周　鋒，姚炳學(xué)

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城　252059）

直覺模糊軟群與直覺模糊正規(guī)軟群

*周鋒，姚炳學(xué)

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城252059）

在直覺模糊集理論的基礎(chǔ)上，引入了直覺模糊軟群的概念。討論了其關(guān)于軟集的交、并運(yùn)算的性質(zhì)，研究了直覺模糊軟群的結(jié)構(gòu)特征，提出了直覺模糊軟映射下直覺模糊軟集的像與原像的概念，最后研究了直覺模糊正規(guī)軟群的概念及性質(zhì)。

直覺模糊集；直覺模糊子群；直覺模糊正規(guī)子群；直覺模糊軟群；直覺模糊正規(guī)軟群

0　引言

不確定性是信息的一大特點，為了處理不確定性問題，相繼產(chǎn)生了模糊集［1］、粗糙集［2］等理論。然而，這些理論只能處理一部分的不確定性問題。為了更好解決不確定問題，1999年Molodtsov［3］提出了軟集的概念。如今軟集理論已被成功應(yīng)用到眾多領(lǐng)域［4-8］。近十多年來，許多學(xué)者將軟集理論推廣到模糊情形。比如，2001年Maji等［9］引入了模糊軟集的概念。同年，Maji等［10］將直覺模糊集與軟集模型結(jié)合，提出了直覺模糊軟集理論。本文利用直覺模糊軟集理論，給出了直覺模糊軟群的概念，并討論了其關(guān)于軟集的交、并運(yùn)算的性質(zhì)，研究了直覺模糊軟群的結(jié)構(gòu)特征，最后提出了直覺模糊軟映射下直覺模糊軟集的像與原像的概念。另外給出了直覺模糊正規(guī)軟群的概念性質(zhì)，也探討了其關(guān)于軟集的交、并運(yùn)算的性質(zhì)。

1　預(yù)備知識

在本文中G，G1，G2表示為一個群。

定義1.1［11-12］設(shè)U是一非空經(jīng)典集合，U上形如的二元組，稱為U上的一個直覺模糊集。 其中和分別表示A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，且滿足的所有直覺模糊子集構(gòu)成的集合記為IF（U）。

定義1.2［13］設(shè)A和B是U上的直覺模糊集，

定義1.3［13］設(shè)A∈IFU稱為模糊子集A的水平截集。

定義1.4［13］設(shè)A∈IF（G），則A為G的直覺模糊子群的充要條件是：

定義1.6［3］設(shè)A為初始論域，E為參數(shù)集，P（U）為U的冪集， A?E，稱（F， A）為U的軟集。這里，F(xiàn)為映射F: A→P（U）。

定義1.7［15］設(shè)（F， A）為G的軟集，若?a∈A， F（ a）為G的子群，則稱（F， A）為G的軟群。

定義1.8［16］設(shè)（F， A）為G的軟集， 若?a∈A， F（ a）為G的正規(guī)子群，則稱（F， A）為G的正規(guī)軟群。

定義1.9［17］設(shè)U為初始論域，E為參數(shù)集，A?E，則稱（F， A）為U的直覺模糊軟集，這里，F(xiàn)為映射F: A→IF（U）。

定義1.11［17］設(shè)（F， A）和（H， B）為論域U的直覺模糊軟集，若滿足：（1）A?B， （2）?a∈A， F（ a）?H（ a），則稱（F， A）是（H， B）的直覺模糊軟子集，記為（F， A）?（H， B）。

定義1.12［17］設(shè)（F， A）和（H， B）為論域U的直覺模糊軟集，記（F， A）和（H， B）的交為（F， A）∩（H， B）=（K， C），其中C=A∩B，?c∈C ，K（ c）=F（ c）∩H（ c ）。

2　直覺模糊軟群

定義2.1設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集， 若?a∈A ， F（ a）是G的直覺模糊子群，則稱（F， A）為G的直覺模糊軟群。

定理2.1設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集，則（F， A）為G的直覺模糊軟群的充分必要條件是：

?a∈A ，?x， y∈G，

定理2.2設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集，則

F（ a）是G的直覺模糊子群。由定義2.1知：（F， A）為G的直覺模糊軟群，所以為G的軟群。

定理2.3 設(shè)（F， A）和（H， B）為G的直覺模糊軟群， 則下列結(jié)論成立:

?c∈C ，K（ c）是G的直覺模糊子群，所以（F， A）∩（H， B）也是G的直覺模糊軟群。

（2） 設(shè)（F， A）∪（H， B）=（K， C），由于A∩B=?，則?c∈C，K（ c）=F（ c）或者K（ c）=H（ c）。由于F（ c），H（ c）都是G的直覺模糊軟群，故?c∈C，K（ c）是G的直覺模糊軟群，所以（F， A）∪（H， B）也是G的直覺模糊軟群。

定義2.2設(shè)（F， A）和（H， B）為G的直覺模糊軟群，若（H， B）是（F， A）的直覺模糊軟子集，則稱（H， B）是（F， A）的直覺模糊軟子群，記為

定義2.3設(shè)（F， A）和（H， B）分別X和Y上的直覺模糊軟集，若φ是X到Y(jié)上的映射，ψ是A到B的映射，則稱（），φ ψ是X到Y(jié)的直覺模糊軟映射。

定義2.4設(shè)（F， A）和（H， B）分別是X和Y上的直覺模糊軟集，（φ ，ψ）是X到Y(jié)的直覺模糊軟映射，定義Y上的直覺模糊軟集（φ（F），ψ（A））：

則稱直覺模糊軟集（φ（F），ψ（A））是（F， A）在（φ ，ψ）之下的像，記為（φ ，ψ）（F， A）=（φ（F），ψ（A））。

定義2.5設(shè)（F， A）和（H， B）分別X和Y上的直覺模糊軟集，（φ ，ψ）是X到Y(jié)的直覺模糊軟映射，定義X上的直覺模糊軟集（φ-1（H），ψ-1（B））：

定義2.6 設(shè)（F， A）和（H， B）分別是G1和G2上的直覺模糊軟集，（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟映射，若φ是G1到G2的群同態(tài)映射，則稱（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射。

定理2.4 設(shè)G1和G2是兩個群，（F， A）是G1的直覺模糊軟子群，（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射，則（φ ，ψ）（F， A）是G2的直覺模糊軟子群。

證明 由定理2.3知得（φ ，ψ）（F， A）=（φ（F），ψ（A））。對于?ε*∈ψ（A）， ?y1， y2∈G2：

（1） 當(dāng)φ-1（y1）=?或者φ-1（y2）=?時：

由定理2.2知（φ（F），ψ（A））是G2的直覺模糊軟子群。

（2） φ-1（y1）≠?且φ-1（y2）≠?時：?x1， x2∈G1，使得φ（x1）=y1，φ（x2）=y2，根據(jù)題設(shè)條件（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射可知y1y2=φ（x1）φ（x2）=φ（x1x2）。 因為（F， A）是G1的直覺模糊軟子群， 所以：

同理可證：

因此（φ ，ψ）（F， A）是G2的直覺模糊軟子群。

定理2.5設(shè)G1和G2是兩個群， （H， B）是G2的直覺模糊軟子群，（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射，則（φ ，ψ）-1（H， B）是G1的直覺模糊軟子群。

證明 由定義知

?ε∈ψ-1（B），?x1， x2∈G1，因為（H， B）是G2的直覺模糊軟子群，且（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射，所以：

同理可證：

3　直覺模糊正規(guī)軟群

定義3.1設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集，若?a∈A ， F（ a）是G的直覺模糊正規(guī)子群，則稱（F， A）為G的直覺模糊正規(guī)軟群。

定理3.1 設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集，則（F， A）為G的直覺模糊正規(guī)軟群的充分必要條件是：?a∈A，?x， y∈G，

定理3.2設(shè)（F， A）為G的直覺模糊軟集，則（F， A）為G的直覺模糊正規(guī)軟群，當(dāng)且僅當(dāng)?α， β∈I ，（F， A）α，β為G的正規(guī)軟群。

證明必要性：假設(shè)（F， A）為G的直覺模糊正規(guī)軟群，由定理1.6知（F， A）為G的直覺模糊軟群。

定理3.3 設(shè)（F， A）和（H， B）為G的直覺模糊正規(guī)軟群， 則下列結(jié)論成立:

（1）若A∩B≠?，則（F， A）∩（H， B）也是G的直覺模糊正規(guī)軟群；

（2）若A∩B=?，則（F， A）∪（H， B）也是G的直覺模糊正規(guī)軟群。

證明（1）設(shè)（F， A）∩（H， B）=（K， C），則?c∈C ，?x， y∈G，

?c∈C ，K（ c）是G的直覺模糊正規(guī)子群，所以（F， A）∩（H， B）也是G的直覺模糊正規(guī)軟群。

（2） 設(shè)（F， A）∪（H， B）=（K， C），由于A∩B=?，則?c∈C，K（ c）=F（ c）或者K（ c）=H（ c）。由于F（ c），H（ c）都是G的直覺模糊正規(guī)子群，故?c∈C，K（ c）是G的直覺模糊正規(guī)子群，所以（F， A）∪（H， B）也是G的直覺模糊正規(guī)軟群。

定理3.4 設(shè)G1和G2是兩個群， （φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射，且φ是G1到G2的滿同態(tài)。若（F， A）是G1的直覺模糊正規(guī)軟子群，則（φ ，ψ）（F， A）是G2的直覺模糊正規(guī)軟子群。

定理3.5設(shè)G1和G2是兩個群，（φ ，ψ）是G1到G2的直覺模糊軟同態(tài)映射，若（F， A）是G2的直覺模糊正規(guī)軟子群，則（φ ，ψ）-1（F， A）是G1的直覺模糊正規(guī)軟子群。

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INTUITIONISTIC FUZZY SOFT GROUPS AND INTUITIONISTIC FUZZY NORMAL SOFT GROUPS

*ZHOU Feng，YAO Bing-xue
（School of Mathematics Science， Liaocheng University， Liaocheng ，Shangdong 252059， China）

On the basis of intuitionistic fuzzy set theory， we introduce the concept of intuitionistic fuzzy soft group and discuss relevant properties.We also study the structural characteristics of intuitionistic fuzzy soft group and propose the intuitionistic fuzzy soft mapping of intuitionistic fuzzy soft set like with the original concept.Finally we study the intuitionistic fuzzy normal soft group of concepts and properties.

intuitionistic fuzzy sets； intuitionistic fuzzy subgroups； intuitionistic fuzzy normal subgroup；intuitionistic fuzzy soft group； intuitionistic fuzzy normal soft group

O153

ADOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2015.02.001

1674-8085（2015）02-0001-05

2014-12-05；修改日期：2015-02-06

國家自然科學(xué)基金項目（11471152）

*周鋒（1987-），男，山東滕州人，碩士生，主要從事模糊代數(shù)與粗糙代數(shù)研究（E-mail: zf4033@163.com）；

姚炳學(xué)（1963-），男，山東諸城人，教授，主要從事模糊系統(tǒng)與粗糙集理論研究（E-mail: yaobingxue@lcu.edu.cn）.