摘 要 從發(fā)明專利教具顯示的數(shù)學(xué)機械化思想談數(shù)學(xué)教材、教法改革。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)；教材；教學(xué)儀器

中圖分類號：G484 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）17-0029-02

數(shù)量的多少，人們都是用單位的組合體去顯示，用數(shù)字去抽象、用數(shù)量（哪個單位的個數(shù)）表達，比值顯示兩個數(shù)量的關(guān)系，簡比顯示兩個數(shù)量的存在狀態(tài)。數(shù)學(xué)就是認識它們的產(chǎn)生、讀寫，應(yīng)用它們解決數(shù)學(xué)問題。

1 現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材與國際專利計數(shù)器

從教育部課程教材發(fā)展研究中心田慧生主任回顧新中國成立后進行的八輪課改，便知中國數(shù)學(xué)教材是蘇（聯(lián)）式教材，支持蘇式教材的專利教具計數(shù)器（W09408282AI 1994.04.14）——由每檔10珠算盤制作，其特征是檔位處設(shè)置的數(shù)位順序顯示件，“個”位處附有小數(shù)點，顯示件可左右移動，直觀顯示教材中整數(shù)或小數(shù)的寫法、小數(shù)的基本性質(zhì)、小數(shù)的大小變化規(guī)律。

2 數(shù)學(xué)教材改革與中國專利——單位關(guān)系算珠儀

單位關(guān)系算珠儀（CN1996430b 2010.08.18），由每檔9珠算盤制作，其特征是檔位處設(shè)置固定的數(shù)位順序顯示件，顯示件與算珠件之間設(shè)置可左右移動的小數(shù)點，直觀顯示10進制（數(shù)位順序），10進制數(shù)，單名數(shù)（一位數(shù)）、復(fù)名數(shù)（多位數(shù)），將一復(fù)名數(shù)簡寫成單名數(shù)——確認基本單位、組成單位、主單位（整數(shù)或小數(shù)的認識），單名數(shù)的改寫，小數(shù)的基本性質(zhì)，小數(shù)的大小變化規(guī)律與計算。

國家專利局實質(zhì)審查本發(fā)明，因與前國際計數(shù)器雷同而否認。筆者的答辯是：自然數(shù)顯示相同單位的個數(shù)，其寫法不涉及數(shù)位與數(shù)位順序，用自然數(shù)表示數(shù)量不需用小數(shù)點，如何用記數(shù)記號（數(shù)碼）1、2、3、4、5、6、7、8、9、0或它們的有序組合顯示各不同自然數(shù)數(shù)字？必須顯示位置順序（位置制）…千百十一；用同一位置數(shù)碼的不同與同一數(shù)碼位置的不同顯示各不同的自然數(shù)，只能用標有位置順序的每檔9珠算盤顯示。10進制數(shù)是對10進制不同位組合體的抽象，如3元2角5分，抽象為325。10進制數(shù)的寫法必須顯示數(shù)位順序，如人民幣的數(shù)位順序“…千百十元角分…”，1在不同數(shù)位為不同的單位，用數(shù)位顯示該單位的有限（最多為9）個數(shù)，10進制數(shù)的寫法只能用標有數(shù)位順序（10進制）每檔9珠的算盤顯示。同理，2進制數(shù)的寫法只能用標有數(shù)位順序（2進制）每檔1珠的算盤顯示……

現(xiàn)如今，顯示長度、人民幣、重量、面積、體積的多少用10進制數(shù)是普遍方式，顯示自然物體、產(chǎn)品的多少用自然數(shù)。一個10進制數(shù)，用它顯示某數(shù)量，必須用小數(shù)點標注主單位在其數(shù)位順序中所在數(shù)位，顯示各組成單位與主單位關(guān)系發(fā)生，如325.（分）=3.25（元），認識整數(shù)或小數(shù)。一數(shù)字所在數(shù)位不動，顯示數(shù)量的大小不變，小數(shù)點位置移動，顯示單名數(shù)的改寫；一小數(shù)的小數(shù)點位置不動，顯示主單位不變，其數(shù)字或左或右位置移動，顯示產(chǎn)生這一數(shù)字的單位大小發(fā)生變化，小數(shù)的大小就發(fā)生規(guī)律性變化（例證略）。

兩儀器看似結(jié)構(gòu)相同，制作原理全然不同，一次答辯，單位關(guān)系算珠儀獲發(fā)明專利權(quán)。它進入課堂，有力促進蘇式數(shù)學(xué)課程教材向中式數(shù)學(xué)課程教材的轉(zhuǎn)化，真實反映現(xiàn)代人類生活。

3 對空間形式的教與學(xué)

就是用單位的組合體的存在顯示數(shù)量，后抽象為數(shù)字，再用數(shù)字與單位的名稱組合表示數(shù)量。依據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，改進傳統(tǒng)學(xué)生尺，顯示相同單位組合體的存在，抽象為自然數(shù)；發(fā)明2進制學(xué)生尺，用不同單位組合體制作，抽象為2進制數(shù)；發(fā)明10進制學(xué)生尺，四色形體顯示儀，用單位各自不同的9個組合體制作，抽象為10進制數(shù)。數(shù)字顯示單位組合體的結(jié)構(gòu)。在所有自然數(shù)中，只有1顯示單位，其他為這一單位的不同個數(shù)。

同一個自然數(shù)的顯示，印度與中國各不同，如：1（一）、10（十）、100（百）、1000（千）、10000（萬）……法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace，1749—1827）曾寫道：“用十個記號（1、2、3、4、5、6、7、8、9、0）來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度?！庇谩啊f千百十一”顯示位置不同的位置順序與不同位置值，按位置寫數(shù)，印度數(shù)字最妙；按位置值讀數(shù)，中國數(shù)字最佳。如：500 000 000，五億。故清政府1892年規(guī)定：寫數(shù)用印度數(shù)字，讀數(shù)用中國數(shù)字。

對不同單位組合體抽象為數(shù)字的表述，是一道世界級難題。用1在不同數(shù)位顯示不同的單位，用數(shù)位顯示該單位的有限個數(shù)。如賬目單上有“...萬千百十元角分”（注：

…萬、千、百、十，分別為復(fù)名萬元、仟元、佰元、拾元的簡寫）。數(shù)位用人民幣單位的名稱顯示，數(shù)位順序用左右相鄰兩單位關(guān)系為10的排列（10進制）顯示，產(chǎn)生的數(shù)字是10進制數(shù)。同一數(shù)量，分別用自然數(shù)與10進制數(shù)顯示，其數(shù)字相同，但意義不同，寫法與用法有別，這一點必須引起教育者的高度注意和重視。

將同一單位個數(shù)的1、2、4、8、16、32、64、128…不同組合體，為不同的單位，都改用1在不同數(shù)位顯示，難就難在無法顯示數(shù)位與數(shù)位順序（2進制）。發(fā)現(xiàn)用2為底的不同次冪作為不同單位的標識，…2726252423222120；用它展示2進制，可顯示2進制數(shù)的寫與算；2進制顯示不同單位值的合并，用它既能揭示二進制數(shù)算理，又能反映2進制數(shù)與自然數(shù)相互改寫，如：自然數(shù)138=128+8+2=27+23+21=10001010，二進制數(shù)。還能展示中、小學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，如：因（111）2=22+21+20，延伸（321）N

=3N2+2N+1等。一個數(shù)量，小學(xué)是用一個數(shù)（一位數(shù)或多位數(shù)）顯示，中學(xué)是用一個式（單項式或多項式）顯示。

冪作為單位的標識，并顯示單位值，它的顯示與應(yīng)用，為探索數(shù)學(xué)的奧秘提供新的思路，才有自然數(shù)學(xué)生尺、2進制學(xué)生尺、10進制學(xué)生尺、四色形體顯示儀和三用算盤、單位關(guān)系顯示儀的發(fā)明。為探究學(xué)習(xí)提供平臺，利于學(xué)生基本活動經(jīng)驗、基本思想的形成，利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，能進一步加深對數(shù)學(xué)科學(xué)性、規(guī)律性和可持續(xù)發(fā)展的認識。

4 對數(shù)量關(guān)系的教與學(xué)

1）用加減等式顯示同一單位個數(shù)的增減變化，揭示多個單位組合體間的聯(lián)系。等式中當(dāng)各數(shù)量都是用自然數(shù)表示時，其聯(lián)系顯而易見；當(dāng)有數(shù)量不是用自然數(shù)表示時，其數(shù)量必須改用自然數(shù)表示后才能顯示其聯(lián)系（教學(xué)難點）。

2）用乘、除等式顯示兩數(shù)量關(guān)系。比值顯示兩個數(shù)量的關(guān)系，比值以兩個數(shù)量的存在而存在，比值為兩自然數(shù)相除的商，求比值必須在兩自然數(shù)中確定誰為除數(shù)（標準數(shù)量）。

3）用正、反比例式顯示兩數(shù)量存在狀態(tài)。簡比顯示兩個數(shù)量的存在狀態(tài)，簡比以兩數(shù)量的存在而存在，簡比顯示兩自然數(shù)比的最簡寫。簡比的顯示，正、反比例式中各不同：正比例式中，簡比用兩自然數(shù)分別與其最大公約數(shù)

（數(shù)量）的關(guān)系顯示；反比例式中，簡比用兩自然數(shù)分別與其最小公倍數(shù)（數(shù)量）的關(guān)系顯示。

根據(jù)已知與未知，分辨關(guān)系，建立等式，解決問題。明確各數(shù)量產(chǎn)生關(guān)系的標準數(shù)量，因關(guān)系的不同，分為三種排列：上數(shù)軸顯示有關(guān)系的各數(shù)量，下數(shù)軸對應(yīng)顯示各數(shù)量與標準數(shù)量的關(guān)系，制作數(shù)量關(guān)系顯示儀（又名排列計數(shù)演算器），能顯示不同關(guān)系中各數(shù)量的形成過程。數(shù)學(xué)問題的顯示直觀，解問題的思路簡單科學(xué)規(guī)律。

5 數(shù)學(xué)機械化思想在專利教具中的體現(xiàn)

1）在自然數(shù)學(xué)生尺、2進制學(xué)生尺、10進制學(xué)生尺、四色形體顯示儀中，用數(shù)學(xué)模型顯示單位的意義（存在），用1顯示單位的存在（寫法），用模型的標識（名稱、符號、圖案、單位值……）分辨單位的不同（讀法）。

2）在三用算盤中，自然數(shù)寫法——位置順序顯示，算法——不同位置值顯示，10進制數(shù)、2進制數(shù)的寫法——相應(yīng)數(shù)位順序顯示，算法——相應(yīng)不同單位值顯示。在單位關(guān)系顯示儀中，小數(shù)點確定在某一數(shù)位，顯示各組成單位與主單位關(guān)系產(chǎn)生。

3）在數(shù)量關(guān)系顯示儀中，加減等式、乘除等式、比例式均為數(shù)量關(guān)系式。數(shù)量關(guān)系式因數(shù)量產(chǎn)生關(guān)系的標準不同，得到不同的關(guān)系式。關(guān)系中的標準數(shù)量，在數(shù)量關(guān)系中均用1顯示；有關(guān)系的各數(shù)量分別用它與標準數(shù)量的關(guān)系顯示。

6 結(jié)語

對同一個數(shù)量，改變單位組合體的結(jié)構(gòu)的教與學(xué)，如三種不同學(xué)生尺的制作，分別用不同的算盤抽象為自然數(shù)、2進制數(shù)、10進制數(shù)的過程，體現(xiàn)與時俱進的要求和“三個面向”的方針（教育要面向現(xiàn)代化，面向世界，面向未來）。對于清六教儀的顯示功能，可參考《中國信息報》于2011年1月12日發(fā)表的《胡清六研發(fā)教學(xué)儀器成績顯著》一文中的評價：“備受關(guān)注的胡清六專利教學(xué)儀器，均表現(xiàn)出無可代替的功能”，它們進入教育市場，可以有力地促進數(shù)學(xué)課程教材教法改革。