數(shù)學(xué)證明思維模型的建立，表明了數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵與組成環(huán)節(jié)，從而為數(shù)學(xué)證明的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一套可以參考的程序，增加教學(xué)的有效性。利用數(shù)學(xué)證明的教育資源可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用證據(jù)說話的能力，這是生活在民主社會(huì)中的人必備的素質(zhì);可以促進(jìn)學(xué)生將適應(yīng)生存的“短時(shí)間的思考”轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)自我、實(shí)現(xiàn)目的所需要思維基礎(chǔ)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”的能力，為發(fā)揮學(xué)生的智力潛能提供了現(xiàn)實(shí)性。

數(shù)學(xué)證明模型 ?數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) ?長(zhǎng)時(shí)間的思考

一、數(shù)學(xué)證明的內(nèi)涵與方式

關(guān)于“證明”的釋義，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》將其界定為“用可靠的材料來表明或斷定人或事的真實(shí)性”。由此，我們可以將數(shù)學(xué)證明刻畫為：從真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)、運(yùn)用演繹推理的形式說服別人接受從命題的題設(shè)條件過渡到題斷結(jié)論的真實(shí)性的一種信念。演繹推理的形式只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，才被認(rèn)為是唯一有效的證明方式;其他情況下，證明過程大部分是以個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和接受權(quán)威的證實(shí)為基礎(chǔ)的。數(shù)學(xué)證明過程，是經(jīng)過主體的思維活動(dòng)，選擇合適的真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)，把作為外在信息的題設(shè)條件中的雜亂無(wú)章的元素，通過演繹推理，組織成為具有因果關(guān)系序列結(jié)構(gòu)的題斷結(jié)論要求的過程。

外在于主體的客體信息，是由人類心理已經(jīng)具有的觀念（源于真理性的知識(shí)或曾經(jīng)經(jīng)歷過的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，提供給主體處理面臨新信息時(shí)的活動(dòng)意向或指令）而賦予了外在信息以知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，否則，客體就是無(wú)意義的“物自體”[1]。而這種賦予外在信息以意義的過程就是一系列的合情推理的心理活動(dòng)過程，將這些合情推理的真實(shí)性結(jié)論轉(zhuǎn)化為條分縷析的演繹推理及其表達(dá)的過程就構(gòu)成了數(shù)學(xué)證明。

二、數(shù)學(xué)證明思維模型建構(gòu)

在發(fā)生數(shù)學(xué)證明的思維活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)證明思路的信息元素序列結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，勢(shì)必通過設(shè)法使題設(shè)條件元素組成正確率比較高的信息脈絡(luò)輪廓（與知識(shí)框架相比較）——元素序列結(jié)構(gòu)的雛形，借此信息脈絡(luò)輪廓的中介才能選擇出成功性比較高的數(shù)學(xué)知識(shí)（定義、公理或定理）組織信息，從而決定選擇與利用數(shù)學(xué)知識(shí)作為封裝信息的結(jié)構(gòu)框架（其實(shí)是知識(shí)結(jié)構(gòu)框架與信息輪廓的互相吸引與適應(yīng)的過程），生成有價(jià)值的信息結(jié)構(gòu)（類似于主體所選用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)）。

本研究試圖建立證明的思維模式，這一過程可以概略地?cái)⑹鰹椋菏紫?，主體從題設(shè)條件信息元素中選擇并確定出“支點(diǎn)信息”，選擇“支點(diǎn)信息”的心理活動(dòng)又是由外在信息與已經(jīng)內(nèi)化并保存在意識(shí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的互相吸引、相互誘導(dǎo)、相互調(diào)整而獲得的;其次，基于“支點(diǎn)信息”，并在“支點(diǎn)信息”這一“凝聚核”的作用下，使外在諸多的外圍信息元素組織成一種脈絡(luò)輪廓;最后，由這種信息輪廓提示主體選擇數(shù)學(xué)知識(shí)框架來封裝題設(shè)條件的信息元素，獲得某種結(jié)構(gòu)，從而賦予題設(shè)條件信息以某種知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義（如圖1所示[2]）。

從這一模型中可以看出，在分析題設(shè)條件信息元素伊始，主體不可能迅速確定地把握信息元素所能組成具有結(jié)論意義上的結(jié)構(gòu)，就勢(shì)必動(dòng)用自己的知識(shí)庫(kù)中的知識(shí)框架猜想信息元素可能具有某種結(jié)構(gòu)。依據(jù)信息的某個(gè)側(cè)面（“支點(diǎn)信息”）賦予“支點(diǎn)信息”決定的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再將信息元素組織成具有知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，如果不成功，就會(huì)更換“支點(diǎn)信息”，再做一輪循環(huán)。在這一系列思維活動(dòng)環(huán)節(jié)中，一定離不開猜想（即合情推理）的作用。因此，證明的思維活動(dòng)過程環(huán)節(jié)就是不斷地生成猜想（合情推理）與檢驗(yàn)猜想、證實(shí)或證否猜想，證實(shí)了就可以轉(zhuǎn)化為演繹推理，形成證明過程，證否就要更換“支點(diǎn)信息”，再生信息輪廓的又一輪循環(huán)。

三、例示數(shù)學(xué)證明思維模式在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

教師產(chǎn)生合適的教學(xué)行為，并非完全從現(xiàn)代教育理念中演繹來的，而是重在觀照現(xiàn)代教育理論，分析具體的知識(shí)性質(zhì)特點(diǎn)，分析學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)的心理活動(dòng)的特點(diǎn)中獲得的;從反思與分析自己的課堂教學(xué)行為的實(shí)踐中獲得的[3]。證明模式的建立為數(shù)學(xué)證明教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師優(yōu)化分析活動(dòng)的教學(xué)行為提供了方向。

數(shù)學(xué)教學(xué)行為構(gòu)成要素的基礎(chǔ)主要體現(xiàn)在互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：對(duì)要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其連接中介組成序列的理解（“教材分析”），對(duì)學(xué)生萌發(fā)數(shù)學(xué)知識(shí)（環(huán)節(jié)及其連接中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介的把握（“學(xué)情分析”），通過創(chuàng)造性工作找到這二者之間的聯(lián)系（“關(guān)聯(lián)分析”）。由此設(shè)計(jì)出合適的教學(xué)過程，使知識(shí)的環(huán)節(jié)及其連接中介適應(yīng)于學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)（觀念形態(tài)）及其過渡性中介的辨證運(yùn)動(dòng)過程。下面的框架圖（圖2[4]）是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一般分析模型。

圖2 ?數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架圖

要發(fā)揮證明的思維模型的教育價(jià)值，就要教師在第三項(xiàng)“關(guān)聯(lián)分析”上做足功夫，而“關(guān)聯(lián)分析”效果如何取決于“學(xué)情分析”與“教材分析”的效果，因此，“三項(xiàng)分析”構(gòu)成了證明教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的“關(guān)聯(lián)分析”過程主要在于認(rèn)真研究學(xué)生選擇“支點(diǎn)信息”，確定知識(shí)框架，由知識(shí)框架把外圍信息組織成有序的邏輯環(huán)節(jié)序列，從而，貫通從題設(shè)條件到題斷結(jié)論的過程。學(xué)生正是在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)由這種過程將學(xué)生的“短時(shí)間的思考”方式轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)時(shí)間的思考”方式，發(fā)展一系列的思維品質(zhì)。證明思維模式建構(gòu)，為教學(xué)設(shè)計(jì)“三項(xiàng)分析”活動(dòng)的展開提供了可以參考的程序序列。

例題：已知，如圖3，在矩形ABCD中，從點(diǎn)A向?qū)蔷€BD作垂線，P為垂足，從點(diǎn)P向BC，CD分別作垂線，垂足分別為E、F。求證：

①

圖3

教材分析：由數(shù)學(xué)證明思維模式可知，證明過程就是運(yùn)用已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)知識(shí)框架將題設(shè)條件組織成題斷結(jié)論的過程。如何選擇知識(shí)框架構(gòu)成探究證明思路可否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它取決于“支點(diǎn)信息”的選擇，本例的“支點(diǎn)信息”應(yīng)該是什么？由于題設(shè)條件是如圖3的一個(gè)圖形，線條多，組成了龐雜的系統(tǒng)，難于從題設(shè)條件中確定“支點(diǎn)信息”。于是，我們轉(zhuǎn)而從結(jié)論式①出發(fā)，即將結(jié)論式①作為“支點(diǎn)信息”來進(jìn)行試探，那么，它所決定的知識(shí)框架該是什么？通過聯(lián)想，檢索我們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，由sin2？琢+cos2？琢=1②的形式與等式①的形式具有相似性，可以將其確定為封裝題設(shè)條件信息的知識(shí)框架加以試探。下面，我們只需檢驗(yàn)，由題設(shè)條件的相關(guān)信息的設(shè)定，從等式①可以過渡到等式②就可以了。

學(xué)情分析：“教材分析”由證明思維模式出發(fā)，可以找到一條從題設(shè)到題斷的可能通路，這條思路確保教師可以順利地利用一種辦法解決這道題。但是，教師的想法與論證能否轉(zhuǎn)化為學(xué)生發(fā)生證明思路的有序的心理活動(dòng)過程呢？這就需要教師進(jìn)行“學(xué)情分析”，即從學(xué)生心理活動(dòng)的角度來考察證明思路發(fā)生的可能性，從而在教學(xué)中進(jìn)行層層鋪墊，啟導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)證明思路。發(fā)生這條思路具有兩個(gè)方面的疑難：其一，由“支點(diǎn)信息”①?zèng)Q定知識(shí)框架②的選擇，這是學(xué)生思維活動(dòng)的疑難;其二，實(shí)現(xiàn)從“支點(diǎn)信息”①?zèng)Q定知識(shí)框架②的學(xué)生思維活動(dòng)的可能性，這是學(xué)生獲得技術(shù)性手段的疑難，即技能技巧的疑難。兩項(xiàng)疑難對(duì)于一般學(xué)生來說，都必須要經(jīng)過“長(zhǎng)時(shí)間的思考”才能解決，正因如此，數(shù)學(xué)證明可以嚴(yán)格地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化多方面思維品質(zhì)。

關(guān)聯(lián)分析：從“教材分析”與“學(xué)情分析”所得到了的結(jié)論中找出溝通這兩項(xiàng)分析所得到結(jié)論的元素，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。下面是筆者證明這道題的真實(shí)課堂教學(xué)過程實(shí)錄（其中，省略號(hào)表示學(xué)生思維的中斷處）。

師：題設(shè)條件中具有幾個(gè)直角三角形，并且這些直角三角形都相似，因此，可以得到許多比例式，也可以得到許多相等的角，但是，并不能明確地知道我們可以選擇與組合哪些條件，從而可以過渡到結(jié)論式①。怎么辦？（注：提示學(xué)生選擇“支點(diǎn)信息”）

生1：我們可以從結(jié)論式①反過來求索條件（注：學(xué)生確定了“支點(diǎn)信息”），即用分析法試探，……

師：一個(gè)很好的想法，如何試探？

生2：將結(jié)論①轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的數(shù)學(xué)公式：sin2？琢+cos2？琢=1②（注：從“支點(diǎn)信息”確定知識(shí)框架，解決了確定知識(shí)框架的疑難），再?gòu)囊阎獥l件出發(fā)，獲得公式②，……

師：又是一個(gè)很好的想法，如何從題設(shè)條件出發(fā)，構(gòu)造公式②？

生3：我們假設(shè)

師：③、④成立嗎？怎么辦？

生4：重點(diǎn)研究等式③，由于③左邊是兩個(gè)線段之比，右邊是一個(gè)數(shù)的三次方，兩邊的指數(shù)不和諧一致，于是，考慮將左邊也變成一個(gè)數(shù)的三次方的形式，首先把左邊變成三個(gè)數(shù)積的形式：……

師：生4提出了非常合理的想法，可以從圖3中選擇出線段x，y，從而得到等式⑥嗎？

生5：我想這樣選擇線段x，y：在Rt△ABP中，知等式⑦顯然成立（注：解決了從題設(shè)條件信息到知識(shí)框架途徑的疑難），從而等式③成立，同理，等式④成立，于是，等式①成立。

這種教學(xué)設(shè)計(jì)的過程，旨在通過啟發(fā)法，促進(jìn)學(xué)生自己探究問題解決的思路活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)不是經(jīng)過直接授受、機(jī)械記憶的方式發(fā)生的，教師通過自己的探究活動(dòng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)融入主觀意向的因素，進(jìn)而由這種意向的作用產(chǎn)生相應(yīng)的“數(shù)學(xué)觀念”，形成相應(yīng)的假設(shè)，教學(xué)過程中，教師應(yīng)想方設(shè)法使這些數(shù)學(xué)觀念在教師與學(xué)生之間、在主觀與客觀之間相交相融，甚至移植。教師將探究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)所生成的情感中裹夾著的“數(shù)學(xué)觀念”先在地移入學(xué)生的思維框架中。使學(xué)生在發(fā)生某特定的數(shù)學(xué)知識(shí)以前，他們的思維結(jié)構(gòu)中先在地建立奧蘇貝爾意義上的“錨基”，或維果斯基意義上的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生找到相應(yīng)的憑依。

從這個(gè)例子中可以看出，這些理念的實(shí)現(xiàn)，需要教師的三項(xiàng)分析能力。證明思維模式提供教師“教材分析”與“學(xué)情分析”的心理意向，由于證明的過程就是尋找知識(shí)框架封裝題設(shè)信息、形成題設(shè)信息元素的序列、構(gòu)成邏輯因果關(guān)系的過程，而知識(shí)框架的選擇取決于“支點(diǎn)信息”的確定。這個(gè)思維模型對(duì)這兩點(diǎn)揭露無(wú)疑，為教師的“三項(xiàng)分析”提供了非常明確的程序，從而為教師的有效教學(xué)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。這是它提供了教學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值所在。

數(shù)學(xué)證明思維模型的建立，使我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵與組成環(huán)節(jié)，從而為教師關(guān)于數(shù)學(xué)證明的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一套可以參考的程序，增加教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性。利用數(shù)學(xué)證明的教育資源可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用證據(jù)說話的能力，這是生活在民主社會(huì)中的人必備的素質(zhì);可以促進(jìn)學(xué)生將適應(yīng)生存的“短時(shí)間的思考”轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)自我實(shí)現(xiàn)目的所需要思維基礎(chǔ)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”的能力，為發(fā)揮學(xué)生的智力潛能作出貢獻(xiàn)。

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參考文獻(xiàn)

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[4] 張昆.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的新視角——適應(yīng)學(xué)生認(rèn)識(shí)方式的研究[J].教學(xué)與管理，2015（4）.

[作者：張昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院中學(xué)高級(jí)教師，博士。]

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