景慧麗

(第二炮兵工程大學(xué))

0 引言

極限是《高等數(shù)學(xué)》課程中最重要的概念之一.極限思想貫穿整個教材，它是微積分的靈魂.《高等數(shù)學(xué)》課程中的很多概念都是由極限來定義的，例如，導(dǎo)數(shù)、定積分、反常積分、偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分等.因此，理解極限思想的內(nèi)涵和掌握求極限的方法是學(xué)習(xí)這門課程的基本要求.但是，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)員往往對求極限這一問題感到束手無策、無從下手，這一方面是因為求極限的題目類型比較多，求解方法也是因題而異，變化多端.另一方面是因為幾乎所有的《高等數(shù)學(xué)》課程教材沒有把求極限的方法進行歸納總結(jié)，如果教員講課照本宣科，那么，學(xué)員就更是一頭霧水了.為了幫助學(xué)員掌握求極限的方法并能熟練地求極限，筆者對《高等數(shù)學(xué)》課程中常用的求極限的方法進行了分析研究，給出了每種方法的注意事項及使用技巧，并把一些方法推廣到了二重極限，以彌補教材的不足.

1 利用極限的四則運算法則

上述法則是以自變量x→x0的形式給出的，其實只要條件和結(jié)論是自變量的同一變化過程，那么法則均是成立的.另外，對于數(shù)列極限有類似的結(jié)論，這里不再贅述.

利用極限的四則運算法則求極限是最基本也是最常用的方法，很多求極限題目的最后一步都是用極限的四則運算法則來求的.

注1 極限的四則運算法則成立的前提條件有兩個，其一是:函數(shù)(或數(shù)列)是有限項;其二是每一項的極限均存在.只要上述兩個條件中的一個不成立，就不能用四則運算法則，這里的極限不存在也包含極限為∞、+∞及－∞這三種類型.

因此，在利用極限的四則運算法則求極限時，一定要滿足其使用的前提條件，千萬不能不管條件，“隨心所欲”，否則就容易出錯．

另外，極限的四則運算法則只能按照“從左到右”的順序來用，千萬不能按照“從右到左”的順序來用．有的學(xué)員經(jīng)常亂用，例如，設(shè)存在不存在．很多學(xué)員是這樣證的:假設(shè)g(x)］存在，則+g(x)］－即存在，與已知矛盾，所以g(x)］不存在．

注3 當(dāng)分母的極限為零時，商的運算法則就不能用了，此時可以有三種方法來處理:方法1是消去零因子;方法2是利用無窮小與無窮大的關(guān)系［1］;方法3 是利用洛必達法則［1］．當(dāng)然，上述三種處理方法各有各的適用范圍．方法1和方法3適合分子分母的極限都為零的情形，方法2適合分子的極限為非零常數(shù)的情形．例如，對于極限，既可以用消去零因子的方法計算，也可以用洛必達法則來計算，具體解題過程這里不再贅述．而對于極限，只能用無窮小與無窮大的關(guān)系計算，即:因為，所以原式=∞，故該極限不存在．

上述定理中是以自變量x→x0的形式給出的，其實只要條件和結(jié)論是自變量的同一變化過程，那么定理均是成立的，這里不再贅述．另外，上述定理可以直接應(yīng)用，其主要應(yīng)用就是確定極限式子中的常數(shù)和已知極限求另外的極限．例如，已知如果直接利用定理，則因為，所以必有，因此

注5 一元函數(shù)極限的四則運算法則可以完全推廣到二元函數(shù)的二重極限，其成立的前提和使用原則完全與一元函數(shù)相同．

2 利用兩個重要極限

定要理解該重要極限的實質(zhì)，靈活應(yīng)用．

注8 兩個重要極限可以完全推廣到二元函數(shù)，即若x0·y0=0，且當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時，有f(x，y)→0成立，則有等．

3 利用夾逼準(zhǔn)則

夾逼準(zhǔn)則是:如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件:

(1)從某項起，即?n0∈N，當(dāng)n＞n0時，有yn≤xn≤zn．

函數(shù)極限有類似的結(jié)論，這里不再贅述．注意夾逼準(zhǔn)則成立的兩個條件，很多學(xué)員在應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則時經(jīng)常把條件(1)寫成，這是不正確的．

注9 利用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是構(gòu)造出極限易求并且極限值相等的數(shù)列{yn}和{zn}．構(gòu)造數(shù)列{yn}、{zn}的一般方法是從數(shù)列{xn}出發(fā)，適當(dāng)放縮即可．一般地，當(dāng)數(shù)列{xn}是n項相加時，把所有項的分母都放縮為分母中的最大項和最小項即可得數(shù)列{yn}和{zn}．例如，對于極限，可以構(gòu)造數(shù)列

注10 如果數(shù)列是n項和式求極限，則一般有三種方法求解:方法1是利用數(shù)列求和的方法對這n項和進行化簡．當(dāng)然這里求和的方法有很多，常用的主要是初等數(shù)學(xué)所講的等差、等比數(shù)列求和公式、拆項相消等．一般地，當(dāng)這n項和式容易求和時就用該方法．方法2是利用夾逼準(zhǔn)則．當(dāng)這n項和式不易求和或根本無法求和，并且數(shù)列{yn}和{zn}容易構(gòu)造時，就用夾逼準(zhǔn)則．方法3是利用定積分的定義．當(dāng)能從數(shù)列的n項和式中提出一個因子，而余下部分的每一項可以寫成某個函數(shù)在一區(qū)間n等分點上的函數(shù)值時，就可以用定積分的定義來求［4］．其實當(dāng)數(shù)列不是n項和式，而通過某種運算可以化為和式，并且滿足上述條件時也是用定積分的定義來求極限的．另外，利用定積分的定義求數(shù)列極限的一般步驟是:首先，從各項中提出因子.這一步是相當(dāng)于將［0，1］區(qū)間n等分，并且每個小區(qū)間的長度Δx=.然后，觀察提出1后的剩余部n分，把和式寫成的形式.這一步意味著在定積分的定義式中ξ取的是.其次，把函數(shù)fi中的換成x，即找到了函數(shù)f(x).最后，寫出定積分，并計算該定積分即可.上述步驟只是用定積分的定義求數(shù)列極限的常用步驟，其實積分區(qū)間不一定非要是［0，1］，區(qū)間也不需要等分，ξi也不必非要取區(qū)間端點.但是，利用上述步驟容易正確寫出定積分的形式.另外，有的題目需要夾逼準(zhǔn)則和定積分的定義相結(jié)合才能計算出來，這里不再贅述.

注11 夾逼準(zhǔn)則可以完全推廣到二元函數(shù)乃至n元函數(shù)，對二元函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則可以描述為:如果函數(shù)f(x，y)、g(x，y)及h(x，y)滿足下列條件:

A，那么存在，且等于A.

上述結(jié)論利用二重極限的定義即可以證明，這里不再贅述.對于二重極限最常用的求解方法就是夾逼準(zhǔn)則，其使用方法、使用原則及構(gòu)造函數(shù)的技巧和一元函數(shù)一樣.

4 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界準(zhǔn)則是:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

單調(diào)有界準(zhǔn)則是針對數(shù)列而言的，函數(shù)極限不具有該準(zhǔn)則.根據(jù)單調(diào)數(shù)列的性質(zhì)，單調(diào)遞增有上界數(shù)列必存在極限，單調(diào)遞減有下界數(shù)列必存在極限.因此，對于單調(diào)遞增數(shù)列，只需證出其有上界即可，對于單調(diào)遞減數(shù)列，只需證出其有下界即可.

注12 使用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在時，既要證有界性又要證單調(diào)性.初學(xué)者經(jīng)常是只證明其中的一個條件成立，另外一個條件往往忽略不證，這是錯誤的.另外，到底是先證有界性還是先證單調(diào)性，沒有固定的模式，可以根據(jù)題目靈活處理.但是也有一定的技巧，依據(jù)確界原理及單調(diào)數(shù)列的性質(zhì)，可以知道單調(diào)遞增(遞減)有上界(下界)的數(shù)列的上確界(下確界)必是其極限［5］.因此，在證明前不妨先求出其極限(當(dāng)然極限存在的前提下)，然后隨機找出數(shù)列的幾項，看看這幾項是比該極限值大還是小，由此判斷該極限值到底是上確界還是下確界，從而既可以斷定出該數(shù)列的界還可以判斷出該數(shù)列是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減的，然后朝著目標(biāo)嚴(yán)格證明即可.

一般地，當(dāng)題目以文字敘述的形式給出時，例如“已知數(shù)列{xn}滿足某種條件，證明該數(shù)列的極限存在，并求之.”常常用單調(diào)有界準(zhǔn)則來證明，并且這類題目求極限的方法很固定，就是在題目所給等式的兩邊同時取極限，然后解方程，再依據(jù)極限的唯一性和保號性確定出極限值.

分析:該題目顯然是用單調(diào)有界準(zhǔn)則來證明的，但是到底是先證有界性還是先證單調(diào)性呢，下面不妨用所給的技巧進行分析.即設(shè)，解之得a=2或a=0，注意到該數(shù)列的特點可知a=2.又因為由此可知2是該數(shù)列的一個上界，因此該數(shù)列應(yīng)該是單調(diào)遞增的.根據(jù)所獲得的上述信息，就可以嚴(yán)格按照解題步驟來證明了.需要注意的是，上述過程只是解此類題目的小技巧，解題過程是很不規(guī)范的，只能寫在草稿紙上，千萬不能作為正常的解題步驟，下面給出該題目嚴(yán)格的證明步驟.

證明 先證有界性:

再證單調(diào)性:

5 利用等價無窮小代換

等價無窮小代換定理是［1］:設(shè) α～α'，β～β'，且存在，則lim

注意等價無窮小的實質(zhì)及其滿足的條件，常用的等價無窮小有:當(dāng)函數(shù)u(x)→0時，或當(dāng)x→0時，有函數(shù)u(x)→0成立，則有1－cosu(x)

盡管利用等價無窮小代換求極限是一種非常有效的方法，但是使用該方法時必須滿足其使用條件.

注14 利用等價無窮小代換求極限時，最好是對整個因子作代換，不要對因子中相加減的項作代換，如果要對因子中相加減的項作代換，就必須滿足其前提條件.所以，建議大家使用等價無窮小代換求極限時只對整個因子作代換，如果出現(xiàn)和差項，先通過恒等變形，把其化成因子形式，然后再利用等價無窮小代換.例如對于極限可以按照下列方法處理:

利用上述結(jié)論，可以簡化冪指函數(shù)極限的運算.例如對于極限，就可以按照這樣計算:原式

注16 等價無窮小的概念可以推廣到二元函數(shù)，利用等價無窮小代換求極限可以推廣到二重極限．對二元函數(shù)常用的利用等價無窮小有:若 x0·y0=0，且當(dāng)(x，y)→(x0，y0)時，有f(x，y)→0成立，則有f(x，y)～sinf(x，y)～tanf(x，y)～arcsinf(x，y)～ef(x，y)－1～ln［1+f(x，y)］，1－cosf(x，y)～［f(x，y)］2．例如，當(dāng)(x，y)→(0，0)時，x2+y～sin(x2+y)～ex2+y－1等．

另外，利用等價無窮小代換求二重極限的方法、使用條件及使用技巧與一元函數(shù)極限完全相同.

6 利用洛必達法則

洛必達法則是:設(shè)函數(shù)f(x)及F(x)滿足如下條件:

(2)f(x)和F(x)在內(nèi)都可導(dǎo)，且F'(x)≠0.

上述定理中的三個條件缺一不可.另外，定理中的x→a換為自變量的其他變化趨勢，只要條件(2)作相應(yīng)的修改，定理仍然成立，這里不再贅述.

注18 對于數(shù)列極限，不能直接利用洛必達法則來計算，可以先把自然數(shù)n換成x，然后用洛必達法則求得函數(shù)的極限，最后依據(jù)歸結(jié)原則［5］，就可以得到原數(shù)列的極限.例如，對于數(shù)列極限，可以按照下列方法求解.

例 2［6］求

解 原式=

圖1 其他形式的未定式轉(zhuǎn)化為型的未定式的方法

7 結(jié)束語

當(dāng)然，《高等數(shù)學(xué)》課程中求極限的方法還有很多，如可以利用導(dǎo)數(shù)的定義、泰勒公式、微分中值定理、無窮級數(shù)收斂的必要條件等，這里不再贅述.盡管求極限的方法有很多，每種方法也都有自己的適用范圍，但是很多求極限的題目不是用一種方法就能解決的，它需要多種方法的結(jié)合才能解決，例如對于極限

的求解，既需要用等價無窮小代換還需要用到洛必達法則、約去零因子及四則運算法則，具體的解題過程這里不再贅述;另外，很多求極限的題目也可以用很多方法來求解，比如對于極限的求解，既可以用等價無窮小代換，也可以用洛必達法則，當(dāng)然也可以用兩個重要極限，但是本題目最妙的求解方法就是利用洛必達法則，具體的解題過程也不再贅述.因此，大家在學(xué)習(xí)的過程中，一定要善于思考和歸納總結(jié)，總結(jié)各種方法的優(yōu)缺點、使用條件及適用范圍，這樣遇到求極限的題目才能游刃有余、得心應(yīng)手.另外，遇到一題有多種解法的題目，最好選擇最簡單、最方便的解法，因為數(shù)學(xué)蘊涵著和追求的是簡單美和方法美.

［1］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上［M］.第六版.北京:高等教育出版社，2007.41–139.

［2］陳文燈，黃先開，等.高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)——思路、方法與技巧［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009.37.

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［5］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上［M］.第三版.北京:高等教育出版社，2001.5–52.

［6］吳忠祥.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教學(xué)輔導(dǎo)書:上［M］.第一版.北京:高等教育出版社，2009:161.