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復(fù)M onge-Ampère方程N(yùn)eumann邊值問題解的梯度估計①

2015-10-19 07:17:02向妮王玉娥石菊花
關(guān)鍵詞:邊值問題二階梯度

向妮,王玉娥,石菊花

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 武漢 430062)

0 引言

復(fù)Monge-Ampère方程的研究問題源于多重位勢理論、微分幾何中的Calabi猜想和物理學(xué)等,該問題涉及多復(fù)變、微分幾何以及完全非線性偏微分方程等重要研究領(lǐng)域.該方程的Dirichlet邊值問題已有相當(dāng)豐富的研究成果,而對于其Neumann邊值問題,李松鷹[1]得到了解的存在性、唯一性和正則性.對實Monge-Ampère方程的Neumann邊值問題,Lions等[2]證明了解的存在性,他們的證明中關(guān)于解的梯度估計由解的凸性就很容易得到.2014年,徐金菊[3]證明實Monge-Ampère方程的Neumann邊值問題梯度估計過程中也應(yīng)用了解的凸性,然而對復(fù)情形而言,多重下調(diào)和函數(shù)沒有凸函數(shù)這樣的性質(zhì),因此解的梯度估計與二階導(dǎo)數(shù)估計難度相同,并且文獻(xiàn)[3]中的辦法并不適用.筆者將在后續(xù)工作中,努力改進(jìn)文獻(xiàn)[3]中的辦法討論復(fù)Monge-Ampère方程N(yùn)eumann邊值問題的梯度估計.

在文獻(xiàn)[1]中,作者直接證明了解的梯度估計.根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的辦法,將整體約化到邊界,再分3種情形討論,直接得到解的梯度估計.而本文中,我們給出解的梯度估計一個新證明,先假設(shè)梯度估計存在,按照李松鷹[1]的思路重寫二階導(dǎo)數(shù)估計的證明,得到梯度估計與二階導(dǎo)數(shù)估計的關(guān)系,再利用插值不等式得到解的全局梯度估計.我們研究復(fù)Monge-Ampère方程的Neumann邊值問題:

其中Ω是Cn中有界光滑強(qiáng)擬凸域,ν為邊界外法向量,γ0>0,f≥f0>0,f∈C2(Ω),?∈C2(?Ω).另外,取λ1(z)為?Ω上曲率,記λ1=inf{λ1(z),z∈?Ω}.

定理1Ω是Cn中有界光滑強(qiáng)擬凸域是邊值問題(0.1)式與(0.2)式的多重下調(diào)和解.f≥f0>0,f∈C2(Ω),?∈C2(?Ω)且γ0+2λ1>0,γ0>0,則

其中C與相關(guān) .

1 最大模估計與二階導(dǎo)數(shù)估計

其中Ω是Cn中的有界光滑強(qiáng)擬凸域,ν為邊界外法向量顯然可得

1.1 最大模估計為了文章的完整性,我們引用文獻(xiàn)[1]中關(guān)于最大模估計的結(jié)論:

引理1.1Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域,邊界是C1的,假設(shè)是(0.1)式與(0.2)式的多重下

其中C1僅與相關(guān).

1.2 二階導(dǎo)數(shù)估計本節(jié)中按照李松鷹在文獻(xiàn)[1]中的辦法重寫二階導(dǎo)數(shù)估計的證明.

定理2Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域,邊界是C3的.假設(shè)是(1.1)與(1.2)式的多重下調(diào)和

其中C2僅與相關(guān),與M1無關(guān).

定理2的證明為了保證證明的完整性,我們給出證明思路.

任取一點(diǎn)z0∈?Ω,由旋轉(zhuǎn)和平移,可以假設(shè)z0=0,則在0點(diǎn)附近的邊界定義函數(shù)

由于r是嚴(yán)格多重下調(diào)和函數(shù),所以(biˉˉj)是正定矩陣.下面考慮邊值條件(1.2)式在全純變換后的形式,取新的坐標(biāo)滿足:

在此變換下,邊值條件不具備不變性.

其中T=(?z′/?z)是變換z′=ψ(z)對應(yīng)的Jacobian矩陣且|O(|z′|2)|≤C|z′|2,取

計算可得

因為Bj=O(|z′|)且 ?r0/?z′j=O(|z′|),j<n, 所以

由復(fù)Monge-Ampère方程在全純變換下的性質(zhì)可知,取則

為了方便,用z代替z′,u~代替u^,g代替g^,可知

則Neumann邊值條件為:

考慮函數(shù)

1)當(dāng)K1=C/ε2足夠大時,在?(B(0 ,ε)?Ω)上有h(z)<0;

由1)、2)利用極大值原理可得,h只能在?(B(0 ,ε)?Ω)上取得其在B(0,ε)?Ω上的極大值,

3)在 ?Ω上取K1足夠大,則h在0處取得極大值,因此,0≤Dνh(0)≤即

定理3Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域,邊界是C3的是邊值問題(1.1)與(1.2)式的多重下調(diào)和解且γ0+2λ1>0,則

其中C4僅與相關(guān),與M1無關(guān).

定理3的證明在最大模估計和梯度估計存在的前提下,(1.5)式等價于

是多重下調(diào)和的,進(jìn)一步地,可證(1.6)式等價于

考慮輔助函數(shù)

取τ為z點(diǎn)的切向量,ν為z點(diǎn)的外法向量,則通過下面的計算可知其中b(z),ak(z)均為Ω上的光滑函數(shù).

V(z,ξ)作為(z,ξ)的函數(shù)應(yīng)滿足:

由V(z,ξ)的表達(dá)式可知,

下面分3種情況討論:

a)若ξ0是邊界上z0處的外法向量,則由定理3可知Dξ0ξ0u~≤C,則W(z0,ξ0)≤C2,從而可知,

b)若ξ0在z0點(diǎn)既不是切向量也不是法向量,則

其中ξ0=<ξ0,τ>τ+<ξ0,ν>ν且<τ,ν>=0.于是由(a)知(1.7)式成立.

c)若ξ0是邊界上z0點(diǎn)處的切向量,則

不失一般性,假設(shè)z0∈?Ω點(diǎn)處外法向量是(0,…,0,1),則由于r是Ω上的強(qiáng)多重下調(diào)和定義函數(shù)且在?Ω上故H(z0,r)≥λ1Ⅰ2n-1且

(H(z0,r)-λ2(z0)Ⅰ2n-1)是非負(fù)定矩陣,故成立.因此

由a)中的結(jié)論可知,(1.7)式成立,則定理得證.

2 梯度估計

下面我們引入Gilbarg D等[4]有關(guān)Schauder理論中插值不等式引理6.35如下:

引理2.1假設(shè)j+β<k+α,其中j=0,1,2,…,k=1,2,…,0≤α,β≤ 1,Ω是 ?n中的Ck,α區(qū)域,假設(shè)則對任意的ε>0 及常數(shù)C=C(ε,j,k,Ω)使得

定理2.2Ω 是 ?n中的有界強(qiáng)擬凸域,邊界是C3的,u∈C4(Ω)?C3(Ωˉ)是邊值問題(1.1)與(1.2)的多重下調(diào)和解且γ0+2λ1>0,γ0>0,則

其中C僅與n,Ω,λ1,γ0,|?|2,Ωˉ,|f|2,Ωˉ相關(guān).

定理2.2的證明由注3及引理2.1結(jié)論,利用插值不等式可知,

[1]LiSY.Boundary value problems for complex Monge-Ampère type[D].Pittsburgh:University of Pittsburgh,1992.

[2]Lions P L,Trudinger N S ,Urbas J IE.The Neumann problem for equations of Monge-Ampère type[J].Comm Pure Appl Math,1986,39:539-563.

[3]徐金菊.平均曲率方程N(yùn)eumann問題的梯度估計[D].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),2014.

[4]Gilbarg D.Trudinger NS.Elliptic partial differentiale quations of second order[M].2nd ed.NewYork:Springer-Verlag,1984.

[5]Bedford,Taylor BA.The Dirichletproblem for acomplex Monge-Ampère equation[J].Invent Math ,1976,37:1-44.

[6]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation ,I:The Dirichlet princinple[J].Duke Math J,1978,45:375-403.

[7]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation,II:Intrinsic[J].A-mer JMath,1979,101:1131-1166.[8]Caffarelli L,Kohn JJ,Nirenberg L,et al.The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations,II:Complex Monge-Ampère,and uniform ly elliptic equations[J].Comm Pure and Appl Math,1985,38:209-252.

[9]LiSY.On the Neumann problems for complex Monge-Ampère Equations[J].Indiana University Mathematics Journal,1994,43(4):1099-1122.

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