李偉華 趙成剛

（中國北京 100044 北京交通大學土木建筑工程學院）

引言

場地地震反應問題，即局部場地條件對地震波傳播的影響問題，作為地震工程學中的兩大類波動問題之一，一直備受關注．在過去的幾十年里，國內外對局部場地條件動力反應問題進行了大量的研究，目前對地形、地貌、覆蓋層的組成、厚度、土的軟硬等局部場地條件對地震地面運動的影響都進行了相關研究（Trifunac，1972；劉晶波，1989；李偉華，2004）．但綜觀已有場地地震反應問題的研究中，均未考慮地下水位變化對地震地面運動的影響．而在實際地層中，地下水位是存在的，并且降水、季節(jié)變化以及地下水抽取等還將導致地下水位的變化．以北京地區(qū)為例，1999年平原地區(qū)地下水埋深為15m左右．1999年以后，因連續(xù)遭遇枯水年，全市地下水位埋深直線下降，1999—2009年10年間全市累計降深達9．86m（楊忠山等，2010）．地下水位變化是否會對地震地面運動產生影響？將會產生怎樣的影響？目前還沒有文獻分析此問題．究其原因，主要是由于現(xiàn)有場地反應問題研究中，大多以經典彈性動力學為理論依據(jù)，將天然土體簡化為理想的各向同性單相介質進行分析，這一簡化自然忽略了地下水的影響．眾所周知，自然界中的土一般是由土骨架和孔隙流體（水和氣體）組成的三相介質．當孔隙中完全被水填充時稱為水飽和土；當孔隙中僅被氣體充滿時為干土，或稱為氣飽和土．土孔隙中流體的性質不同，會導致土層振動時剛度的變化，從而影響土層的動力反應，所以采用常規(guī)的單相介質模型來模擬飽和土層顯然不合適，應該利用流體飽和多孔介質理論來研究飽和土層．周新民等（2006）曾研究地震波在水飽和與氣飽和土層界面上的反射和透射問題，結果表明地震波在水飽和土中的傳播與在氣飽和土中的傳播差異較大．據(jù)此可以初步推斷，地下水變化應該會對地震地面運動產生影響，但具體影響程度及相關因素還有待進一步研究．

本文以Biot（1956）提出的流體飽和多孔介質波動理論為基礎，建立了成層地基模型，把地下水位以下的飽和土層用水飽和多孔介質模擬，地下水位以上土層用氣飽和多孔介質模擬．通過研究入射平面簡諧波在成層地基中的傳播，分析了地下水位變化對地震地面運動的影響．

1 分析模型

本文所用的分析模型如圖1所示．該模型為一基巖層上覆有限厚度的覆蓋層，覆蓋層厚度為H，地下水埋深于地表下h1處．設地下水位上下土層為飽和度不同的同一種土．地下水位以下為水飽和土層（水飽和度Sr＝100%），厚度為h2＝H－h(huán)1；地下水位以上土層為干土層（即氣飽和土層，水飽和度Sr＝0），厚度為h1．在地表面、地下水位面及基巖表面處的坐標系分別如圖1所示．

圖1 分析模型Fig．1 Analysis model

上覆土層（水飽和或氣飽和土層）用流體飽和多孔介質模擬，考慮固體顆粒及孔隙的流體壓縮性以及流固兩相的慣性耦合和黏性耦合，Biot（1956）給出了流體飽和多孔介質的矢量波動方程：

式中：us和uf分別為固體骨架和流體的位移矢量；e＝▽·us，ε＝▽·uf；ρ11＝（1－n）ρs＋ρ，ρ12＝－ρ，ρ22＝nρf＋ρ，ρs為固相的質量密度，ρf為流體的質量密度，ρ為流固兩相耦合的質量密度，n為流體飽和多孔介質的孔隙率；b為與滲流有關的系數(shù)，b＝n2η／k（η為流體黏滯系數(shù)，k為滲透系數(shù)）；A，N，R，Q為材料常數(shù)，其中A和N類似于一般彈性理論中的拉梅常數(shù)，R和Q反映了流體的彈性及流體與固體骨架間的彈性相互作用，它們可以分別用土骨架和孔隙流體的材料常數(shù)來表示（Biot，Willis，1957）：

式中，K＝K［1＋n（－1）］，K和K分別為土顆粒和土骨架的體積模量，λ和μ為土

dssb骨架的拉梅常數(shù)，Kf為孔隙流體的體積模量．

因為地下水位上下土層為同一種土，所以地下水位上下土體骨架的拉梅常數(shù)相等．土顆粒密度相等．地下水位以下水飽和土的孔隙流體體積模量Kf＝Kw（Kw為水的體積模量），孔隙流體密度ρf＝ρw（ρw為水的密度）；地下水位以上氣飽和土的孔隙流體體積模量Kf＝Ka（Ka為空氣的體積模量），孔隙流體密度ρf＝ρa（ρa為空氣的密度）．本文假定地下水位變化不引起土體孔隙率的變化．

在Biot模型中，土顆粒和孔隙流體均為可壓縮的，固體骨架部分與流體部分的應力－應變關系分別為

式中，σsij和σf分別為固體骨架部分和流體部分承擔的應力，εij＝（ui，j＋uj，i）／2為土骨架應變．基巖用單相彈性介質模擬，其波動方程為（Eringen，Suhubi，1975）

式中：θ＝divub，ub為基巖介質的位移向量；λb和μb為基巖層的拉梅常數(shù)；ρb為基巖層的質量密度．

2 波場分析

根據(jù)Helmholtz定理，式（1）和式（4）中的位移矢量可寫成如下形式：

式中，φ為標量勢函數(shù)，φ為矢量勢函數(shù)．將式（5）分別代入式（1）和式（4）中，并假設平面波解形式為簡諧波，可分別得到流體飽和多孔介質和單相彈性介質中各形態(tài)波的標量勢函數(shù)φ和矢量勢函數(shù)φ 的表達式，詳見文獻（Deresiewicz，Rice，1962；Eringen，Suhubi，1975）．

設P（或SV）波從基巖入射到上覆土層，入射P（或SV）波頻率為ω，入射角為θ（或β），則入射波場的勢函數(shù)可表示為

式中，Aib（或Bib）為入射波幅值，kbP和kbS分別為入射P波和入射SV波的波數(shù)．

入射波將在地層內產生反射和透射，各土層中的波場如圖1所示，具體分析如下：

1）基巖中．波從基巖層入射到上覆土層中時，在基巖層中產生的反射波為

式中，Arb和Brb為待求的基巖中反射波波幅系數(shù)．

2）地下水位以下土層（水飽和土層）中．研究表明，流體飽和多孔介質中存在3種類型波：P1波、P2波和SV波．對于此問題，地下水位以下水飽和土層中固體骨架部分各形態(tài)波的標量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)分別為

則水飽和土中的總波場為

3）地下水位以上土層（氣飽和土層）中．同理，地下水位以上氣飽和土層中固體骨架部分各形態(tài)波的標量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)分別為

則氣飽和土中的總波場為

式 中 ，和分別為水或氣飽和土中P1波、P2波和SV波的波速．具體計算方法參見Deresiewicz和Rice（1962）文章．

此外，根據(jù)Snell定理有

3 邊界條件及問題的解

Deresiewicz和Skalak（1963）給出了兩種不同飽和多孔介質交界面上的邊界條件，后來其他研究人員根據(jù)不同需要進行了一系列修改（Lovera，1987；de la Cruz，Spanos，1989）．本文中，假設水氣之間不存在質量交換，即不考慮氣體在水相的溶解和溢出，則在水飽和土與氣飽和土交界面上存在以下連續(xù)條件：

法向、切向總應力連續(xù)

孔隙流體壓力連續(xù)

固體骨架法向、切向位移連續(xù)

流體法向位移連續(xù)

假定基巖與水飽和土層界面不透水，則基巖與水飽和土層交界面的邊界條件可以表示為：

法向、切向總應力連續(xù)

水飽和土層固體骨架與基巖層法向、切向位移連續(xù)

水飽和土層固體骨架法向位移和流體位移連續(xù)

氣飽和土表面為自由邊界，其邊界條件為

式中，上標“b”表示基巖，“s”表示飽和土中固相，“f”表示飽和土中流體相．

根據(jù)前面給出的各土層中的波場、單相彈性介質應力－應變關系、流體飽和多孔介質的應力－應變關系（式（3））以及上述邊界條件（式（14）—（16）），可以得到P波（或SV波）從基巖層入射到含地下水的上覆土層時，在各土層中產生的波場的待定波幅系數(shù)為

式中，

4 地下水位變化對地面運動的影響分析

為便于分析，引入無量綱頻率ω／ω1．其中ω1為地下水位在地表時的固有頻率，地表位移用位移分量的幅值與入射波位移幅值u0的比值，即放大系數(shù)來表示．

取上覆土層總厚度H＝100m；基巖層材料參數(shù)ρb＝2 650kg／m3，λb＝μb＝5．3×109Pa；上覆土層中土顆粒的密度ρs＝2 700kg／m3，流固兩相耦合質量密度ρ＝0；其它材料參數(shù)取值見表1．計算中考慮兩組軟硬程度不同的上覆土層：第一組上覆土層較軟，土骨架剪切模量μ與孔隙水體積模量Kw比（土骨架的相對剛度）值為0．03；第二組上覆土層較硬，μ／Kw＝0．5．

把式（10）代入式（5），得到地表面水平位移幅值ux和豎向位移幅值uz為

表1 上覆土層的材料參數(shù)Table 1 The material parameters of the overlying soil

首先考慮P波入射的情況．圖2給出了上覆土層取表1中第一組參數(shù)時，ω／ω1分別等于1．0，2．0和5．0時，不同地下水位（h1分別為0．1H，0．2H，0．3H和0．4H）條件下，地表水平位移和豎向位移放大系數(shù)隨入射角變化的關系曲線．可以看出，當土骨架的相對剛度μ／Kw較小，即土骨架相對水來說很弱時，地下水位變化對地表位移放大系數(shù)影響較大，且這種影響與入射波頻率和入射角有關．當相對頻率ω／ω1較?。é兀?＝1．0）時，地下水位變化對x方向地表位移放大系數(shù)影響較大，隨著入射角的增加，這種影響先增大后減小，對z方向地表位移放大系數(shù)影響較?。划斚鄬︻l率ω／ω1較大（ω／ω1＝5．0）時，地下水位變化對x和z方向地表位移放大系數(shù)影響均較大．當波垂直入射時，隨著地下水位的下降，z方向地表位移放大系數(shù)增加，h1＝0．4H時，z方向地表位移放大系數(shù)為h1＝0．1H時的4倍．

圖2 P波入射下取第一組參數(shù)時地下水位變化對地表位移的影響Fig．2 Effects of groundwater level variation on ground motions for group 1parameters（P-wave）

為了更好地說明入射波頻率的影響，圖3給出了入射角為0°和30°時，不同地下水位條件下地表位移放大系數(shù)隨相對頻率ω／ω1變化的關系曲線．可以看出，地下水位的變化對地面運動的共振峰值和頻率均有顯著的影響．當入射角為0°（波垂直入射）時，隨著地下水位的下降（氣飽和土層厚度的增加），地面運動共振峰值逐漸增大，峰值頻率逐漸減小；當入射角為30°（波斜入射）時，地下水位的變化對水平位移峰值頻率影響相對較小，隨著地下水位的下降，水平位移峰值基本呈增大趨勢，但增大幅度較小．地下水位的變化對豎向位移峰值頻率則影響較大，峰值頻率隨著地下水位降低逐漸減小，豎向位移峰值逐漸增大，但增幅逐漸減?。?/p>

圖3 P波入射下取第一組參數(shù)時不同地下水位下地表位移隨相對頻率變化的關系曲線Fig．3 x-and z-component of ground displacement amplitudes versus the relative frequencies under different groundwater levels for group 1parameters（P-wave）

產生這種現(xiàn)象的原因主要是隨著地下水位的降低，上覆土層逐漸由水飽和變成氣飽和．當取表1中第一組參數(shù)時，在水飽和土中，土骨架相對于水來說屬于弱骨架；而在氣飽和土中，土骨架相對于氣體而言則為剛性骨架．這一變化對P1波影響很大，主要表現(xiàn)在P1波波速的差別上．表1給出了頻率為10Hz時水飽和土和氣飽和土中各波的波速．可以看出，當土層由水飽和變成氣飽和時，P1波波速顯著減?。?/p>

為了對比土骨架參數(shù)對結果的影響，圖4給出了上覆土層取表1中第二組參數(shù)時，ω／ω1分別等于1．0，2．0和5．0時，不同地下水位條件下地表水平位移和豎向位移放大系數(shù)隨入射角度變化的關系曲線．可以看出，當土骨架的相對剛度μ／Kw較大，即土骨架與水具有同等剛度時，地下水位變化對地表位移放大系數(shù)影響不大，且地表位移放大系數(shù)比μ／Kw較小時要小．這說明當土骨架剛度增加時，無論在水飽和還是氣飽和土中土體骨架逐漸起主導作用，這時水飽和土與氣飽和土中P1波波速相當，差別不大，具體如表1所示．

圖4 P波入射下取第二組參數(shù)時地下水位變化對地表位移的影響Fig．4 Effects of groundwater level variation on ground motions for group 2parameters（P-wave）

對于SV波入射的情況，圖5給出了取表1中第一組參數(shù)時，ω／ω1分別等于1．0，2．0和5．0時，地下水位變化對地表水平位移和豎向位移放大系數(shù)的影響．可以看出，SV波入射時地下水位變化對地表位移放大系數(shù)影響也較大，這種影響同樣與入射波頻率和入射角有關．由于篇幅有限，詳細情況不再贅述．

5 討論與結論

波在氣飽和土中的傳播與水飽和土中的傳播差異較大，由此可以初步推斷，地下水變化應該會對地震地面運動產生影響．但目前現(xiàn)有的場地反應問題研究中，大多以經典彈性動力學為理論依據(jù)，將天然土體簡化為理想的各向同性單相介質進行分析，這一簡化使得地下水的影響被忽略．

圖5 SV波入射下取第一組參數(shù)時地下水位變化對地表位移的影響Fig．5 Effects of groundwater level variation on ground motions for group 1parameters（SV-wave）

本文以Biot（1956）提出的流體飽和多孔介質波動理論為基礎，建立了成層地基模型，把地下水位以下的飽和土層用水飽和多孔介質模擬，地下水位以上土層用氣飽和多孔介質模擬，得到了入射平面簡諧波在成層地基中傳播的解析解答．通過計算，分析了地下水位變化對地震地面運動的影響．得到如下結論：當土骨架的相對剛度較小，即土骨架相對水來說很弱時，地下水位變化對地表位移放大系數(shù)影響較大，隨著地下水位的下降（氣飽和土層厚度的增加），地面運動峰值逐漸增大，峰值頻率逐漸減小；當土骨架的相對剛度較大，即土骨架與水具有同等剛度時，地下水位變化對地表位移放大系數(shù)影響不大．該結論說明對于軟弱土層，地下水位變化對地震地面運動的影響應該引起重視．

誠然，地下水位的變化會引起土性質多方面的改變，但由于目前關于飽和土波動理論研究的限制，本文僅在彈性范圍內假定地下水位下降時土的孔隙比不變的條件下，進行了初步探索，有一定局限性．地下水位變化對地震地面運動的影響尚有待進一步深入研究．

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