王世磊，景書杰，劉爭杰

（河南理工大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 焦作 454000）

E-凸函數(shù)的一個等價定理

王世磊，景書杰，劉爭杰

（河南理工大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 焦作 454000）

E-凸函數(shù)作為凸函數(shù)的推廣，近年來在凸分析、優(yōu)化理論及數(shù)學規(guī)劃領域中都有著重要的應用.文章首先通過定義在任意集合上函數(shù)的凸性，對E-函數(shù)的基本成分進行適當?shù)牟鸱?，研究得出了E-凸集與E-凸函數(shù)的相關結論；最后得出并證明了關于E-凸函數(shù)的一個等價定理，在一定程度上可豐富人們對E-凸函數(shù)的認識.

凸性；凸包；E-凸集；E-凸函數(shù)；拆分；等價定理

E-凸函數(shù)是凸函數(shù)的推廣，近年來在優(yōu)化理論分析中有著重要的應用，許多學者都投入到了對E-凸函數(shù)與廣義E-凸函數(shù)的性質、結論及應用的研究中，并先后得到了很多重要的性質和結論[1-8].本文通過定義任意集合上函數(shù)的凸性，得到了有關E-凸函數(shù)的某些性質，最后得出了一個關于E-凸函數(shù)的新的等價定理.

對于任意一個函數(shù)，其構成不外乎定義域、值域、法則三部分，E-凸函數(shù)自然也不例外，由E-凸函數(shù)的基本定義（定義4），得到E-凸函數(shù)的定義域、值域、法則：定義域為E-凸集C；值域為R；法則為f∶C→R.下面對這三個方面進行分析：

1）定義域：本文將定義域E-凸集分拆成了3個部分，分別是C-convE（C）、E（C）、convE（C）-E（C），即：

且集合E（C）、conv（C）-E（C）、C-convE（C）互不相交.集合C拆分示意圖見圖1.

圖1 集合C的拆分Fig.1 Partition of setC

為保證定義域可拆分成上面的形式，需要保證convE(C)?C，這將在文中給與證明（見定理1）.可以這樣分拆定義域的原因是：當C是E-凸集時，E（C）并不一定是凸集，例如：

當E（C）是凸集，E（C）≠C時，可以將定義域分為兩部分：convE（C）和C-convE（C）；

當E（C）是凸集時，E-凸集C即是凸集，定義域即為凸集C；

當E（C）不是凸集，convE（C）=C時，可將定義域分為兩部分：E（C）和convE（C）-C.

這些都是上面分拆的特殊情況，故不加以區(qū)分.另外，之所以這樣分拆定義域，其原因是convE（C）必定是凸集，而E-凸函數(shù)在凸集上具有某種特殊性質（見定理2）.

2）值域：值域取值范圍為R.

3）法則：根據(jù)本文中把定義域拆分為3部分，所以將相對的法則也被分拆為3部分，記為：

函數(shù)f拆分示意圖見圖2.

圖2 函數(shù)f的拆分Fig.2 Partitiont of functionf

這樣，分析E-凸函數(shù)f在E-凸集C上的性質，等價于分析f1，f2，f3在各自定義域上的性質.本文通過定義函數(shù)在任意集合上的凸性（定義6），研究E-凸函數(shù)在其定義域上的性質特征，最后得到了E-凸函數(shù)的一個等價定理（見定理3）.

1 預備知識

為了研究的需要，先引入幾個與凸集、凸函數(shù)有關的基本概念.

定義1[1]稱集合C?Rn為凸集，若對?x,y∈C，0≤λ≤1，有：

定義2[1]稱函數(shù)f∶C→R為凸函數(shù)，其中C是Rn中凸集，且對?x,y∈C,0≤λ≤1，有：

定義3[2]稱集合C?Rn是E-凸集，若存在E∶Rn→Rn，使對 ?x,y∈C,0≤λ≤1，有：

定義4[2]稱f∶Rn→R為E-凸集C上的E-凸函數(shù)，若存在E∶Rn→Rn使得C是E-凸集，且對 ?x,y∈C，0≤λ≤1，有：

定義5[9]設S為Rn的一子集，則將包含S的所有凸集的交稱為S的凸包，記為convS.

定義6[9]設f∶Rn→R是集合C上的函數(shù)，對，?x,y∈C,0≤λ≤1若有：λx+(1 -λ)y∈C，則有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立，就稱函數(shù)f在集合C上具有凸性.

2 主要結論及證明

引理1[2]C是E-凸集，則E(C)?C.

引理2[9]設S為Rn中任一子集，則convS是由S中的元素構成的凸組合的全體.

引理3[9]C?Rn是E-凸集當且僅當對任何正整數(shù)m≥2，有：

引理4[9]f∶Rn→R為E-凸集C上的E-凸函數(shù)當且僅當對任何正整數(shù)m≥2，

定理1C是E-凸集?convE(C)?C.

證明 ?)設C是E-凸集，

若E（C）是凸集，則由引理1有：

因此可得C是E-凸集.證畢.

定理2f∶Rn→R為凸集convE(C)?C上的凸函數(shù)，則f是E-凸集C上的E-凸函數(shù).

證明 因為convE(C)?C，故由定理1知集合C是E-凸集.

又因為f∶Rn→R為凸集convE（C）上的凸函數(shù)，其中convE(C)?C，故對 ?x,y∈convE(C)，0≤λ≤1有：

定理3f∶Rn→R為E-凸集C上的E-凸函數(shù)?

其中convE(C)?C，f1在E（C）上具有凸性，且maxf2≤minf1，與f3取值無關.

證明 ?)設f是E-凸集C上E-凸函數(shù).

由已知C是E-凸集，故由定理1知：.

因為f∶Rn→R為E-凸集C上的E-凸函數(shù)，所以對?x,y∈C,0≤λ≤1有：

易知上式右端最小值為minf1.又因為a是convE（C）-E（C）上任意的值，所以有：

故λE（x）+（1-λ）E（y）必定屬于convE（C），即（*）式左端必定與函數(shù)f3無關，換言之，函數(shù)f是E-凸集C上E-凸函數(shù)與函數(shù)f3取值無關.

?）若有convE(C)?C,則對?x,y∈C,λ∈[0，1]，有E(x),E(y)∈convE(C).

若λE(x)+(1 -λ)E(y)∈E(C)，則由f1在E（C）具有凸性，可得：

若λE(x)+(1 -λ)E(y)∈convE(C)-E(C)，由條件知 maxf2≤minf1：

綜上可知：

即：f∶Rn→R為E-凸集C上的E-凸函數(shù).證畢.

3 結語

本文主要是從E-函數(shù)基本組成成分入手進行適當拆分，整體與局部結合進行研究，得了E-凸集、凸函數(shù)的有關結論，并最后得到了關于E-凸函數(shù)的一個新的等價定理，豐富了人們對E-凸函數(shù)的認識.但是關于E-凸函數(shù)和廣義E-凸函數(shù)的性質及應用方面還有很大的研究空間，這也是今后研究工作中的重要內容.

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[5]景書杰,宋虹穎.E-凸函數(shù)的一個性質[J].河南理工大學學報:自然科學版,2008,27(6):740-742.

[6]韋麗蘭,黃雪燕.E-凸函數(shù)和E-擬凸函數(shù)的等價定理[J].數(shù)學的實踐與認識,2011,41(15):191-197.

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[8]杜君花,梁紅梅.E-凸函數(shù)的若干性質[J].哈爾濱商業(yè)大學學報:自然科學版,2015,31(1):100-101.

[9]Tyrrell R Rockafellar.Convex Analysis[M].Princeton:New Jersey Princeton university,1972.

[10]胡毓達,孟志青.凸分析與非光滑分析[M].上海:上?？萍汲霭嫔?2000.

[11]Dimitri P Bertsekas.Convex optimization Theory[M].北京:清華大學出版社,2011.

責任編輯：畢和平

One Equivalent Theorem ofE-convex Functions

WANG Shilei，JING Shujie，LIU Zhengjie
（School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo454000，China）

E-convex functions are the extension of convex functions and have important applications in the fields of analy?sis of convexity,optimization theory and mathematical programming in recent years.Firstly,by defining the convexity of func?tion in any set and properly partitioning the basic compositions ofE-convex functions,we gave some new conclusions ofE-convex sets andE-convex functions.Finally,we gained and proved one equivalent theorem ofE-convex functions.All of these can,to a certain extent,enrich people's knowledge ofE-convex function.

convexity；convex hull；E-convex set；E-convex function；partition;equivalent theorem

O 174.13

A

1674-4942(2015)02-0127-04

2015-03-02

河南省一級重點學科（數(shù)學）支持項目；河南理工大學校級重點學科（運籌學與控制論）支持項目