曲軍恒，張進(jìn)虎，陳風(fēng)儀

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院信息科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣東佛山528000；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510460）

一類(lèi)p-Laplace型方程非平凡解的存在性

曲軍恒1，張進(jìn)虎2，陳風(fēng)儀2

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院信息科學(xué)與數(shù)學(xué)系，廣東佛山528000；2.華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510460）

通過(guò)變量代換，將非線性p-Laplace問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榘敕蔷€性問(wèn)題，然后利用山路引理及Cerami序列證明了此問(wèn)題非平凡解的存在.

p-Laplace型方程；山路引理；Cerami序列；非平凡解

1　引言

現(xiàn)實(shí)科研與工程中，偏微分方程非常重要，特別是在物理領(lǐng)域與工程領(lǐng)域.它們中有很多問(wèn)題都集中在如何解微分方程，線性微分方程因其特殊的形式，現(xiàn)階段研究思路比較清晰，解決的比較徹底，但是非線性偏微分方程比較麻煩，研究下面一類(lèi)非線性p-Laplace型方程解的存在性

2　定理的證明

由于泛函I（u）在一般的Sobolev空間W1，p（RN）沒(méi)有定義，進(jìn)行如下的變量變換

證明見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.

接下來(lái)，我們建立山路引理的幾何條件［2］.

引理2存在ρ0，a0＞0使得對(duì)所有的‖‖v=ρ0有

所以，當(dāng)‖v‖=ρ0時(shí)，選擇很小的ρ0，結(jié)論成立.引理3存在v∈W1，p（RN）使得J（v）＜0.

事實(shí)上，因?yàn)镚-1（v）≤v由（h3），（h4）和引理1當(dāng)t→+∞時(shí)，有

因?yàn)椋鹶n｝是一個(gè)Cerami序列，根據(jù)引理4知｛vn｝有界.所以存在v∈W1，p（RN）使得在W1，p（RN）中，有vn→v.由Lebesgue控制理論，可得

所以，v是（1）的一個(gè)弱解.

下面證明v?0，反證法：假設(shè)v=0，我們聲明｛vn｝也是定義的泛函～J∶W1，p→R的一個(gè)Cerami序列，其中

這樣得到了一個(gè)矛盾的結(jié)果J（vn）→c＞0.所以，｛vn｝不會(huì)消失且存在k，R＞0，和｛yn｝?使得

這矛盾.所有v是一個(gè)非平凡解.

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［2］Yang J，Wang Y J，Abdelgadir A A.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations［J］.J Math phy，2013，54（7）：1502-1507.

［3］Cheng Y K，Yang J.Positive solution to a class of relativistic nonlinear Schr?dinger equation［J］.J Math Anal Appl，2014，411（2）：665-674.

［4］Silva EAB，Vieira G F.Quasilinear asymptotically periodic Schr?dinger equations with subcritical growth［J］.Nonlinear Anal，2010，72：2935-2949.

責(zé)任編輯：劉紅

The Existence of Nontrivial Solution to a Class of p-Laplace Type Equation

QU Junheng1，ZHANG Jinhu2，CHEN Fengyi2
（1.Information Science and Mathematics Department，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China；2.School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

Using variable substitution，we converted a nonlinear p-Laplace type equation into a nonlinear elliptic equation. By Mountain Pass Lemma and Cerami sequence we showed the existence of nontrivial solution for a class of p-Laplace type equation.

p-Laplace type equations；Mountain pass theorem；Cerami sequence；Nontrivial solution

O 175.25

A

1674-4942（2015）04-0362-05

2015-10-17

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11461014）