劉斌+柳玉昕+潘穎+孫久強(qiáng)+崔洋洋

摘??要：傳統(tǒng)的H∞魯棒控制器通常都是基于線性矩陣不等式求解的，因此階次較高，不利于實(shí)現(xiàn)，而基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)方法能夠有效的解決這一問(wèn)題。本文提出了一種改進(jìn)的同倫算法用于求解控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)的非線性方程，避免了經(jīng)典同倫法中逆矩陣的求解。針對(duì)某一跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器，通過(guò)階躍響應(yīng)和正弦信號(hào)的跟蹤響應(yīng)可以看出，與高階滯后超前校正環(huán)節(jié)相比，前者構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：Nevanlinna-Pick插值;跟蹤系統(tǒng);魯棒控制

中圖分類號(hào)：TP13 ???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

H∞?Robust?Controller?Design?for?Tracking?System?Via?Nevanlinna-Pick?Interpolation

Liu?Bin，?Liu?Yu-xin，?Pan?Ying，?Sun?Jiu-qiang，?Cui?Yang-yang??（School?of?Electrical?and?Information?Engineering，?Northeast?Petroleum?University，?Daqing?163318，?China，?E-mail：?liubin.nepu@hotmail.com?）

Abstract：?Traditional?H∞?robust?controllers?are?designed?by?solving?linear?matrix?inequalities，?which?have?higher?degree?and?are?difficult?to?be?realized.?A?new?design?method?of?H∞?robust?controller?is?proposed?based?on?Nevanlinna-Pick?interpolation，?where?a?modified?homotopy?method?is?introduced?to?solve?the?nonlinear?algebraic?equations?induced?in?the?design?process?avoiding?calculating?the?matrix?inverse.?The?robust?controller?is?designed?for?tracking?system.?From?both?step?response?and?sinusoidal?response，?the?proposed?H∞?robust?controller?has?higher?accuracy?and?robustness?compared?with?lead-lag?compensator.

Key?words：?Nevanlinna-Pick?Interpolation;?Tracking?System;?Robust?Control

1?引言

H∞魯棒控制理論作為魯棒控制的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容得到了廣泛的研究和應(yīng)用，不但在線性時(shí)不變系統(tǒng)取得了豐富的研究成果[1-5]，而且在時(shí)滯系統(tǒng)、時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)等領(lǐng)域也得到了深入的研究[6-8]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在時(shí)變采樣周期、長(zhǎng)時(shí)延以及丟包、量化誤差等現(xiàn)象，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞控制問(wèn)題同樣得到了廣大學(xué)者的關(guān)注[9-14]。

目前，常用的H∞控制器設(shè)計(jì)方法有模型匹配法、加權(quán)函數(shù)法、Lyapunov函數(shù)法等，并通過(guò)線性矩陣不等式（LMI，Linear?Matrix?Inequalities）求解相應(yīng)的控制器。但是，基于LMI求解的控制器階次較高，這種高階控制器不但不利于實(shí)現(xiàn)，而且可能會(huì)引起時(shí)滯，進(jìn)而導(dǎo)致控制系統(tǒng)的品質(zhì)變差，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。靈敏度最小化問(wèn)題作為設(shè)計(jì)反饋控制器的核心問(wèn)題之一，文獻(xiàn)[15]首次給出了求解靈敏度函數(shù)最小化問(wèn)題的完整解決方案，但是只分析了靈敏度最小化與Nevanlinna-Pick插值之間的關(guān)系;文獻(xiàn)[16]將具有階次約束的Nevanlinna-Pick插值應(yīng)用于解決靈敏度函數(shù)問(wèn)題;文獻(xiàn)[17]詳細(xì)研究了控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)與靈敏度函數(shù)之間的關(guān)系，并提出了一種改進(jìn)的同倫算法用于求解Nevanlinna-Pick插值算法產(chǎn)生的非線性方程。本文以跟蹤系統(tǒng)中的穩(wěn)定回路為控制對(duì)象，設(shè)計(jì)了具有階次約束的H∞魯棒控制器，特別是當(dāng)外部干擾和系統(tǒng)不確定性同時(shí)存在時(shí)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)研究了系統(tǒng)的跟蹤性能及其干擾抑制能力。

2?Nevanlinna-Pick插值與魯棒控制器設(shè)計(jì)

稱之為跟蹤系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)。顯然，S同時(shí)也是從干擾d到輸出y的傳遞函數(shù)。由于反饋控制系統(tǒng)中幾乎所有的性能指標(biāo)都可以用靈敏度函數(shù)來(lái)表示，因此本文研究的具有階次約束的H∞魯棒控制器就是基于閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S來(lái)設(shè)計(jì)的。

圖1?反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

由文獻(xiàn)[17]可知，具有階次約束的H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題與下面最優(yōu)化問(wèn)題是等價(jià)

針對(duì)非線性方程，可采用連續(xù)法求解該非線性方程。但是，傳統(tǒng)的連續(xù)法需要求解矩陣的逆，計(jì)算量較大?；趥鹘y(tǒng)的連續(xù)法思想，提出了一種改進(jìn)的同倫法，不僅避免了求解矩陣的逆，而且新算法受迭代初值的影響較小，收斂速度快。

3改進(jìn)的同倫算法

3.1??同倫法的基本思想

圖2?改進(jìn)的同倫算法流程圖

4仿真實(shí)例

現(xiàn)在對(duì)于陀螺穩(wěn)定跟蹤系統(tǒng)的實(shí)際控制方法，大多是基于傳統(tǒng)的時(shí)域PID控制，或是頻域中的超前滯后校正算法。張智永在其博士論文中指出[18]：在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，由于低頻處機(jī)械諧振和一些不確定因素的影響，滯后超前校正在抵抗載體擾動(dòng)方面的效果不是很理想。究其原因，一是沒(méi)有有效抑制低頻機(jī)械諧振，二是開(kāi)環(huán)增益不夠高，不能有效消除摩擦等干擾力矩對(duì)系統(tǒng)精度的影響。為了改善控制效果，張智永提出采用高階滯后超前控制器的方案。假設(shè)本文采用與文獻(xiàn)[18]相同的跟蹤系統(tǒng)穩(wěn)定回路，具有相同的被控對(duì)象模型、性能指標(biāo)以及不確定性：

，

，

分別對(duì)階躍響應(yīng)、干擾存在時(shí)的跟蹤效果以及干擾與模型不確定性同時(shí)存在時(shí)的跟蹤效果進(jìn)行了仿真，并與高階滯后超前校正環(huán)節(jié)的控制效果進(jìn)行了對(duì)比。圖3至圖5中的NPDCoutput和LEADLAGoutput分別表示本文設(shè)計(jì)的魯棒控制器和高階滯后超前校正環(huán)節(jié)作用下系統(tǒng)輸出曲線。

4.1階躍響應(yīng)

由圖3中可以看出，相對(duì)于LEADLAGoutput1而言，NPDCoutput1的超調(diào)小、響應(yīng)速度快。當(dāng)被控對(duì)象存在由式描述的不確定性時(shí)，LEADLAGoutput2超調(diào)增加，出現(xiàn)了明顯的振蕩，而NPDCoutput2幾乎不受不確定性的影響。

圖3?階躍響應(yīng)曲線

4.2跟蹤響應(yīng)：模型不確定性與干擾同時(shí)存在

當(dāng)被控對(duì)象存在如式所描述的不確定性時(shí)，分析模型不確定性與外部干擾對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)輸出的影響。設(shè)定值分別選為（低頻）、（高頻），外部干擾選為幅值為1，持續(xù)時(shí)間分別為0.2s和0.02s的脈沖信號(hào)，其作用時(shí)刻分別為和，閉環(huán)系統(tǒng)輸出如圖4和圖5所示。

圖4?設(shè)定值頻率為3Hz時(shí)的跟蹤曲線

圖5?設(shè)定值頻率為30Hz時(shí)的跟蹤曲線

當(dāng)設(shè)定值的頻率為f=3Hz（低頻）時(shí)，兩種類型控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)輸出相差不大，只是對(duì)干擾信號(hào)的過(guò)渡過(guò)程有所不同。由圖4可以看出，NPDCoutput1的過(guò)渡時(shí)間較LEADLAGoutput1短，說(shuō)明該閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于快變的干擾具有較強(qiáng)的抑制效果，具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。此時(shí)，被控對(duì)象的不確定性對(duì)跟蹤效果和干擾抑制能力的影響不大。

當(dāng)參考信號(hào)頻率較高f=30Hz（高頻）時(shí)，由圖5可以看出兩種類型的控制器的控制效果差別較大。對(duì)于在0.015s時(shí)刻出現(xiàn)的持續(xù)時(shí)間為0.02s的脈沖干擾，NPDCoutput2與NPDCoutput1相差不大，但是NPDCoutput2的過(guò)渡時(shí)間明顯小于LEADLAGoutput2的過(guò)渡時(shí)間，且振蕩幅度較小。以高階滯后超前校正環(huán)節(jié)構(gòu)成的跟蹤系統(tǒng)的控制效果明顯變差，跟蹤信號(hào)出現(xiàn)了較大的延遲，其干擾抑制能力較魯棒控制器的干擾抑制能力明顯變?nèi)?，且跟蹤信?hào)的幅值有明顯的衰減。當(dāng)被控對(duì)象存在不確定性時(shí)，與LEADLAGoutput1相比，LEADLAGoutput2超調(diào)量大幅增加，整體跟蹤效果明顯變差。

通過(guò)圖4與圖5的可以看出，基于靈敏度函數(shù)設(shè)計(jì)的魯棒控制器與高階滯后超前校正環(huán)節(jié)相比，前者構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

5結(jié)論

本文研究了一種具有階次約束的H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)算法，特別是提出了一種改進(jìn)的同倫算法并將其用于求解非線性方程，不但可以減小運(yùn)算量、而且降低了迭代初值對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響。最后，將具有階次約束的魯棒控制器應(yīng)用于跟蹤系統(tǒng)的穩(wěn)定回路控制，取得了較好的控制效果。由仿真實(shí)驗(yàn)和分析結(jié)果可以看出，與傳統(tǒng)的超前滯后校正環(huán)節(jié)相比，基于本文方法設(shè)計(jì)的H∞魯棒控制器，不僅具有較低的階次，而且能有效的抑制干擾對(duì)跟蹤系統(tǒng)的影響，即使被控對(duì)象存在不確定性時(shí)也能夠很好地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)跟蹤，滿足跟蹤系統(tǒng)的性能要求。

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