雷一鳴，代兵，包玉娥

（內蒙古民族大學數學學院，內蒙古通遼028043）

關于模糊數貼近度問題的研究

雷一鳴，代兵，包玉娥

（內蒙古民族大學數學學院，內蒙古通遼028043）

利用模糊集和區(qū)間數的貼近度理論，討論了模糊數的貼近度問題.通過區(qū)間數與模糊數之間的關系，根據區(qū)間數貼近度的一般表示形式，給出了構造一些模糊數貼近度的具體計算公式的方法；并通過實例說明了所得到的貼近度公式的有效性和實用性，解決了常用貼近度公式所不能解決的問題.

區(qū)間數；模糊數；貼近度

1　引言

貼近度是不確定性數學理論及其應用中的重要概念之一，在模式識別、圖象處理以及決策分析等領域中，具有廣泛的應用.在不確定性數學理論中，關于模糊集的貼近度，早在1983年汪培莊教授提出了模糊集貼近度的概念［1］.從此，貼近度成為模糊數學研究領域中的一個有力工具.針對實際問題的需要，很多學者根據貼近度的公理化定義構建了多種模糊集貼近度公式［2-7］，為解決實際問題提供了合理有效的方法.本文在文獻［8］中利用模糊集的貼近度理論，討論了有關區(qū)間數貼近度的表示規(guī)律，給出了兩種區(qū)間數貼近度的一般表示形式；并舉例說明了根據區(qū)間數貼近度的一般表示形式可以構造多種貼近度公式.

模糊數是實數域上的一類特殊模糊集，在模糊分析學及其應用研究中起著非常重要的作用.在實際應用中，經常用模糊數來表示所屬性決策領域中的許多決策信息［9-11］.因此，研究模糊數的貼近度理論及其應用問題也具有重要的理論意義和實際應用價值.由于區(qū)間數和模糊數的應用實際上均為屬性值為實數的信息系統在維度上的化簡.因此本文在文獻［8］的基礎上，利用模糊集和區(qū)間數的貼近度理論研究了模糊數的貼近度問題，并得到了一些區(qū)間數貼近度誘導出的模糊數貼近度的具體計算公式.

2　預備知識

設R為實數集，則模糊集u：R→［0，1］稱為模糊數［12］，如果u是正規(guī)的，凸的上半連續(xù)的，且支集是緊集.模糊數全體構成的空間稱為模糊數空間，記為F0.實數集R上的模糊集全體記為F（R），則F0?F（R）.

將模糊集貼近度的公理化定義［2］，限制在F（R）的子集F0上，就得到下面模糊數貼近度的公理化定義.

定義2.1設u，v，w∈F0，若映射N：F0×F0→［0，1］；（u，v）→N（u，v）滿足下列條件：

（1）N（u，v）=N（v，u）；

（2）N（u，v）=1?u=v；

（3）u≤v≤w?N（u，w）≤N（u，v）且N（u，w）≤N（v，w），

則稱N（u，v）為模糊數u與v的貼近度.

分別為區(qū)間數a的期望值與寬度.

定義2.2［8］設a，b，c∈［R］，若映射N：［R］×［R］→［0，1］；（a，b）→N（a，b）滿足條件：

（1）N（a，b）=N（b，a）；

（2）N（a，b）=1?a=b；

（3）a?b?c?N（a，c）≤N（a，b）且N（a，c）≤N（b，c），

則稱N（a，b）為模糊數a與b的貼近度.

定理2.1［8］設函數N：［R］×［R］→［0，1］，對任意a，b∈［R］，為

滿足如下條件：

（1）f（a，b）=f（b，a）；

（2）f（a，b）=0?a=b；

（3）a?b?c?f（a，c）≥f（a，b）且f（a，c）≥f（b，c），

則N（a，b）=g（f（a，b））為區(qū)間數a與b的貼近度.

3　主要結果

下面利用區(qū)間數的貼近度理論討論模糊數的貼近度問題，并給出計算模糊數貼近度的一些具體計算公式.

定理3.1設函數

例3.1設u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，4〉，w=〈5，6，8，10〉，求

三個模糊數的隸屬函數圖如圖3.1所示.

圖3　.1u=〈0，1，2〉，u=〈1，2，4〉，u=〈5，6，8，10〉

由圖3.1也可以直觀地看出u與v的貼近程度比u與w的程度大的多.三個模糊數u，v，w之間的貼近程度排序為：

如果把三個模糊數u，v，w看成是有限論域U=［0，10］上的三個模糊集，則通過Haming貼近度和Euclid貼近度公式分別計算u，v，w之間的貼近度得：

計算結果表明：三個模糊數u，v，w之間的貼近程度度排序為：

這與所引進的EW-型貼近度公式的計算結果是一致，即EW-型貼近度公式具有一定的適用性.

例3.2設u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，3〉，u=〈5，6，8，10〉.

（1）將三個模糊數u，v，w看成是有限論域U=［0，10］上的三個模糊集，則通過Haming貼近度Euclid貼近度公式分別計算得：

（2）用測度貼近度公式計算得：

三個模糊數u，v，w的隸屬函數圖如圖3.2所示.

圖3　.2u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，3〉，u=〈5，6，8，10〉.

由圖3.2，發(fā)現常用貼近度公式不能完全區(qū)分三個模糊數u，v，w之間的貼近程度.但是用引進的EW-型貼近度公式能解決此類問題.計算結果為：

即貼近程度度排序為：

計算結果與直觀看到的結果一樣，這說明EW-型貼近度公式的有效性和實用性.

4　結論

模糊集的貼近度表示兩個模糊集的貼近程度，在模式識別、模糊信息處理以及決策分析等領域中，具有廣泛的應用.在實際應用中，經常用實數域上的一類特殊模糊集—模糊數來表示所屬性決策領域中的許多決策信息等.模糊數又可以用一族區(qū)間數來刻劃.因此，本文利用模糊集和區(qū)間數的貼近度理論，討論了模糊數的貼近度問題.根據區(qū)間數與模糊數之間的關系，給出了構造一些模糊數貼近度的具體計算公式的方法.這些對模糊數的貼近度理論及其實際應用的研究提供了一種新的思想方法.

［1］汪培莊.模糊集合論及其應用［M］.上海：上?？茖W出版社，1983.

［2］羅承忠.模糊集引論［M］.北京：北京師范大學出版社，2009.

［3］Lui X C.Entropy，distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1992，52：305-318.

［4］曾文藝，李洪興.模糊度與貼近度的關系研究［J］.系統工程與實踐，1999，6：76-79.

［5］崔寶珍，曾文藝.基于Hausdroff距離和Lp度量的直覺模糊集合貼近度的注記［J］.模糊系統與數學，2009，3：122-126.

［6］劉兆君.模糊集貼近度的一般表示形式［J］.數學的實踐與認識，2009，18：163-169.

［7］李醫(yī)民，王曉梅.基于Type-2模糊貼近度在生態(tài)上的應用［J］.數學的實踐與認識，2010，20：74-82.

［8］彭曉芹，包玉娥，趙博.關于區(qū)間數貼近度的一般表示形式的研究［J］.數學的實踐與認識，2014，22：258-262.

［9］徐澤水.基于期望值的模糊多屬性決策法及其應用［J］.系統工程理論與實踐，2004，1：109-119.

［10］蘭蓉，范九倫.三角模糊數上的完備度量及其在決策中的應用［J］.系統工程學報，2010，3：314-319.

［11］Shu P W.Power average operators of trapezoidal intuitionistic fuzzy numbers and application to multiattribute group decision making［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37：4112-4126.

［12］Wu C X，Zhao Z T.Some notes on the characterization of compact sets of fuzzy sets with Lp metric［J］.Fuzzy Sets and Systems，2008，159：2104-2115.

［13］包玉娥，彭曉芹，趙博.基于期望值與寬度的區(qū)間數距離及其完備性［J］.模糊系統與數學，2013，27（6）：133-139.

［14］吳從炘，趙志濤，任雪昆.模糊分析學與特殊泛函空間［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2013.

The research of degree of closeness about fuzzy numbers

Lei Yiming，Dai Bing，Bao Yu′e

（College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao028043，China）

Degree of closeness about fuzzy numbers has been discussed by degree of closeness about fuzzy sets and interval numbers.According to the general expressions of degree of closeness about interval numbers and the connection of interval numbers and fuzzy numbers，some formulas of degree of closeness about fuzzy numbers has been structured.Then by examples，both availability and practicability of the formulas of degree of closeness about fuzzy numbers has been illustrated，and the formulas can apply when common formulas become useless in some circumstances.

interval numbers，fuzzy numbers，degree of closeness

O178

A

1008-5513（2015）06-0611-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.009

2015-07-20.

國家自然科學基金（11461052）；內蒙古自然科學基金（2014MS0107）.

雷一鳴（1989-），碩士生，研究方向：模糊分析及其應用.

包玉娥（1962-），博士，教授，研究方向：不確定數學理論及應用.

2010 MSC：03E72