劉鳳輝

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）08-0155-01

教育，作為與人類社會(huì)歷史共始終的現(xiàn)象活動(dòng)，對(duì)于任何一個(gè)具有社會(huì)學(xué)意義的人都有著深遠(yuǎn)的影響。教育已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)成員生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ)和條件。那么作為一名人民教師我們有責(zé)任更有義務(wù)為社會(huì)傳播良好的教育。所謂科學(xué)的對(duì)象就是對(duì)事物特殊的矛盾性的研究，任何一門學(xué)科都有自己的研究對(duì)象，這是一門學(xué)科是否獨(dú)立的標(biāo)志，作為一名初中的數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該承擔(dān)起這樣的責(zé)任，繼續(xù)前人的研究，探索數(shù)學(xué)的奧妙。

如果我們要找這樣的一個(gè)定理對(duì)它進(jìn)行深刻的研究和探索，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理稱得上為最佳的選擇。勾股定理又叫商高定理、畢氏定理，或稱畢哥拉斯定理：英文翻譯 Pythagoras Theorem在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，就有這條定理的相關(guān)內(nèi)容：從這段話中我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了并且應(yīng)用勾股定理這一重要的數(shù)學(xué)原理了。在西方同樣有文字記載最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。據(jù)說(shuō)當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。實(shí)際上，在更早期的人類活動(dòng)中，人們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到這一定理的某些特例。這說(shuō)明，勾股定理實(shí)際上早已進(jìn)入了人類知識(shí)的寶庫(kù)。

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫(huà)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，才使它成百次反復(fù)被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。

關(guān)于勾股定理的證明幾千年來(lái)也有著數(shù)百種的證明方法，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說(shuō)分別來(lái)源于中國(guó)和希臘。中國(guó)方法：畫(huà)兩個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。這就是我們幾何教科書(shū)中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到。這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。以上證明方法之所以精彩，是它所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念：⑴全等形的面積相等；⑵一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明。五年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。在對(duì)勾股定理為數(shù)眾多的證明中，人們也會(huì)犯一些錯(cuò)誤。

如下證明勾股定理的方法：設(shè)△ABC中，∠C=90°，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，因?yàn)椤螩=90°，所以cosC=0。所以a2+b2=c2。這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

所謂知識(shí)并不是單的老師教而學(xué)生學(xué)，而是要根據(jù)學(xué)生自身的情況和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的，在數(shù)學(xué)教育中教師的作用更為顯著，不僅是知識(shí)的授予者，更是讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立探索的引導(dǎo)者，數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟博大精深，需要我們更長(zhǎng)久深遠(yuǎn)的去探索和琢磨。在數(shù)學(xué)這片領(lǐng)域中，我們要在前人的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出屬于自己的新天地！