郭文艷，章國慶，劉三陽

（1.上海理工大學理學院，上海200093；2.西安電子科技大學數(shù)學和統(tǒng)計學院，陜西西安710071）

帶周期位勢平面薛定諤-泊松方程組的結點解

郭文艷1，章國慶1，劉三陽2

（1.上海理工大學理學院，上海200093；2.西安電子科技大學數(shù)學和統(tǒng)計學院，陜西西安710071）

利用臨界點理論中的虧格定理和Nehari流形技巧，本文證明了在二維全空間上一類帶周期位勢的薛定諤-泊松方程組高能量解的存在性，且該解存在無窮多個結點區(qū)域.更進一步，得到了其基態(tài)解的存在性且是不變號的.

平面薛定諤-泊松方程組；周期位勢；結點解

1　引言

本文考慮如下帶周期位勢的平面薛定諤-泊松方程組：

其中b＜0，2＜p＜4，函數(shù)a（x）滿足條件：

（A）a：R2→（0，∞）為Z2周期連續(xù)函數(shù)，a（x）∈L∞（R2）且

因薛定諤-泊松方程組來源于量子力學和半導體理論，研究它的解的存在性是一個具有物理意義的問題.近年來，許多學者進行了廣泛地討論.對于在三維全空間上的薛定諤-泊松方程組，當b=0時，文獻［1-2］證明了基態(tài)解的存在性、多重性以及對稱性.當b＞0，2＜p＜6時，文獻［3］得到了解的存在性.當b＜0時，此時薛定諤-泊松方程組描述了液晶中的Hartree模型，文獻［4］討論了，當時，存在無窮多個徑向解.對于在二維全空間上的薛定諤-泊松方程組的研究，現(xiàn)有文獻并不多見.文獻［5］利用打靶法，證明了解的存在唯一性；特別是，2014年，文獻［6］利用變分法得到了，當b＞0，p≥4時，問題（1）解的存在性與對稱性.

本文討論在b＜0，2＜p＜4時，問題（1）高能量解的存在性與變號性（即：其解存在無窮多個結點區(qū)域），并進一步證明了其基態(tài)解的存在性與不變號性.當b＜0時，此時在物理學上表示物質具有“正能量”，研究其解是一個有意義的課題.此外，因為函數(shù)a（x）為Z2周期函數(shù)，需要更精細的估計來得到其對應的能量泛函滿足Cerami條件（緊性條件）；利用Nehari流形技巧時，因為b＜0，此時需要分析對應能量泛函的性態(tài)（如：單調性等）.另一方面，因為問題（1）的第二個方程的Green函數(shù)是變號的，這為利用變分法研究帶來困難.

2　預備知識和主要結論

本文的主要工具是虧格定理和Nehari流形，下面給出本文所需要的一些預備知識和引理.

定義2.1［9］設D?Y是X的閉對稱子集，定義Y相對于D的虧格γD（Y），如果存在k，使得Y能被閉對稱子集U，V覆蓋，且滿足下列性質：

（1）D?U且存在奇連續(xù)映射χ：U→D使得χ（u）=u，u∈D；

（2）γ（V）≤k.

若不存在上述覆蓋，則定義γD（Y）=∞.

引理2.2［9］設D，Y，Z是X的閉對稱子集，且D?Y，則

（1）（次可加性）γD（Y∪Z）≤γD（Y）+γ（Z）；

（2）若D?Z，且存在奇連續(xù)映射φ：Y→Z使得φ（u）=u，u∈D，則γD（Y）≤γD（Z）.

定義2.3［10］稱集合

為泛函I的Nehari流形.如果u≠0為泛函I（u）的臨界點并且滿足則稱u為I的最小能量臨界點（即：問題（1）的基態(tài)解）.

定理2.4假設b＜0，2＜p＜4，且a（x）滿足條件（A），則問題（1）存在高能量解（u，Φ），且u有無窮多個結點區(qū)域，即，存在結點解序列｛±un｝∈X，使得I（un）→∞（n→∞）.

定理2.5假設b＜0，2＜p＜4，且a（x）滿足條件（A），則問題（1）存在基態(tài)解，且基態(tài)解是不變號的.

3　Cerami條件

為了利用虧格定理和Nehari流形技巧，首先要證明Cerami條件（緊性條件）成立.因為函數(shù)a（x）滿足條件（A），故泛函I在Z2變換下是不變的.對于函數(shù)u：R2→R，x∈R2，定義

定理3.1設｛un｝是X中的Cerami序列，即I（un）→d＞0，，則存在子列｛un｝，點列｛xn｝∈Z2，n∈N，使得在X中，有xn?un→u（n→∞）.

引理3.2若｛tn｝是［0，∞）中的有界序列，則I（tnun）≤I（un）+o（1）（n→∞）.此外，若tn→0（n→∞），則

定理3.1的證明

4　主要定理的證明

斷言1ck為泛函I的臨界值.事實上，假設存在k，使得Kck=?，則對每個ρ＞0，有Ac，ρ=?.由文獻［6］中，引理4.6知，存在ε＞0及奇連續(xù)映射η：Ick+ε→Ick-ε，使得η|D=id|D.這與ck定義矛盾.

斷言2當k→∞時，有ck→∞.事實上，假設當k→∞時，有ck→c＜∞.則由形變引理及（7）知，存在ρ，ε＞0，使得γ（Ac，ρ）＜∞，Ac，ρ∩D=?，并存在奇連續(xù)映射φ：Ic+εAc，ρ→Ic-ε滿足φ|D=id|D.因此，由c的定義知γD（Ic+εAc，ρ）≤γD（Ic-ε）＜∞.此外，由引理2.2知，γD（Ic+ε）≤γD（Ic+εAc，ρ）+γ（Ac，ρ）＜∞.這與對所有的k∈N，有c+ε＞ck矛盾.

綜合斷言1和斷言2可得，存在結點解序列｛±uk｝∈X，k∈N，使得

引理4.1存在α＞0，使得

則對充分小的α＞0，有inf｛I′（u）u：u∈X：‖u‖=β｝＞0.

引理4.2設u∈X｛0｝，則函數(shù)φu：R→R，φu（t）=I（tu）為偶函數(shù)，且滿足下列性質

定理2.5的證明斷言

［1］Lieb E H.Existence and uniqueness of the minimizing solution of Choquard's nonlinear equation［J］.Stud.Appl.Math.，1977，57：93-105.

［2］Lions P L.Solutions of Hartree-Fock equations for Coulomb systems［J］.Commun.Math.Phys.，1984，109：33-97.

［3］Ambrosetti A.On Schr?dinger-Poisson systems［J］.Milan Journal of Mathematics，2008，76：257-274.

［4］Mugnai D.The Schr?dinger-Poisson system with positive potential［J］.Commun.Partial Differ.Equ.，2013，36：1009-1117.

［5］Choquard P，Stubbe J，Vuffray M.Stationary solutions of the Schr?dinger-Newton model-an ODE approach［J］.Differ.Integral Equ.，2008，21：665-679.

［6］Cingolani S，Weth T.On the planar Schr?dinger-Poisson system［J］.Ann.I.H.Poincare-AN（2014）.

［7］Lieb E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities［J］.Ann.of Math.，1983，118：349-374.

［8］J.Stubbe，Bound states of two-dimensional Schr?dinger-Newton equation［J］.ArXiv：0807.4059，2008.

［9］Clapp M，Puppe D.Critical point theory with symmetries［J］.J.Reine Angew.Math.，1991，418：1-29.

［10］Willem M.Minimax Theorems［M］.//Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications，Vol.24.Birkh?user：Boston，1996.

Nodal solutions for a class of planar Schr?dinger-Poisson systems with periodic potential

Guo Wenyan1，Zhang Guoqing1，Liu Sanyang2
（1.College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China；2.College of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xi′an710071，China）

In this paper，using genus theorem and Nehari manifold techniques in critical points theory，we prove the existence of high energy solutions for a class of Schr?dinger-Poisson systems with periodic potential in dimension two，and obtain that the solution has infinitely nodal domains.Furthermore，the existence of ground state solution is proved which does not change sign.

Planar Schr?dinger-Poisson systems，periodic potential，nodal solutions

O175.25

A

1008-5513（2015）05-0542-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.016

2015-04-07.

上海市自然科學基金（15ZR1429500）；滬江基金（B14005）；上海理工大學培育基金（15HJPYMS03）.

郭文艷（1991-），碩士生，研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:35J60，35J65