程慧慧

摘 要： 隨機(jī)過程是概率論的延伸，研究不確定現(xiàn)象的動態(tài)變化規(guī)律。針對其抽象性強(qiáng)，與實(shí)際聯(lián)系比較緊密，學(xué)習(xí)難度大等特點(diǎn)，通過以下教學(xué)思想與教學(xué)方法探討如何講授好應(yīng)用隨機(jī)過程課程：將概率意義與直觀背景相結(jié)合，理解各種隨機(jī)過程；建立不同過程之間的對比關(guān)系，指明它們的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生能夠融會貫通，加深記憶；加強(qiáng)隨機(jī)過程的應(yīng)用舉例，提高學(xué)生的興趣和解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)過程 直觀背景 類比教學(xué) 應(yīng)用舉例

應(yīng)用隨機(jī)過程是高等院校理工科高年級學(xué)生和研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課。作為概率論的延伸，隨機(jī)過程不僅是數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)所必需的，而且是物理及工程技術(shù)領(lǐng)域的重要應(yīng)用工具，其在通信、生物、社會管理、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等方面都有廣泛應(yīng)用。作為隨機(jī)數(shù)學(xué)的一個重要基礎(chǔ)課程，隨機(jī)過程已經(jīng)是現(xiàn)代科技工作者必須掌握的一個工具。隨機(jī)過程是研究隨機(jī)現(xiàn)象變化過程的學(xué)科，有重要的理論價值和實(shí)際應(yīng)用背景。但由于隨機(jī)過程偏向于概率等隨機(jī)數(shù)學(xué)的特征，理論知識相對抽象復(fù)雜，學(xué)生由于適應(yīng)了確定性現(xiàn)象的思維習(xí)慣，對概率論這一類研究不確定現(xiàn)象的理論體系會顯得難以接受，對作為概率論拓展的隨機(jī)過程理論就更不容易掌握。這對學(xué)生的學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)方法提出了一定挑戰(zhàn)。因此，在隨機(jī)過程教學(xué)中，首先，注重將概率原理與直觀背景相結(jié)合，理解各種隨機(jī)過程，使授課內(nèi)容通俗易懂，容易接受。其次，將各個教學(xué)知識點(diǎn)有機(jī)聯(lián)系起來，通過類比的方法，了解它們之間的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，這樣可以指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)不同過程的性質(zhì)時，體會它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，加深對知識點(diǎn)的記憶。另外，要加強(qiáng)對隨機(jī)過程應(yīng)用性的介紹，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，可以讓學(xué)生利用隨機(jī)過程的知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力。

一、概率原理與直觀背景相結(jié)合，理解各種隨機(jī)過程，使授課內(nèi)容通俗易懂，容易接受。

隨機(jī)過程與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系非常密切，許多知識都有實(shí)際背景，因此在講解一個知識時通?？梢詫⑵渑c具體的例子結(jié)合起來，使學(xué)生更容易接受。例如對Poisson過程，事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)世界的許多偶然現(xiàn)象可用泊松分布描述，泊松過程是隨機(jī)建模的重要基石，也是學(xué)習(xí)隨機(jī)過程理論的重要直觀背景。在講授時，我們先列舉一些著名的例子，比如：電話總機(jī)所接到的呼喚次數(shù)，交通流中的事故數(shù)，某地區(qū)地震發(fā)生的次數(shù)，細(xì)胞中染色體的交換，計(jì)數(shù)器上的粒子流，炮彈的彈著點(diǎn)，等等。

緊接著，提出問題：為什么實(shí)際中有這么多的現(xiàn)象可以用泊松過程反映呢？讓學(xué)生帶著問題聽課，增強(qiáng)教學(xué)吸引力。然后講解其概率原理：其根據(jù)是稀有事件原理。我們在概率論的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道，貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率很小而試驗(yàn)的次數(shù)很多時，二項(xiàng)分布會逼近泊松分布。這一想法很自然地推廣到隨機(jī)過程，比如上面提到的事故發(fā)生的例子，在很短的時間內(nèi)發(fā)生事故的概率是很小的，但假如考慮很多個這樣很短的時間的連接，事故的發(fā)生將會有一個大致穩(wěn)定的速率，這類似于貝努里試驗(yàn)和二項(xiàng)分布逼近泊松分布時的假定，這就是泊松過程定義所描述的直觀意義。再比如講授維納過程時，可以先介紹維納過程的數(shù)學(xué)模型布朗運(yùn)動，英國植物學(xué)家布朗在顯微鏡下，觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子，發(fā)現(xiàn)它們不斷地進(jìn)行著雜亂無章的運(yùn)動，這種現(xiàn)象后來稱為布朗運(yùn)動，以W（t）表示運(yùn)動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標(biāo)（同樣也可以討論縱坐標(biāo)）且設(shè)W（0）=0，根據(jù)愛因斯坦1905年提出的理論，微粒的這種運(yùn)動是由于受到大量隨機(jī)的，相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果，于是，粒子在時段（s，t]（與相繼兩次碰撞的時間間隔相比是很大的量）上的位移可看做是許多微小位移的代數(shù)和。顯然，依中心極限定理，假定位移W（t）-W（s）為正態(tài)分布是合理的。其次，由于粒子的運(yùn)動完全是由液體分子的碰撞而引起的。這樣，在不相互重疊的時間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)，大小和方向可假定是相互獨(dú)立的，這就是說位移W（t）具有獨(dú)立的增量。另外，液面處于平衡狀態(tài)，這時粒子在一時段上位移的概率分布可以認(rèn)為只依賴于這時段的長度，而與觀察的起始時刻無關(guān)，即W（t）具有平穩(wěn)增量，這就是維納過程的直觀意義。

二、通過類比的方法，建立不同過程之間的聯(lián)系，使學(xué)生融會貫通，加深記憶。

隨機(jī)過程中，不同過程之間有很多相似點(diǎn)和不同點(diǎn)，在講解的時候，可以進(jìn)行類比，加深學(xué)生的記憶。以泊松過程和維納過程為例，通過比較這兩種過程定義中的條件理解其各自具有的性質(zhì)。

泊松過程：計(jì)數(shù)過程{N（t），t≥0}稱為強(qiáng)度為λ的泊松過程，如果滿足條件：

（1）在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性；

（2）N（0）=0；

（3）對每個t，N（t）服從Poisson分布P（λt）。

維納過程：稱隨機(jī)過程{W（t），t≥0}為維納過程，如果滿足條件：

（1）在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性；

（2）W（0）=0；

（3）對每個t，W（t）服從正態(tài)分布N（0，σ2t）。

通過比較可以看出，這兩種過程的相同之處在于都是平穩(wěn)的獨(dú)立增量過程，且都要求零初值；不同的是維納過程要求增量服從正態(tài)分布，而泊松過程要求增量泊松分布。依據(jù)泊松分布和正態(tài)分布的性質(zhì)特征，可以知道泊松過程的軌道是階梯函數(shù)而維納過程的軌道應(yīng)該是連續(xù)的，另外前者的均值為λ，而后者的均值為0，講授式可以繪制出二者的一條軌道圖像，分析以上特征。使授課內(nèi)容更直觀，容易被學(xué)生接受，加深記憶。由于泊松過程較為簡單直觀，通常被放在課程的開始階段進(jìn)行教學(xué)，而維納過程則通常在課程后期才進(jìn)行講授。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)時常常不能體會到這兩類過程之間的聯(lián)系。我們通過以上類比，將這兩類隨機(jī)過程及其相應(yīng)的教學(xué)重點(diǎn)緊密聯(lián)系，一方面給學(xué)生揭示了這些隨機(jī)過程的本質(zhì)和相互關(guān)系，另一方面為學(xué)生加深對這些教學(xué)內(nèi)容和知識點(diǎn)的理解，融會貫通所學(xué)知識，提高隨機(jī)課程這門應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力提供了新的著力點(diǎn)。

三、增加對幾類過程在實(shí)際中的應(yīng)用舉例，體現(xiàn)所學(xué)知識的應(yīng)用價值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

隨機(jī)過程有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，其中泊松過程的一個典型應(yīng)用就是在排隊(duì)論中的應(yīng)用。舉例：設(shè)某銀行從早上8：00開始有無窮多的人排隊(duì)等候服務(wù)，設(shè)只有一名服務(wù)員，且每人接受服務(wù)的時間是獨(dú)立的并服從均值為20分鐘的指數(shù)分布，則到中午12：00為止平均有多少人接受完服務(wù)已經(jīng)離開？恰有9人離開的概率是多少？

解：由所設(shè)條件可知，到t時刻為止，離去的人數(shù)N（t）是強(qiáng)度λ=3的泊松過程（這里以小時為單位）。設(shè)8：00為零時刻，則其均值為3即到12：00為止，離去的人平均是12名。恰有9人離開的概率為P{N（t）=9}，由泊松過程定義第三條計(jì)算即可。

事實(shí)上隨機(jī)過程在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)物理、放射性問題、原子反應(yīng)、天體物理、化學(xué)反應(yīng)、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊(duì)論、信息論、安全科學(xué)、人口理論、可靠性、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)及自動控制、無線電技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要以隨機(jī)過程為基礎(chǔ)來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。因而，在講解時，應(yīng)充分體現(xiàn)隨機(jī)過程的實(shí)踐性和應(yīng)用性，結(jié)合本學(xué)科的前沿技術(shù)與發(fā)展動向，拓寬學(xué)生視野，給學(xué)生布置一些小論文，讓學(xué)生利用隨機(jī)過程的知識建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

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