馬尚君，劉 更，付曉軍，張文杰，喬 冠

(陜西省機(jī)電傳動與控制工程實驗室(西北工業(yè)大學(xué))，710072西安)

行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism，PRSM)是一種可將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動的機(jī)械傳動裝置［1］，廣泛應(yīng)用于直線機(jī)電作動系統(tǒng)［2-3］、醫(yī)療設(shè)備［4］和精密機(jī)床［5］等需要直線作動的場合.建立考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計算模型對于PRSM參數(shù)設(shè)計和研究其傳動性能具有重要意義，但目前關(guān)于PRSM的研究主要集中于運(yùn)動學(xué)［6］、接觸特性［7］及傳動效率［8］和傳動精度［9］等方面，關(guān)于滾柱承載分布的研究還不深入.楊家軍等［10］基于赫茲接觸變形與軸向變形的關(guān)系，建立了承載分布計算公式，并進(jìn)一步研究了PRSM剛度特性.Jones等［11］采用直接剛度法，計算了絲杠側(cè)和螺母側(cè)螺紋承載分布，研究了滾柱和螺紋牙數(shù)目對PRSM剛度的影響規(guī)律.Rys等［12］將滾動體等效成矩形單元，建立了剪切力作用下絲杠側(cè)和螺母側(cè)承載分布計算公式，并與有限元解進(jìn)行了對比驗證.上述研究為PRSM承載分布和傳動性能研究奠定了理論基礎(chǔ)，但均未計入誤差影響，而且螺紋結(jié)構(gòu)參數(shù)等因素對滾柱承載分布的影響規(guī)律研究尚不充分.

本文基于文獻(xiàn)［10］承載分布求解思路，即在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，其相對應(yīng)的絲杠伸長量和螺母的壓縮量與在第i個和第i+1個螺紋牙處的赫茲變形的軸向分量之差相等，考慮誤差影響構(gòu)建PRSM滾柱承載分布計算模型，并進(jìn)一步研究負(fù)載、接觸角、螺旋升角、滾柱螺紋牙數(shù)和螺紋副材料彈性模量比等因素對滾柱承載分布的影響規(guī)律.

1 PRSM滾柱承載分布建模

1.1 模型假設(shè)

根據(jù)PRSM結(jié)構(gòu)特點和傳動原理，作如下假設(shè):1)多個滾柱承載分布相同;2)絲杠側(cè)與螺母側(cè)承載分布一致，且絲杠側(cè)和螺母側(cè)誤差分布相同;3)絲杠和螺母材料屬性一致，滾柱材料屬性不同于絲杠和螺母;4)在軸向載荷作用下，幾何誤差不會導(dǎo)致絲杠、螺母和滾柱接觸角發(fā)生變化.

1.2 考慮誤差的PRSM滾柱承載分布建模

在PRSM傳動中，滾柱螺紋牙型通常加工成球面，多個滾柱同時參與嚙合，以提高承載能力和傳動平穩(wěn)性.滾柱螺紋牙具有多體多點接觸特征.基于模型假設(shè)，滾柱與絲杠和螺母的接觸狀態(tài)如圖1.

圖1 考慮誤差的滾柱承載分布模型

圖1為滾柱第i個螺紋牙在絲杠軸向力Fsi和螺母軸向力Fni作用下的平衡狀態(tài)，實線和虛線分別表示滾柱螺紋牙與絲杠和螺母螺紋牙接觸發(fā)生彈性變形前后的狀態(tài).a點和b點為第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙與螺母的接觸點，c點和d點為第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙與絲杠的接觸點.σi+1和σi分別表示第i+1個螺紋牙與第i個螺紋牙總的幾何誤差.εa、εb、εc和εd分別表示 4個接觸點的軸向偏差.δi+1和δi分別表示第i+1個螺紋牙與第i個螺紋牙彈性變形量.由圖1可知，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點a和b的幾何誤差在軸截面的法向分量分別為σi+1/sinβ和σi/sinβ，同理，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點a和b的彈性變形量在軸截面的法向分量分別為δi+1/sinβ和δi/sinβ.根據(jù)力平衡關(guān)系可知［13］

其中:Fsi和Fni分別為滾柱第i個螺紋牙在絲杠側(cè)和螺母側(cè)所受軸向力，Pj為第j個螺紋牙所受法向力，β為接觸角，λ為螺旋升角.F為總軸向力.總軸向力與滾柱螺紋牙載荷的關(guān)系可以表示為

其中:M為滾柱數(shù)量，N為單個滾柱上螺紋牙數(shù)目.

由圖1幾何關(guān)系可知，第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙的幾何誤差在軸向的分量分別為σi/sinβcosλ和σi+1/sinβcosλ，則第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙產(chǎn)生的彈性變形量在軸向的分量分別為δi/sinβcosλ和δi+1/sinβcosλ.

由于在第i到i+1個螺紋牙之間，PRSM受到絲杠及螺母對滾柱的軸向拉力及壓力作用，故在i與i+1螺紋牙處的絲杠側(cè)和螺母側(cè)的軸向偏差分別為

式(3)和式(4)等號右邊第一項表示第i個螺紋牙的兩個接觸點含誤差的相對軸向偏差，第二項表示第i+1個螺紋牙的兩個接觸點含誤差的相對軸向偏差.根據(jù)赫茲接觸理論可知［14］

式(5)、(6)中，fs、fn分別表示兩接觸側(cè)剛度系數(shù).

根據(jù)PRSM受力狀態(tài)，將絲杠和螺母分別等效為圓柱和空心圓柱，則絲杠受到的軸向拉伸量和螺母受到的軸向壓縮量分別為

其中:Esr、Enr分別為兩接觸物體材料的當(dāng)量彈性模量，As和An分別為絲杠和螺母的有效接觸面積，p為螺距.

根據(jù)赫茲接觸變形與軸向變形關(guān)系，在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，相對應(yīng)的絲杠伸長量及螺母的壓縮量與在第i到i+1個螺紋牙的赫茲接觸變形量的軸向分量之差相同.

將式(1)、(2)、(5)～(8)代入式(3)、(4)，再將式(3)和式(4)相加，可得考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計算模型:

由式(9)可見，誤差項(等式右邊第二項)直接影響接觸點接觸狀態(tài)，導(dǎo)致滾柱螺紋牙各接觸點承載分布發(fā)生變化.

1.3 模型驗證

為了驗證本文模型的正確性，并與文獻(xiàn)［11］采用直接剛度法的計算結(jié)果進(jìn)行對比，故采用文獻(xiàn)［11］初始參數(shù)(如表1所示).直接剛度法是將PRSM等效成一個彈簧系統(tǒng)，根據(jù)接觸點變形、剛度和力的關(guān)系建立矩陣方程，求解各接觸點力.本文是根據(jù)PRSM兩接觸側(cè)相鄰螺紋牙變形協(xié)調(diào)關(guān)系導(dǎo)出了含誤差的承載分布計算模型.文獻(xiàn)［11］求解承載分布沒有考慮誤差影響，故式(9)中等號右邊第二項為零，計算結(jié)果如圖2所示.

表 1 PRSM 參數(shù)［11］

由圖2可見，本文滾柱承載分布計算結(jié)果與文獻(xiàn)［11］計算結(jié)果吻合很好，特別是滾柱各螺紋牙承載比例范圍和前幾個螺紋牙承載變化趨勢吻合程度較高，故驗證了本文所建模型的正確性.

圖2 滾柱各螺紋牙承載比例對比

2 PRSM滾柱承載分布規(guī)律

2.1 隨機(jī)誤差分布

為了便于研究，將各個螺紋牙載荷Fi對總載荷F進(jìn)行量綱一化，并假設(shè)PRSM的幾何誤差是一種隨機(jī)誤差，且服從正態(tài)分布，圖3給出了平均誤差為 0，標(biāo)準(zhǔn)方差Sd=0.002 7 μm 的誤差曲線圖.

圖3 滾柱螺紋牙隨機(jī)誤差分布

2.2 不同軸向力對承載分布的影響

滾柱螺紋牙承載分布與負(fù)載大小直接相關(guān)，選取負(fù)載為 5、10、20、50、80 kN，接觸角和螺旋升角分別為45°和11.532 6°，采用圖3所示誤差分布.Es/Er=1∶1，表示絲杠和滾柱材料彈性模量相同.計算結(jié)果如圖4所示.

圖4 載荷對滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖4可見，在相同誤差分布下，負(fù)載越小，滾柱承載分布波動越大，而且前3個螺紋牙承載比例相差較大.當(dāng)負(fù)載達(dá)到50 kN以上時，滾柱螺紋牙的承載分布基本保持不變，且波動減小.隨著負(fù)載增大，各個螺紋牙的承載比例變化減小，這恰好反映了PRSM在承受較大軸向載荷時，能夠保持較高的傳動精度和平穩(wěn)性的特點.結(jié)合圖3可知，正誤差螺紋牙承載較大，說明負(fù)誤差能夠改善螺紋牙承載分布，而且負(fù)誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例，從而避免過載導(dǎo)致牙斷裂和出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象.

2.3 接觸角對承載分布的影響

選取接觸角分別為 25°、30°、35°、40°、45°和50°，負(fù)載為50 kN，螺旋升角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律如圖5所示.

圖5 接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖5可見，取不同接觸角值，滾柱螺紋牙承載分布變化趨勢保持不變.接觸角越大，前3個螺紋牙承載比例變化越大，均呈增大趨勢，這主要是因為接觸角增大，剛度系數(shù)fs和fn均減小.在相同誤差分布和負(fù)載下，接觸角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對更均勻，而且在給定接觸角下，負(fù)誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例.

2.4 螺旋升角對承載分布的影響

選取螺旋升角分別為 2.336 9°、4.666 0°、6.979 8°、9.271 0°和 11.532 6°，對應(yīng)螺距分別為p=1、2、3、4、5，負(fù)載為 50 kN，接觸角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律如圖6所示.

對比圖6和圖5可知，誤差分布和螺旋升角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律與接觸角相似，負(fù)誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例，螺旋升角越大，對前3個滾柱螺紋牙承載分布影響越大.當(dāng)螺旋升角為2.336 9°時，滾柱螺紋牙承載比為 0.005 4～0.014 6，螺旋升角為 11.532 6°時，滾柱螺紋牙承載比為 0.001 7～0.035 1.可見，螺旋升角較小時，螺紋牙承載分布更加均勻.與此同時，螺旋升角的大小決定了PRSM的直線進(jìn)給速度，因此，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計時，應(yīng)綜合考慮速度指標(biāo)和承載要求.

2.5 滾柱螺紋牙數(shù)對承載分布的影響

選取滾柱螺紋牙數(shù)分別為5、8、10、15和20，考察其對滾柱螺紋牙承載分布的影響.接觸角和螺旋升角分別為 45°和 11.532 6°，負(fù)載為50 kN，誤差分布和材料彈性模量比不變.計算所得承載分布結(jié)果如圖7所示.

圖7 滾柱螺紋牙數(shù)對滾柱承載分布的影響

由圖7可得，滾柱第1個螺紋牙承載比例最大，隨著螺紋牙數(shù)的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個螺紋牙上.在本例所取參數(shù)條件下，當(dāng)螺紋牙數(shù)＞8時，后面各螺紋牙承載比例基本保持不變，而且誤差對承載比例的影響較小，是導(dǎo)致承載波動的主因.由此，在PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計中，在滿足結(jié)構(gòu)承載條件下，應(yīng)盡量減小滾柱螺紋牙數(shù)，因為牙數(shù)越多，滾柱結(jié)構(gòu)尺寸越大，使得整個螺母尺寸變大，PRSM總的行程減小，而且螺紋牙接觸點越多會產(chǎn)生更多的摩擦損耗和摩擦熱，進(jìn)而降低PRSM的傳動效率.

2.6 材料彈性模量比對承載分布的影響

本節(jié)假定螺母和絲杠的材料彈性模量相等，考察材料彈性模量比在1∶10和10∶1之間變化時滾柱螺紋牙承載分布規(guī)律.負(fù)載為50 kN，接觸角、螺旋升角、誤差分布不變.計算結(jié)果如圖8.

圖8 材料彈性模量比對滾柱承載分布的影響

由圖8可以看出，在相同誤差分布下，隨著絲杠(或螺母)彈性模量的增大，滾柱螺紋牙承載分布均勻性變差，第1個螺紋牙承載比例較快增大，且當(dāng)絲杠(或螺母)彈性模量小于滾柱彈性模量時，前3個螺紋牙承載比例明顯下降.因此，在給定誤差分布下，降低絲杠(或螺母)彈性模量，特別是保證Es/Er＜1，可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.這是因為絲杠(或螺母)彈性模量剛度降低，絲杠或螺母易于變形，前幾個螺紋牙承載分布集中程度降低，可將更多負(fù)載傳遞到后面各螺紋牙.但是，根據(jù)PRSM結(jié)構(gòu)特點和傳動原理可知，若滾柱和螺母嚙合時產(chǎn)生的彈性變形量過大，會導(dǎo)致滾柱相對于螺母發(fā)生軸向位移［15］，并產(chǎn)生較大滑動摩擦，最終降低傳動效率和位置精度.所以，為了達(dá)到改善滾柱螺紋牙承載分布的目的，通常僅在絲杠側(cè)保證Es/Er＜1即可.

3 結(jié)論

1)建立了考慮誤差影響的PRSM滾柱螺紋牙承載分布計算模型，系統(tǒng)分析了不同負(fù)載F、接觸角β、螺旋升角λ、滾柱螺紋牙數(shù)N和材料彈性模量比Es/Er對滾柱螺紋牙承載分布的影響.

2)在相同誤差分布下，負(fù)載越小，滾柱螺紋牙承載分布波動越大，而且前3個螺紋牙承載比例相差較大.隨著負(fù)載增大，各個螺紋牙的承載比例變化減小.

3)接觸角和螺旋升角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規(guī)律相同，隨著二者的增大，對前3個滾柱螺紋牙承載分布影響越大.在相同誤差分布和負(fù)載條件下，接觸角和螺旋升角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對更加均勻.

4)隨著螺紋牙數(shù)的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個螺紋牙上，且滾柱第1個螺紋牙承載比例最大.

5)降低絲杠彈性模量，特別是保證Es/Er＜1可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.該分析方法可擴(kuò)展至考慮絲杠、滾柱和螺母材料均不相同的情況.

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