潘國(guó)榮， 郭 巍， 周躍寅

（同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092）

基于誤差分解定權(quán)的工業(yè)測(cè)量空間線面擬合算法

潘國(guó)榮， 郭 巍， 周躍寅

（同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092）

針對(duì)工業(yè)工件擬合中測(cè)量數(shù)據(jù)由于測(cè)量?jī)x器特性導(dǎo)致的不同方向誤差分量差異問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了基于誤差分解定權(quán)的工業(yè)測(cè)量擬合算法。該算法考慮了工件姿態(tài)以及測(cè)量?jī)x器和測(cè)點(diǎn)的空間關(guān)系，分析了縱向誤差和橫向誤差分量對(duì)空間直線和空間平面擬合的影響，然后通過(guò)影響量對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行定權(quán)，從而削弱儀器測(cè)量誤差對(duì)擬合結(jié)果的影響，提高工件擬合精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法相比等權(quán)擬合精度可提高約16%。

計(jì)量學(xué)；工件擬合；誤差分解；加權(quán)擬合；工業(yè)測(cè)量

1　引 言

工業(yè)測(cè)量擬合在工業(yè)構(gòu)件制造與檢測(cè)中廣泛應(yīng)用，快捷的測(cè)量方法和高精度的擬合算法成為研究的熱點(diǎn)［1，2］。文獻(xiàn)［3］基于平差理論研究了新的空間圓球擬合算法，文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］分別基于粗差剔除和空間分布特性研究了點(diǎn)云的平面擬合，文獻(xiàn)［6］將直線擬合應(yīng)用于角點(diǎn)檢測(cè)。全站儀、激光跟蹤儀等儀器為較大尺寸工件的測(cè)量提供了高效手段，然而由于極坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)往往具有不同量級(jí)的測(cè)角精度和測(cè)距精度，以及測(cè)量?jī)x器相對(duì)測(cè)點(diǎn)的位置不同，從而導(dǎo)致測(cè)點(diǎn)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差橢圓大小和軸方向的不同。一般工業(yè)擬合計(jì)算中是將點(diǎn)位誤差進(jìn)行等權(quán)處理［7］，未考慮測(cè)點(diǎn)誤差方向分量的差異性。

本文提出的算法考慮了儀器和測(cè)點(diǎn)相對(duì)空間關(guān)系，以及待擬合工件的形狀和姿態(tài)，將測(cè)量誤差分解為縱向誤差和橫向誤差，并依此為參與擬合計(jì)算的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)定權(quán)。

2　誤差分量影響分析

2.1相關(guān)定義

（1）縱向誤差：與目標(biāo)工件在測(cè)點(diǎn)處切平面垂直的誤差分向量，記為EV。

（2）橫向誤差：與目標(biāo)工件在測(cè)點(diǎn)處切平面平行的誤差分向量，記為EH。

記測(cè)量?jī)x器的測(cè)角誤差為ζ（在測(cè)點(diǎn)處轉(zhuǎn)化為點(diǎn)位誤差），測(cè)距常數(shù)誤差為a，測(cè)距系數(shù)誤差為k，記儀器中心位置為P0（X0，Y0，Z0），記某測(cè)點(diǎn)測(cè)量結(jié)果為Pi（Xi，Yi，Zi）（i∈N），測(cè)站-測(cè)點(diǎn)連線與線、面夾角為αi，測(cè)距誤差為εdi，測(cè)角誤差在空間距離上的對(duì)應(yīng)量為εαi。

2.2空間直線與平面測(cè)點(diǎn)的誤差分解

對(duì)于直線和平面來(lái)說(shuō)，等量的縱向誤差和橫向誤差對(duì)其擬合精度影響差異如圖1所示。

圖1　縱向誤差與橫向誤差對(duì)直線（平面）擬合的影響

可見(jiàn)，對(duì)于直線和平面，橫向誤差不影響其擬合的空間形狀和姿態(tài)，縱向誤差則完整地影響了空間直線和平面的擬合結(jié)果。因此，等量的縱向誤差和橫向誤差e對(duì)直線εαi和平面的影響比為0∶e?？紤]儀器位置，關(guān)于直線和平面εdi測(cè)點(diǎn)處的誤差分解如圖2所示。

圖2　誤差分解示意圖

下面，考慮測(cè)站位置和工件姿態(tài)，分析測(cè)距、測(cè)角精度對(duì)線、面上不同位置測(cè)點(diǎn)的縱向誤差和橫向誤差的影響，并依此確定定權(quán)依據(jù)。根據(jù)空間幾何原理，易得其函數(shù)關(guān)系為：

式中，εαi=tan（ζ）·Dis ti，εdi=a+k·Dis ti，Dis ti為測(cè)點(diǎn)Pi到測(cè)站P0的距離，a為測(cè)距常數(shù)誤差，k為測(cè)距系數(shù)誤差，二者與反射協(xié)作目標(biāo)有關(guān)。

由式（1）易知，隨著測(cè)站—測(cè)點(diǎn)連線與直線或平面夾角的增加，縱向誤差分量趨向一極值，該極值與測(cè)距誤差和測(cè)量范圍有關(guān)，而橫向誤差分量則趨向于零，即當(dāng)夾角為90度時(shí)，只有測(cè)角誤差存在橫向分量，而在小范圍內(nèi)測(cè)角誤差又非常小。而對(duì)于直線和平面，只有縱向誤差分量影響其擬合形狀和姿態(tài)，在此設(shè)單位權(quán)中誤差為1，則其測(cè)點(diǎn)擬合定權(quán)為：

3　誤差分解定權(quán)擬合算法

誤差分解定權(quán)擬合算法（Error Decomposition Weighted Fitting Algorithm，簡(jiǎn)稱EDWF）的基本流程為：

（1）先按照各測(cè)點(diǎn)等權(quán)初步擬合空間線、面，以確定各測(cè)站—測(cè)點(diǎn)連線以及線、面的空間姿態(tài)，為誤差分解擬合提供初值，此步引入的姿態(tài)誤差將在隨后的迭代計(jì)算中削弱。

然而，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，很多教師因?yàn)閿?shù)形結(jié)合的教學(xué)意識(shí)不強(qiáng)、疏于對(duì)數(shù)形結(jié)合教學(xué)技能的練習(xí)，無(wú)法在教學(xué)過(guò)程中準(zhǔn)確、規(guī)范、清晰、高效的繪制出便于學(xué)生理解與記憶的圖形。很多教師仍然沿用過(guò)去死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)的教學(xué)方法，學(xué)生的積極性在復(fù)雜繁重又提高不明顯的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)常受到打擊，教育教學(xué)的水平成績(jī)始終得不到長(zhǎng)足發(fā)展和進(jìn)步。

（2）考慮儀器測(cè)角精度和測(cè)距精度，根據(jù)第2.2節(jié)中提及的誤差分解方法，對(duì)各測(cè)點(diǎn)誤差進(jìn)行分解，提取出影響工件擬合姿態(tài)結(jié)果的誤差分量，并以此分量為各測(cè)點(diǎn)再次擬合定權(quán)。

（3）依據(jù)新權(quán)值重新進(jìn)行不等權(quán)擬合計(jì)算。

（4）依據(jù)（3）中計(jì)算出的線、面參數(shù)重復(fù)執(zhí)行步驟（2）、（3），直致滿足迭代精度要求。

具體算法過(guò)程因擬合體的形狀不同而不同，下面分別介紹空間直線和空間平面的誤差分解定權(quán)擬合算法。

3.1空間直線分解定權(quán)擬合

空間直線的矩陣形式為：

當(dāng)待擬合空間直線測(cè)量了n個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)時(shí)，定義矩陣：

3.2平面誤差分解定權(quán)擬合

同空間直線擬合類似，當(dāng)Pi（xiyizi）T（i= 1，2，…，n）為擬合平面上的三維坐標(biāo)測(cè)量點(diǎn)時(shí)有：

同樣，以高斯最小二乘準(zhǔn)則VTPV=min為依據(jù)，求得最優(yōu)擬合參數(shù)為：

式中的權(quán)陣P為按第2.2節(jié)中所述方法經(jīng)過(guò)誤差分解后每個(gè)測(cè)點(diǎn)所確定的權(quán)值，在第一次擬合時(shí)由于平面法向量參數(shù)未知，故采用等權(quán)替代，得到平面初步參數(shù)后，重新確定每個(gè)點(diǎn)的權(quán)值，再進(jìn)一步精確擬合求得平面參數(shù)?？臻g線面夾角仍然采用向量法求得，公式如下：式中，m=（a＾，b＾，c＾）為第一次等權(quán)擬合出的空間平面法向量，n為通過(guò)測(cè)站坐標(biāo)和測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)所在直線的方向向量，則測(cè)站和測(cè)點(diǎn)連線與待擬合平面的線面角為與待擬合平面法向量夾角的余角。

4　實(shí)驗(yàn)與分析

4.1仿真實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)以仿真為主，即通過(guò)數(shù)學(xué)模擬法獲取標(biāo)準(zhǔn)空間線、面及其表面點(diǎn)，再根據(jù)測(cè)量?jī)x器的誤差特性和測(cè)站位置對(duì)模擬的表面點(diǎn)進(jìn)行添加誤差處理，使其與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)具有相同的正態(tài)隨機(jī)分布誤差規(guī)律，然后分別用等權(quán)擬合和EDWF擬合對(duì)模擬測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合計(jì)算，最后比較分析擬合結(jié)果與模擬的標(biāo)準(zhǔn)線面的參數(shù)差異或姿態(tài)差異，以此判定EDWF算法對(duì)擬合精度的影響。

（1）空間直線仿真實(shí)驗(yàn)

依據(jù)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)模擬生成方法在設(shè)定的測(cè)距、測(cè)角誤差下生成100次空間直線及其測(cè)點(diǎn)模擬數(shù)據(jù)，分別對(duì)每次數(shù)據(jù)進(jìn)行等權(quán)擬合和EDWF擬合，然后將兩次擬合結(jié)果分別與標(biāo)準(zhǔn)空間直線比較，得到兩種擬合方法與標(biāo)準(zhǔn)空間直線的異面夾角和異面距離。

結(jié)果表明，100次實(shí)驗(yàn)擬合直線與標(biāo)準(zhǔn)直線的異面夾角，EDWF擬合較等權(quán)擬合在測(cè)角誤差0.5″測(cè)距誤差1+1×10-6時(shí)平均減小16.43%。100次試驗(yàn)擬合直線與標(biāo)準(zhǔn)直線的異面距離，EDWF擬合較等權(quán)擬合在測(cè)角誤差0.5″測(cè)距誤差1+1×10-6時(shí)平均減小15.73%，并對(duì)一些等權(quán)擬合結(jié)果出現(xiàn)偏移現(xiàn)象的數(shù)據(jù)有較好的修正性。

（2）空間平面仿真實(shí)驗(yàn)

依據(jù)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)模擬生成方法在設(shè)定的測(cè)距、測(cè)角誤差下生成100次空間平面及其模擬測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，分別對(duì)每次數(shù)據(jù)進(jìn)行等權(quán)擬合和EDWF擬合，然后將兩次擬合的結(jié)果分別與標(biāo)準(zhǔn)空間平面比較，得到兩種擬合方法與標(biāo)準(zhǔn)空間平面的夾角。

結(jié)果表明，100次實(shí)驗(yàn)擬合平面與標(biāo)準(zhǔn)平面的夾角，EDWF擬合較等權(quán)擬合在測(cè)角誤差0.5″測(cè)距誤差1+1×10-6時(shí)平均減小15.78%。

綜上可知，對(duì)于空間直線和空間平面的擬合，EDWF擬合較等權(quán)擬合有較明顯的精度改進(jìn)，在空間姿態(tài)和空間位置上都更接近真實(shí)值。

4.2直線導(dǎo)軌擬合實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)描述：采用Sokkia NET05全站儀，測(cè)角精度0.5″，棱鏡測(cè)距精度0.8+1×10-6mm，對(duì)直線導(dǎo)軌進(jìn)行雙盤位測(cè)量。由于無(wú)法得到直線導(dǎo)軌真實(shí)的空間參數(shù)，因此該實(shí)驗(yàn)采用全部19個(gè)點(diǎn)的等權(quán)擬合結(jié)果作為近似設(shè)計(jì)參數(shù)，而只對(duì)其中部分點(diǎn)（前12個(gè)點(diǎn)）進(jìn)行擬合實(shí)驗(yàn)計(jì)算，根據(jù)多余觀測(cè)數(shù)越多精度越高的原理，比較等權(quán)擬合和EDWF擬合與直線導(dǎo)軌（近似參數(shù)）的參數(shù)差異。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，等權(quán)擬合與EDWF擬合相比近似直線參數(shù)，異面夾角分別為5′17″和3′46″，EDWF擬合減少約28.5%，該值比仿真實(shí)驗(yàn)略好，其原因在于實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景的特定性和導(dǎo)軌近似參數(shù)偏差，以及實(shí)際儀器的測(cè)量精度與標(biāo)定精度偏差所致。

5　結(jié) 論

本文提出誤差分解加權(quán)擬合（EDWF）算法，根據(jù)測(cè)站—測(cè)點(diǎn)關(guān)系和擬合體的空間姿態(tài)將測(cè)點(diǎn)誤差分解為縱向誤差和橫向誤差，并以其對(duì)擬合結(jié)果的影響量為測(cè)點(diǎn)賦不同的權(quán)，使擬合出的幾何體在空間姿態(tài)和位置上更接近實(shí)際工件。本中主要采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)驗(yàn)證EDWF擬合算法的性能，分別對(duì)直線和平面在不同參數(shù)下進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明相比等權(quán)擬合，EDWF擬合有明顯的擬合精度提升，約16%。

對(duì)于不同形狀縱向誤差和橫向誤差的分解方法是不同的，本文只針對(duì)空間直線和空間平面進(jìn)行了誤差分解擬合說(shuō)明，對(duì)其他幾何體如空間圓、球、圓柱等誤差分解擬合方法將在隨后的工作中進(jìn)行。

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Industrial Measurement Fitting Algorithm for Space Line/Plane Based on Error Decomposition Weighting

PAN Guo-rong， GUO Wei， ZHOU Yue-yin
（College of Surveying and Geo-Informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

In industrial measurement fitting applications，because of the measuring characteristics of instruments，error components of measurement data in different directions are difference，aiming at this problem a fitting algorithm for space line and plane base on error decomposition weighting has been proposed.Spatial attitude of workpiece and relationship between instrument and measuring points are considered.Then，influence quantity of vertical error and horizontal error on space line fitting and plane fitting are analyzed to weight measuring points.Experiment results show that compare with equalweighted fitting algorithm，this algorithm improved the fitting precision about 16%.

metrology；workpiece fitting；error decomposition；weighted fitting；industrial measurement

TB921

A

1000-1158（2015）05-0469-04

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.05.05

2013-11-29；

2014-04-17

教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20120072110049）；測(cè)繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)（HY14122136）

潘國(guó)榮（1960-），男，浙江紹興人，同濟(jì)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榫芄こ坦I(yè)測(cè)量與數(shù)據(jù)處理、三維可視化仿真。pgr2@163.com