彭玉光

數(shù)學(xué)課程標準（2011版）提出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需求”“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。本文以《比例的基本性質(zhì)》為例，闡述以人為本的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何促進學(xué)生更好地發(fā)展。

一、案例回放

下面是六年級下學(xué)期《比例的基本性質(zhì)》一課部分教學(xué)過程及課后研討的回放。

教師讓學(xué)生通過計算，發(fā)現(xiàn)三個比例的外項積都等于內(nèi)項積，進而引導(dǎo)學(xué)生提出初步猜想：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。然后讓學(xué)生舉出更多的例子來驗證，再讓學(xué)生尋找反例。上述活動完成后，正當(dāng)教師想引導(dǎo)確認猜想成立時，部分學(xué)生提出了不同意見。

學(xué)生1：雖然有很多例子證明它是成立的，但也不能說明對于所有比例它都是成立的。

學(xué)生2：有那么多的比例式子，現(xiàn)在找不到反例，不等于一定沒有啊。

聽了這兩位學(xué)生的發(fā)言，其他學(xué)生也紛紛議論起來，覺得他們說得有道理。

教師（想了想）：在我們驗證的比例中，都具有外項積等于內(nèi)項積這一性質(zhì)，由于時間有限，我們總不能把所有比例都拿來驗證吧。實際上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了這個性質(zhì)是成立的。

學(xué)生2：怎樣證明的？怎么說明所有比例都成立呢？（該學(xué)生不依不饒）

教師（稍作了猶豫，之后下定了決心）：其實有一種方法可以證明……

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生用字母式來驗證：由■=■（b、d≠0），等式左右兩邊同時乘bd，可得ad=bc，由此證明所有的比例具有外項積等于內(nèi)項積這樣的性質(zhì)。

最終學(xué)生心悅誠服地“承認”了比例的基本性質(zhì)。

課后，上課教師“心有余悸”地說：用字母，即代數(shù)方法來驗證比例的基本性質(zhì)是被學(xué)生“逼”出來的，并非課前所預(yù)設(shè)。當(dāng)時也猶豫著用不用，因為教材里沒有這樣的要求。但使用的效果確是令人滿意的，學(xué)生認可了比例的基本性質(zhì)。也很慶幸當(dāng)時走出了這一步，進一步海闊天空啊。

對此，聽課教師有不同看法。

有人認為：用代數(shù)方法來驗證比例的基本性質(zhì)，超出了一般學(xué)生的接受能力，類似的問題應(yīng)留到中學(xué)解決。

還有人認為：用代數(shù)方法來驗證比例的基本性質(zhì)“超綱”了，既然教材沒有要求，就沒有必要講，學(xué)生以后會慢慢理解的。

也有人認為：教師的處理是恰當(dāng)?shù)?，從學(xué)生的反映來看，效果是不錯的。

各種看法中，持反對意見的教師占了大多數(shù)。

二、案例分析

課后聽課教師的討論，引起了筆者的思考：用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)有其必要性嗎？如有必要，學(xué)生能理解與接受嗎，教學(xué)上具有可行性嗎？大多數(shù)教師反對用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)，原因何在？又折射出教師怎樣的教學(xué)理念呢？

1. 用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)的必要性分析。

（1）從學(xué)生接受比例的基本性質(zhì)這一結(jié)論的需要看。

本課教師采取“提出問題——自主計算——匯報交流——初步發(fā)現(xiàn)——舉例驗證——概括總結(jié)——字母表征”這一常用的教學(xué)思路。這也是一個猜想、驗證的歸納推理過程。但令人意外的是，這個班的學(xué)生對概括總結(jié)出的規(guī)律并不認可，與教師“較起真來”，原因何在？

這與教材所采用的不完全歸納法的局限性密切相關(guān)。不完全歸納法以事物的部分對象就得出了事物的一般結(jié)論，帶有想象、猜測的成分，其結(jié)論需要經(jīng)過論證上才能得以確認。顯然，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了運用不完全歸納法在推導(dǎo)比例的基本性質(zhì)過程中的漏洞，而與教師“較真”的。如果不用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)對于所有比例均成立（一般化），不僅使學(xué)生難以接受其結(jié)論，也會打擊學(xué)生“敢于質(zhì)疑，勤于思考”的積極性。

（2）發(fā)展學(xué)生的一般化思維模式的角度看。

卡帕特曾經(jīng)指出，代數(shù)是算術(shù)推理和定量推理的一般化，代數(shù)思維的核心就是一般化的思想。通過用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)這一代數(shù)推理活動，對于發(fā)展學(xué)生的一般化思維模式，理解代數(shù)思想，乃至實現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接無疑是大有裨益的。

2. 用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)的可行性分析。

不少教師認為，推導(dǎo)比例的基本性質(zhì)用合情推理就好了，代數(shù)方法的證明學(xué)生是理解不了的。事實果真如此嗎？

林崇德教授研究后認為，分析小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的水平可關(guān)注四項指標：一是推理發(fā)生的范圍，即是在算式運算中的推理還是在初步代數(shù)式中的推理；二是推理的步驟，即直接推理還是多步間接推理；三是推理的正確性；四是推理的品質(zhì)抽象概括性，即重復(fù)過程還是進行邏輯推論獲得本質(zhì)的結(jié)論。

按照上述指標，林崇德教授認為，小學(xué)生運算中歸納推理和演繹推理的能力可分為四級水平。其中，歸納推理能力的四級水平為：一是算術(shù)運算中直接歸納推理；二是簡單文字運算中直接歸納推理；三是算術(shù)運算中間接歸納推理；四是初步代數(shù)式的間接歸納推理。演繹推理能力的四級水平為：一是簡單原理、法則直接具體化的運算；二是簡單原理、法則直接以字母具體化的運算；三是以算術(shù)原理、法則和公式作為大前提，要求合乎邏輯進行多步演繹和具體化，正確地得出結(jié)論；四是以初等代數(shù)式或幾何原理作為大前提，進行多步演繹推理，正確地得出結(jié)論。林崇德教授對城鄉(xiāng)五年級的學(xué)生進行了測試，發(fā)現(xiàn)處于歸納推理和演繹推理的能力第四級水平的學(xué)生分別為36.7%和56.7%。

蘇州大學(xué)的楊彥教授認為，小學(xué)階段要進行代數(shù)推理的教學(xué)，并且提出如果能夠給予學(xué)生一定的學(xué)習(xí)機會和條件，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，學(xué)生可以從小培養(yǎng)代數(shù)推理能力，而這將有益于其將來代數(shù)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成。

由有關(guān)專家的研究可以看出，小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力具有不同的水平，他們進行代數(shù)推理是可行的。對于六年級學(xué)生而言，具有歸納推理和演繹推理的能力第四級水平的學(xué)生無疑會比五年級的學(xué)生更多。這從上述案例學(xué)生的表現(xiàn)也可為佐證，學(xué)生的“較真”是學(xué)生思維上的進步，是學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，說明學(xué)生已經(jīng)具備從“合情推理”向“演繹推理”邁進的思維水平。因此，用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)是具有合理性和可行性的。當(dāng)然，要求全體學(xué)生都能理解、掌握用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)的過程與方法是不現(xiàn)實的，部分學(xué)生還需要教師的指導(dǎo)與幫助才能有所收獲。對此，教師教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際認知水平作不同的要求，使不同的學(xué)生得到相應(yīng)的發(fā)展。

3. 部分教師反對用代數(shù)方法驗證比例的基本性質(zhì)的成因分析。

課堂之上，當(dāng)固有的算術(shù)思路與方法已無法說明、無法讓學(xué)生接受“比例的基本性質(zhì)”這一結(jié)論時，不少教師仍然不敢越代數(shù)方法這一“雷池”半步，出自何因呢？

筆者認為，有的教師是把用代數(shù)方法進行推理簡單的歸結(jié)為“中學(xué)的教學(xué)內(nèi)容”，不想碰；有的教師則由于教材沒有呈現(xiàn)有關(guān)內(nèi)容，教師用書沒有明確提出有關(guān)要求，不敢碰；有的教師則認為相關(guān)學(xué)生肯定都是接受不了，碰不得。

這顯示一些教師對于學(xué)生認知發(fā)展和思維發(fā)展的特點與規(guī)律的了解還不夠深入，思想上存在著“唯教材”與“經(jīng)驗至上”的錯誤認知，教學(xué)上缺乏根據(jù)課堂實際生成狀況順應(yīng)學(xué)生思維適時調(diào)整教學(xué)的意識。

三、案例啟示

如何貫徹新課程理念，用好新教材，本案例能給我們一些啟示。

1. 尊重差異，因材施教。

“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”是新數(shù)學(xué)課程重要的理念之一。學(xué)生的認知水平、思維發(fā)展，既有共性，又有差異性；既有一般性，又有特殊性。實際教學(xué)中，把學(xué)生的一般水平看作是每個學(xué)生的實際水平，或者是把部分學(xué)生的認知水平當(dāng)作是全體學(xué)生的共同水平，顯然是不適當(dāng)?shù)摹ｊP(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的一般性，尊重學(xué)生的發(fā)展差異，進而因材施教，是教學(xué)設(shè)計與實施的重要基點。良好的數(shù)學(xué)教育，理應(yīng)客觀地對待人的差異性，讓更多的學(xué)生有機會接觸、了解乃至深入研究自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，最大限度地滿足每一個學(xué)生的需求，為有特殊數(shù)學(xué)才能和愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生，提供更多學(xué)習(xí)和發(fā)展的機會。

2. 不唯教材，善用教材。

“課程內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生的認知規(guī)律” 是新數(shù)學(xué)課程重要的理念之一。課程的內(nèi)容和意義在本質(zhì)上并不是對所有人都相同的，在特定的教育情境中，每一位教師和學(xué)生對給定的內(nèi)容都有其自身的理解，對給定內(nèi)容的意義都有其自身的解讀，從而對給定的內(nèi)容不斷進行變革與創(chuàng)新，以使給定的內(nèi)容不斷轉(zhuǎn)化為“自己的課程”。因此，教師設(shè)計與實施教學(xué)不能“唯教材”，而應(yīng)“用教材”，使教材在基于學(xué)生認知規(guī)律、學(xué)生實際認知水平的基礎(chǔ)上為教師所用。

3. 辯證看待預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。

誠然，課堂教學(xué)是一種有目的、有意識的教育活動，預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)的基本特性。教師在課前必須對教學(xué)目的、任務(wù)和過程有一個清晰、理性的思考和安排。但是，部分教師過分強調(diào)預(yù)設(shè)，強調(diào)按原來的設(shè)計上課。這樣就會限定和束縛學(xué)生的自由發(fā)展。學(xué)生作為一個生命個體，具有主觀能動性。帶著自己的經(jīng)驗、思考和興趣參與課堂活動，使課堂呈現(xiàn)出多樣性、豐富性和隨機性。

有些人把“生成”看成一種意外收獲，一種“教育智慧”，而我更愿意把每次的生成，作為一種經(jīng)驗和思考，儲備成為下次教學(xué)設(shè)計的預(yù)設(shè)之一，根據(jù)課堂實際靈活調(diào)整教學(xué)，所謂“該出手時就出手”。只有積累越多，才能更好地取舍有度，教學(xué)才能真正“海闊天空”。這樣預(yù)設(shè)與生成就互相轉(zhuǎn)化，達到統(tǒng)一。

綜上所述，只有真正以學(xué)生發(fā)展為本，課程的選擇圍繞學(xué)生的需求及認知水平，發(fā)揮學(xué)生在課堂上的主體地位，學(xué)生才能得到生動活潑的發(fā)展，才能真正實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

責(zé)任編輯 羅 峰