孫立山，楊 爽，劉洪臣

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱)

DC-DC變換器屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，當(dāng)電路參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生分岔現(xiàn)象并最終進(jìn)入混沌狀態(tài)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)無法預(yù)測(cè)，甚至造成系統(tǒng)故障.因此，深入研究DC-DC變換器的非線性行為，分析電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，對(duì)于開關(guān)變換器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有十分重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

開關(guān)電感結(jié)構(gòu)是近年來提出的一種新型拓?fù)?，具有升壓模式和降壓模式兩種結(jié)構(gòu)，可以分別嵌入到傳統(tǒng)DC-DC變換器中，以提高系統(tǒng)的升壓或降壓能力［1-2］，因而得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)DC-DC變換器中非線性行為的研究已經(jīng)比較深入［3-15］，人們利用數(shù)值模擬和非線性動(dòng)力學(xué)理論等方法，深入分析了系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象.以Buck-Boost變換器為例:文獻(xiàn)［13-15］證實(shí)了傳統(tǒng)Buck-Boost變換器中存在邊界碰撞分岔、倍周期分岔和陣發(fā)混沌等多種復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為.然而，上述成果的研究對(duì)象均為傳統(tǒng)Buck-Boost變換器，而對(duì)基于開關(guān)電感結(jié)構(gòu)的Buck-Boost變換器(下面簡(jiǎn)稱開關(guān)電感Buck-Boost變換器)中非線性行為的研究結(jié)果卻未見報(bào)道.并且目前對(duì)于DC-DC變換器中非線性現(xiàn)象的研究主要集中于連續(xù)電流模式(CCM)，對(duì)斷續(xù)電流模式(DCM)的情況則研究較少.實(shí)際上，對(duì)DCM模式下系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究具有更為廣泛的意義.

因此，本文首次以開關(guān)電感Buck-Boost變換器為研究對(duì)象，深入分析了系統(tǒng)在DCM模式下的分岔和混沌現(xiàn)象.首先，從狀態(tài)方程出發(fā)，建立了DCM模式下系統(tǒng)的離散時(shí)間映射模型，并基于此模型，繪制了不同參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)的分岔圖，分析了電路參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響;然后，采用Runge-Kutta算法直接對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行求解，得到了系統(tǒng)的龐加萊截面，更加直觀地反映了系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài);接下來，根據(jù)系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)鄰域內(nèi)Jacobian矩陣特征值的變化趨勢(shì)確定系統(tǒng)首次分岔點(diǎn)的位置;最后，應(yīng)用PSIM軟件搭建符合實(shí)際運(yùn)行條件的仿真模型，通過時(shí)域波形圖和相軌圖觀察變換器豐富的動(dòng)力學(xué)演化過程，驗(yàn)證了離散時(shí)間模型的正確性.

1 變換器的工作原理與建模

1.1 工作原理與狀態(tài)方程的求解

開關(guān)電感Buck-Boost變換器是運(yùn)用開關(guān)電感結(jié)構(gòu)代替?zhèn)鹘y(tǒng)Buck-Boost變換器中原有的儲(chǔ)能電感而形成的，電流模式控制下系統(tǒng)的電路原理圖如圖1所示.由圖1可知，該系統(tǒng)是由兩個(gè)電感和一個(gè)電容組成的三階電路.電路的工作原理如下:將電感L1的電流iL1與參考電流Ⅰref比較的結(jié)果作為RS觸發(fā)器R端的輸入，時(shí)鐘信號(hào)通過觸發(fā)器的S端輸入，觸發(fā)器的Q端控制開關(guān)管S的通斷.當(dāng)變換器工作于DCM模式時(shí)，電路有以下3種模態(tài)，如圖2所示.

圖1 電流模式控制下的開關(guān)電感Buck-Boost變換器

圖2 DCM運(yùn)行時(shí)的模態(tài)

模態(tài)1.開關(guān)管S導(dǎo)通，二極管D0、D12截止，D1、D2導(dǎo)通，電感L1、L2并聯(lián)充電，電容C向負(fù)載提供能量，其等效電路如圖2(a)所示，此時(shí)有

模態(tài)2.開關(guān)管S截止，二極管D0、D12導(dǎo)通，D1、D2截止，電感L1、L2串聯(lián)為電容C充電，并向負(fù)載提供能量，其等效電路如圖2(b)所示，此時(shí)有

模態(tài) 3.開關(guān)管S、二極管D0、D1、D2、D12均截止，只有電容C向負(fù)載提供能量，其等效電路如圖2(c)所示，此時(shí)有

為便于分析，本文取L1=L2，則在上述3種模態(tài)中，可近似認(rèn)為iL1=iL2，系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為二階模型，以電感電流iL1和電容電壓uC為分析對(duì)象，則對(duì)于模態(tài)1，有

設(shè)電感電流iL1和電容電壓uC的初值分別為iL1，n和uC，n，則上述方程的時(shí)域解為

設(shè)變換器工作于模態(tài)1的時(shí)間為t1，則由式(5)得

同理，模態(tài)2的微分方程可以簡(jiǎn)化為

由式(5)可以解得

設(shè)變換器工作于模態(tài) 2的時(shí)間為t2，則iL1，2(t2)=0，由(8)式可得

當(dāng)變換器工作于模態(tài)3時(shí)，簡(jiǎn)化的微分方程為

狀態(tài)方程(10)的解可表示為

其中:uC，2(t2)=e-αt2(uC，1(t1)cos ωt2+k2sin ωt2)．

1.2 離散時(shí)間映射模型

本文采用頻閃映射的方法，設(shè)數(shù)據(jù)采樣周期為T，則在相鄰的采樣時(shí)刻內(nèi)，DCM模式下的開關(guān)電感Buck-Boost變換器有以下3種運(yùn)行軌道.

當(dāng)t1≥T時(shí)，在1個(gè)采樣周期內(nèi)，變換器只工作于模態(tài)1，則在第n個(gè)采樣周期結(jié)束時(shí)，簡(jiǎn)化的微分方程對(duì)應(yīng)的離散映射模型為

當(dāng)t1＜T，但t1+t2≥T時(shí)，在1個(gè)采樣周期內(nèi)，變換器工作于模態(tài)1和模態(tài)2，則在第n個(gè)采樣周期結(jié)束時(shí)，簡(jiǎn)化的微分方程對(duì)應(yīng)的離散映射模型為

當(dāng)t1＜T，且t1+t2＜T時(shí)，在1個(gè)采樣周期內(nèi)，變換器工作于3種工作模態(tài)，則在第n個(gè)采樣周期結(jié)束時(shí)，簡(jiǎn)化的微分方程對(duì)應(yīng)的離散映射模型為

式(12)～(14)即為DCM模式下，開關(guān)電感Buck-Boost變換器的離散時(shí)間映射模型.

2 變換器的動(dòng)力學(xué)行為分析

2.1 分岔圖

在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)的變化超過某臨界值時(shí)，系統(tǒng)的定性形態(tài)會(huì)突然發(fā)生變化，這種現(xiàn)象叫做分岔，臨界值即為分岔點(diǎn).通過分岔圖可以清楚地知道系統(tǒng)在不同參數(shù)下的穩(wěn)定性，因此，分岔理論是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具.

在繪制分岔圖前，首先給出電感電流邊界的定義.當(dāng)開關(guān)電感Buck-Boost變換器工作于DCM模式時(shí)，在狀態(tài)空間中存在兩個(gè)電流邊界，設(shè)第1個(gè)電流邊界為Ⅰb1，它滿足如下關(guān)系:以Ⅰb1為電流初值，經(jīng)1個(gè)開關(guān)周期T后電感電流iL1恰好到達(dá)參考電流Ⅰref;設(shè)第2個(gè)電流邊界為Ⅰb2，它滿足:以Ⅰb2為電流初值，經(jīng)1個(gè)開關(guān)周期T后電感電流iL1恰好為0，則此階段電感電流iL1到達(dá)參考電流Ⅰref的時(shí)間為T-t2，則由式(5)可知，DCM模式下開關(guān)電感Buck-Boost變換器的兩個(gè)電感電流邊界可分別表示為

選取電路參數(shù)為C=10 μF，R=10 Ω，T=100 μs和L1=L2=0.1 mH，固定E=6 V，以參考電流Ⅰref為分岔參數(shù)，基于1.2節(jié)所導(dǎo)出的離散映射模型，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到電感iL1隨參考電流變化的分岔圖，如圖3所示，其中紅色的點(diǎn)劃線表示第1個(gè)電感電流邊界Ⅰb1，綠色的點(diǎn)劃線表示第2個(gè)電感電流邊界Ⅰb2．由圖3可知，當(dāng)參考電流Ⅰref達(dá)到2.5 A左右時(shí)，分岔軌線與邊界Ⅰb2發(fā)生碰撞，系統(tǒng)的工作狀態(tài)由周期1經(jīng)邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，隨著參考電流的進(jìn)一步增大，電感電流并非完全工作在不連續(xù)狀態(tài)，而是在某些時(shí)鐘周期內(nèi)有不連續(xù)現(xiàn)象;當(dāng)Ⅰref為7.5 A左右時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，而后激變進(jìn)入混沌狀態(tài)．然而，這個(gè)混沌狀態(tài)并沒有被保持，當(dāng)Ⅰref＞9.5 A時(shí)，混沌態(tài)和周期態(tài)交替出現(xiàn)，系統(tǒng)發(fā)生了DCM陣發(fā)混沌，陣發(fā)混沌前的分岔為切分岔.

圖3 Ⅰref為參數(shù)的分岔

固定Ⅰref=2 A，其他電路參數(shù)與前者相同，以輸入電壓E為分岔參數(shù)，通過數(shù)值模擬得到的分岔圖如圖4所示．由圖4可知，隨著輸入電壓E的減小，系統(tǒng)的工作狀態(tài)也是由周期1經(jīng)邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，再到周期4，然后進(jìn)入DCM陣發(fā)混沌區(qū)，并存在明顯的周期窗口.可見，其通往混沌的道路與參考電流變化時(shí)相同，但參數(shù)變化的方向相反.

值得注意的是，邊界碰撞分岔雖然也能引發(fā)倍周期現(xiàn)象，但與倍周期分岔有本質(zhì)的區(qū)別.發(fā)生倍周期分岔時(shí)，分岔點(diǎn)附近的倍周期軌道與分岔發(fā)生之前的周期軌道是近似垂直的;而在邊界碰撞分岔中，二者并不垂直.并且由圖3和圖4還可以看出，當(dāng)變換器工作于DCM模式時(shí)，引發(fā)系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素主要是電流邊界Ⅰb2，當(dāng)系統(tǒng)軌線與Ⅰb2發(fā)生碰撞時(shí)，隨即產(chǎn)生分岔現(xiàn)象，并最終進(jìn)入混沌狀態(tài);然而，當(dāng)系統(tǒng)軌線與Ⅰb1發(fā)生碰撞時(shí)，并未出現(xiàn)分岔，而僅僅改變了軌線的路徑，故Ⅰb1對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響相對(duì)較小．

圖4 E為參數(shù)的分岔

2.2 龐加萊截面

在相空間中選取1個(gè)既不與軌線相切，又不包含軌線的截面，即龐加萊截面，軌線與龐加萊截面的交點(diǎn)稱為截點(diǎn).由非線性動(dòng)力學(xué)理論可知，通過觀察截點(diǎn)的情況便可以判斷是否發(fā)生混沌:當(dāng)截面上只有1個(gè)點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期的，點(diǎn)的個(gè)數(shù)代表狀態(tài)的周期數(shù);當(dāng)截點(diǎn)形成1條閉合的曲線時(shí)，運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期的;當(dāng)截點(diǎn)連成片或具有分形結(jié)構(gòu)時(shí)，系統(tǒng)便處于混沌狀態(tài).

為證明隨著參考電流Ⅰref的增大，變換器確實(shí)存在圖3分岔圖所體現(xiàn)的豐富的非線性行為，本節(jié)從不同工作模態(tài)下的狀態(tài)方程出發(fā)，采用Runge-Kutta算法直接對(duì)每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的微分方程進(jìn)行求解，得到開關(guān)電感Buck-Boost變換器在典型參考電流值下的龐加萊截面，其結(jié)果如圖5所示.

圖5 不同參考電流下的龐加萊截面

由圖5(a)～5(c)可以清楚的知道，當(dāng)參考電流分別為1、5、8 A時(shí)，龐加萊截面上的點(diǎn)是離散的，根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可知，變換器先后工作于周期1、周期2和周期4;圖5(d)和5(f)中的截點(diǎn)在某些區(qū)域已經(jīng)連成片，說明當(dāng)參考電流為9.5、15 A時(shí)，變換器工作于混沌狀態(tài);圖5(e)體現(xiàn)了當(dāng)參考電流為11 A時(shí)，即在陣發(fā)混沌中，存在明顯的周期3窗口.上述結(jié)果與圖3所示分岔圖中各點(diǎn)呈現(xiàn)的狀態(tài)一致，驗(yàn)證了離散映射模型的正確性，并且更加直觀地反映了參考電流取不同值時(shí)變換器所處的工作狀態(tài).

3 基于離散時(shí)間模型的穩(wěn)定性分析

3.1 不動(dòng)點(diǎn)及Jacobian矩陣

令xn+1=xn=x*可求出系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)x*，開關(guān)電感Buck-Boost變換器基于簡(jiǎn)化狀態(tài)方程的離散時(shí)間模型在不動(dòng)點(diǎn)鄰域內(nèi)的Jacobian矩陣可表示為

式(16)的特征方程為

根據(jù)1.2節(jié)可知，在相鄰的采樣時(shí)刻nT和(n+1)T內(nèi)，DCM模式下的開關(guān)電感Buck-Boost變換器有3種運(yùn)行軌道，可分別對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

當(dāng)t1≥T時(shí)，式(12)所表示的離散系統(tǒng)不存在不動(dòng)點(diǎn)，其Jacobian矩陣的元素分別為

其特征多項(xiàng)式為

解得 λ1=1，λ2=e-2αT，此時(shí)離散系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值有兩個(gè)正實(shí)根，并且其中一個(gè)為1.

當(dāng)t1＜T，但t1+t2≥T時(shí)，將xn+1=xn=x*代入式(13)，可求得系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)，且由式(13)可求得其Jacobian矩陣的元素分別為

其特征多項(xiàng)式為

解得

此時(shí)離散系統(tǒng)的Jacobian矩陣有兩個(gè)非零特征根.

當(dāng)t1＜T，且t1+t2＜T時(shí)，式(14)所表示的離散系統(tǒng)僅存在1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，由式(14)求得其Jacobian矩陣的元素分別為

其中:

其特征多項(xiàng)式為

解得 λ1=J22，λ2=0，此時(shí)離散系統(tǒng)的Jacobian矩陣總有1個(gè)零特征根和1個(gè)非零特征根.

3.2 Jacobian矩陣的特征乘子

根據(jù)以上分析，本節(jié)計(jì)算了發(fā)生分岔前后離散映射模型在不動(dòng)點(diǎn)鄰域內(nèi)的Jacobian矩陣的特征值.表1、2分別給出了不同參考電流和不同輸入電壓下系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值的變化情況.由表1可知，參考電流在(2.44 A，2.505 A)時(shí)，隨著參考電流的增大，周期1軌道的特征值由(-0.022 6，0)躍變?yōu)?-1.003 8，0.173 0).由表2可知，輸入電壓在(4.8 V，4.95 V)時(shí)，隨著輸入電壓的減小，周期1軌道的特征值由(-0.026 6，0)躍變?yōu)?-1.000 1，0.172 5).由此可知，系統(tǒng)發(fā)生了邊界碰撞分岔，且首次分岔的位置分別在Ⅰref=2.505 A和E=4.8 V處，這與圖3、4所示的分岔圖結(jié)果相一致.

表1 不同參考電流下系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值

表2 不同輸入電壓下系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值

4 PSIM驗(yàn)證

PSIM軟件是一款針對(duì)電力電子和電機(jī)控制的仿真軟件［13］，因仿真速度快、操作簡(jiǎn)單而得到了廣泛的應(yīng)用.為進(jìn)一步驗(yàn)證離散模型的正確性，本章根據(jù)圖1所示原理圖，在PSIM軟件中搭建了系統(tǒng)的仿真模型.選取參考電流Ⅰref為變量，其他電路參數(shù)與繪制圖3所示分岔圖時(shí)所選取的參數(shù)一致，典型參考電流值下的仿真結(jié)果如圖6～9所示.

由圖6～8可知，當(dāng)參考電流分別為1、5、8 A時(shí)，變換器分別工作于周期1、周期2和周期4，時(shí)域波形表現(xiàn)為相應(yīng)的周期性，相軌圖則由有限個(gè)數(shù)的封閉曲線組成，且由iL1的時(shí)域波形圖可以看出，在上述電路參數(shù)下，變換器確實(shí)工作于DCM模式.圖9給出了參考電流為9.5 A時(shí)的時(shí)域波形圖和相軌圖，此時(shí)變換器工作于混沌狀態(tài)，時(shí)域波形因失去周期性而顯得雜亂無章，各個(gè)開關(guān)周期下的幅值跳躍較大，表明混沌狀態(tài)是不穩(wěn)定的，有害的;相軌圖則由一定區(qū)域內(nèi)隨機(jī)分布的軌線組成.由仿真結(jié)果不難看出，通過PSIM仿真平臺(tái)得到的時(shí)域波形圖和相軌圖所觀察到的現(xiàn)象與基于離散映射模型繪制的分岔圖所描述的運(yùn)行狀態(tài)完全一致的，證實(shí)了離散模型的正確性.

圖6 Ⅰref＝1 A時(shí)iL1的時(shí)域波形圖和相軌圖

圖7 Ⅰref＝5 A時(shí)iL1的時(shí)域波形圖和相軌圖

圖8 Ⅰref＝8 A時(shí)iL的時(shí)域波形圖和相軌圖

圖9 Ⅰref＝9.5 A時(shí)iL1的時(shí)域波形圖和相軌圖

5 結(jié) 論

1)基于開關(guān)電感結(jié)構(gòu)的Buck-Boost變換器雖然在一定程度上提高了傳統(tǒng)Buck-Boost變換器的升/降壓能力，但卻增加了電路的階數(shù)，使變換器的運(yùn)行狀態(tài)更容易受到電路參數(shù)變化的影響.

2)研究了此新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變換器在DCM模式下的非線性行為，在分析電路工作原理的基礎(chǔ)上，建立了系統(tǒng)的離散映射模型，并基于此模型繪制了不同參數(shù)變化下的分岔圖，發(fā)現(xiàn)隨著電路參數(shù)的變化，系統(tǒng)經(jīng)邊界碰撞分岔最終進(jìn)入DCM陣發(fā)混沌狀態(tài).然后通過龐加萊截面更加直觀地反映了不同電路參數(shù)下系統(tǒng)的周期態(tài)與混沌態(tài)，并采用Jacobian矩陣特征乘子的方法確定了首次分岔點(diǎn)的位置和分岔的類型.最后，在PSIM平臺(tái)下搭建了符合實(shí)際運(yùn)行條件的仿真模型，通過時(shí)域圖和相軌圖觀察變換器在不同參數(shù)變化下豐富的動(dòng)力學(xué)演化過程，進(jìn)一步證明了離散映射模型的正確性.

3)由分岔圖得出當(dāng)開關(guān)電感Buck-Boost變換器工作于DCM模式下時(shí)，其工作狀態(tài)主要受電流邊界Ⅰb2的影響，電流邊界Ⅰb1對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響相對(duì)較?。?/p>

4)基于開關(guān)電感結(jié)構(gòu)的Buck-Boost變換器屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)選取合適的參數(shù)，以確保電路運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài).

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