)的最優(yōu)解，在初值好的情況下能避免陷入局部極值，但是存在兩個(gè)問題：一是需要輸入最初的估計(jì)值，二是求解過程比較繁瑣，速度較慢，實(shí)時(shí)性差。故其應(yīng)用存在一定的局限性。

3.4 離群值判別技術(shù)

非量測(cè)校正經(jīng)歷了手動(dòng)、半自動(dòng)、自動(dòng)校正的過程，其在數(shù)據(jù)處理方面一個(gè)非常重要的問題是離群值的判別和處理。一個(gè)十分重要的問題是為什么會(huì)存在離群值。以用直線作為畸變測(cè)度為例，離群值的引入很可能是因?yàn)檎`將空間中曲線的圖像視為直線的圖像，將其作為求解的原始數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致得到了錯(cuò)誤的或者精度低的結(jié)果。為了避免這種情況，文獻(xiàn)[17，20]采用Ransac （Random Sample Consensus Algorithm）來剔除離群值，其基本思想是從樣本中隨機(jī)抽選出一個(gè)樣本子集，然后建立模型，計(jì)算所有樣本與該模型的偏差，通過設(shè)定的閾值確定該參數(shù)是否是離群值，通過迭代得到最佳的模型參數(shù)估計(jì)值。值得注意的是，前述的LMedS方法本身也是一種離群值的剔除方法，并得到全局最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)，而且相比Ransac算法而言，其閾值的設(shè)定更加容易。但是當(dāng)樣本中離群值達(dá)到或超過50%時(shí)，LMedS算法就失效了，這是因?yàn)長MedS每次迭代記錄的是“Med”偏差值。當(dāng)然在實(shí)際的標(biāo)定過程中，一般不會(huì)有這么高的離群值比例，因而也不失為一種好的方法。文獻(xiàn)[29]重點(diǎn)對(duì)離群值的消除做了一些探索。

4 結(jié) 語

本文從畸變模型、不變量與畸變測(cè)度、模型求解方面對(duì)非量測(cè)校正技術(shù)進(jìn)行了全面的回顧和介紹，使讀者能夠迅速了解非量測(cè)校正技術(shù)發(fā)展歷程。非量測(cè)校正技術(shù)是一門發(fā)展迅速的技術(shù)，它經(jīng)歷了手動(dòng)、半自動(dòng)到自動(dòng)校正的發(fā)展歷程。未來將集中在畸變模型求解的改進(jìn)方法研究和不完全信息條件下的畸變測(cè)度研究方面，如線陣CCD成像條件下的校正問題，求解的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性要求也引起了廣泛關(guān)注。目前雖然研究非量測(cè)校正的人員較多，但并沒有像張正友法一樣形成類似工具箱一樣的工具，因而其應(yīng)用的普遍性得到一定的制約。隨著研究的深入，相信非量測(cè)校正技術(shù)必然將更加成熟。

參考文獻(xiàn)

[1] 范勇，周敬濱，王傳珂，等.一種實(shí)用的平板高精度攝像機(jī)標(biāo)定方法[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2010，18（1）：172?174.

[2] KELLEY J. A camera calibration method for a hammer throw analysis tool [J]. Procedia Engineering， 2014， 72（10）： 74?79.

[3] AHMED M， FARAG A. Nonmetric calibration of camera lens distortion： differential methods and robust estimation [J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2005， 14（8）： 1215?1230.

[4] SWAMINATHAN R， NAYAR S. Nonmetric calibration of wide?angle lenses and polycameras [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2000， 22（10）： 1172?1178.

[5] DEVERNAY F， FAUGERAS O. Straight lines have to be straight [J]. Machine Vision and Applications， 2001， 13（1）： 14?24.

[6] EL?MELEGY M， FARAG A. Nonmetric lens distortion calibration： closed?form solutions， robust estimation and model selection [C]// Proceedings of the 9th IEEE International Conference on Computer Vision. Nice， France： IEEE， 2003： 554?559.

[7] PRESCOTT B， MCLEAN G. Line?based correction of radial lens distortion [J]. Graphical Models and Image Processing， 1997， 59（1）： 39?47.

[8] 劉丹，劉學(xué)軍，王美珍.由滅點(diǎn)進(jìn)行徑向畸變的自動(dòng)校正[J].中國圖象圖形學(xué)報(bào)，2014，19（3）：407?413.

[9] 蔡鳴，孫秀霞，劉樹光，等.基于消隱點(diǎn)無窮單應(yīng)的攝像機(jī)焦距精確自標(biāo)定方法[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2014，34（5）：187?192.

[10] 盧津，孫惠斌，常智勇.新型正交消隱點(diǎn)的攝像機(jī)標(biāo)定方法[J].中國激光，2014，41（2）：302?310.

[11] 霍炬，楊衛(wèi)，楊明.基于消隱點(diǎn)幾何特性的攝像機(jī)自標(biāo)定方法[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（2）：465?472.

[12] SUN J， CHEN X， GONG Z， et al. Accurate camera calibration with distortion models using sphere images [J]. Optics & Laser Technology， 2015， 65（10）： 83?87.

[13] 賀俊吉，張廣軍，楊憲銘.基于交比不變性的鏡頭畸變參數(shù)標(biāo)定方法[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25（5）：597?599.

[14] LI D， WEN G， WEI H B， et al. Cross?ratio invariant based line scan camera geometric calibration with static linear data [J]. Optics and Lasers in Engineering， 2014， 62（10）： 119?125.

[15] 曲學(xué)軍，張璐.基于平行直線束圖像序列的攝像機(jī)標(biāo)定[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2010，18（6）：1421?1423.

[16] BROWN D C. Close?range camera calibration [J]. Photogrammetric Engineering， 1971， 37（8）： 855?866.

[17] ZHU H， WANG X， ZHOU J， et al. Approximate model of fisheye camera based on the optical refraction [J]. Multimed Tools Appl， 2014， 73（3）： 1445?1457.

[18] KANG S B. Semiautomatic methods for recovering radial distortion parameters from a single image [R]. Santa Cruz： Technical Report CRL， 1997.

[19] 徐嵩，孫秀霞，劉樹光，等.攝像機(jī)畸變標(biāo)定的模型參考逼近方法[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2013，33（7）：231?242.

[20] FITZGIBBON A. Simultaneous linear estimation of multiple view geometry and lens distortion [C]// Proceedings of 2001 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. [S.l.]： IEEE， 2001： 120?125.

[21] 陳天飛，馬孜，李鵬，等.一種基于非量測(cè)畸變校正的攝像機(jī)標(biāo)定方法[J].控制與決策，2012，27（2）：243?246.

[22] BASU A， LICARDIE S. Alternative models for fish?eye lenses [J]. Pattern Recognition Letters，1995，16（4）：433?441.

[23] 張靖，朱大勇，張志勇.攝像機(jī)鏡頭畸變的一種非量測(cè)校正方法[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（8）：1552?1557.

[24] 周子卿，趙鵬，李勃，等.基于共線向量的非量測(cè)鏡頭畸變校正[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2014，34（10）：180?185.

[25] YING X， HU Z. Catadioptric camera calibration using geometric invariants [J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2004， 26（10）： 1260?1271.

[26] 周富強(qiáng)，蔡斐華.基于非量測(cè)畸變校正的攝像機(jī)標(biāo)定方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45（8）：228?232.

[27] 周富強(qiáng)，胡坤，張廣軍.基于共線特征點(diǎn)的攝像機(jī)鏡頭畸變校正[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42（9）：174?177.

[28] 殷春平，陳藝峰，吳了泥，等.基于粒子群算法的攝像機(jī)標(biāo)定過程優(yōu)化[J].機(jī)電工程，2012，29（1）：100?103.

[29] KIM B， CHUNG S， SONG M， et al. Correcting radial lens distortion with advanced outlier elimination [C]// Proceedings of 2010 International Conference on Audio Language and Image Processing. Shanghai： IEEE， 2010： 1693?1699.