孟聞遠(yuǎn),郭潁奎

(華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院,河南 鄭州 450011)

冰體力學(xué)本構(gòu)模型的構(gòu)建

孟聞遠(yuǎn),郭潁奎

(華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院,河南 鄭州 450011)

為建立不同條件(溫度、加載速率、圍壓)下冰的力學(xué)本構(gòu)模型,采用理論分析和試驗(yàn)研究相結(jié)合的方法,通過(guò)比較冰的單軸壓縮試驗(yàn)和比例加載條件下三軸壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征,確定選用冪強(qiáng)化力學(xué)本構(gòu)模型來(lái)描述冰體受力時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系;根據(jù)三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù),采用最小二乘法曲線擬合,建立了兩種試驗(yàn)條件下冰的力學(xué)本構(gòu)模型;誤差分析結(jié)果表明,所建立的冰體力學(xué)本構(gòu)模型是比較準(zhǔn)確的。

冰;力學(xué)本構(gòu)模型;模型構(gòu)建;三軸壓縮試驗(yàn);最小二乘法;曲線擬合

目前,國(guó)內(nèi)外開(kāi)展的冰體力學(xué)試驗(yàn)研究較少,我國(guó)近幾年一些單位相繼建立了冰力學(xué)試驗(yàn)室,還裝備了大比例模型試驗(yàn)的冰容器和冰池[1-2],但在冰體力學(xué)性能、計(jì)算理論以及防凌減災(zāi)技術(shù)措施等方面仍無(wú)太多成熟的成果。冰體爆破三向受力的狀態(tài)是客觀的,而目前研究仍在單向受力試驗(yàn)的狀態(tài)下進(jìn)行[3-6],不能真實(shí)反映冰體受力狀態(tài)與物理性能,冰的三軸力學(xué)試驗(yàn)國(guó)內(nèi)目前還是空白。隨著全球氣候變化異常和沿河兩岸經(jīng)濟(jì)建設(shè)發(fā)展,黃河、黑龍江等流域受凌汛危害影響越來(lái)越嚴(yán)重[7],為有效解決冰凌災(zāi)害的影響,開(kāi)展有關(guān)冰的三軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)、構(gòu)建冰的力學(xué)本構(gòu)模型尤為重要。本文在冰體單軸壓縮試驗(yàn)和比例加載條件下三軸壓縮試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,建立了圍壓1.5 MPa、加載速率0.1 mm/min,溫度分別為-5℃和-10℃兩種試驗(yàn)條件下冰的力學(xué)本構(gòu)模型,可為冰凌災(zāi)害防治研究提供一定的理論依據(jù)。

1 冰的力學(xué)試驗(yàn)

為建立冰的力學(xué)本構(gòu)模型,本研究前期開(kāi)展了冰的單軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)和三軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)。

1.1 冰的單軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)

參照有關(guān)材料力學(xué)性能試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[8],冰的單軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)采用人工制作的50 mm×100 mm圓柱體試件,所用設(shè)備和工具主要有低溫冰柜、不銹鋼管、塑料桶、切割機(jī)和鋼鋸等,需經(jīng)過(guò)冷凍、取樣、切割和加工等多道程序,試驗(yàn)所用儀器為微機(jī)控制電液伺服萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī),主要測(cè)試抗壓特征,試驗(yàn)得到的典型應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1所示。

1.2 冰的三軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)

冰的三軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)采用50 mm×100 mm圓柱體冰試件,試驗(yàn)儀器為微機(jī)伺服高低溫三軸試驗(yàn)機(jī)。為了獲取三軸加載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,通過(guò)比例加載,得到較為典型的冰的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。

圖1 單軸壓縮試驗(yàn)冰的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖2 比例加載條件下三軸壓縮試驗(yàn)冰的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

通過(guò)三軸壓縮試驗(yàn),得到-5℃和-10℃兩種試驗(yàn)條件下、不同時(shí)刻冰的應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)艛?shù)據(jù),具體可參見(jiàn)表1和表2。

2 冰體力學(xué)本構(gòu)模型的構(gòu)建

2.1 冰體力學(xué)本構(gòu)模型的選擇

對(duì)于不同的材料和不同的應(yīng)用領(lǐng)域,可以采用不同的變形體模型。力學(xué)本構(gòu)模型的選擇必須符合材料的實(shí)際情況,以反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)變狀態(tài)。此外,選擇的力學(xué)本構(gòu)模型數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡(jiǎn)單,以方便具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)求解。常用的簡(jiǎn)化力學(xué)本構(gòu)模型有理想彈塑性力學(xué)模型、線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型、冪強(qiáng)化力學(xué)模型和理想剛塑性力學(xué)模型[9-10]。

圖1和圖2試驗(yàn)結(jié)果表明,冰的單軸壓縮力學(xué)試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(圖1)和比例加載條件下三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線(圖2)均符合冪強(qiáng)化力學(xué)模型特征(圖3),且三軸壓縮試驗(yàn)與單軸壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線有較好的形態(tài)擬合性,這也證實(shí)了“單一曲線假設(shè)”的正確性,由此推定冰材料采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型具有合理性。

圖3 冪強(qiáng)化力學(xué)模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線

由于冰體強(qiáng)度較小,從受力到破壞一直應(yīng)是主動(dòng)加載、主動(dòng)變形的過(guò)程,沒(méi)有卸載的過(guò)程,同時(shí),冰體的脆性、低強(qiáng)度特點(diǎn),決定了整個(gè)破壞過(guò)程也是在小變形范圍,因此冰材料本構(gòu)模型采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型是理想的,可方便計(jì)算。

冪強(qiáng)化力學(xué)模型可以避免解析式在ε=εs(達(dá)到屈服應(yīng)變)處的變化,本文根據(jù)三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合,即取

(1)

其中

式中:s1、s2、s3為應(yīng)力偏量分量;e1、e2、e3為應(yīng)變偏量分量;m為冪強(qiáng)化系數(shù)(見(jiàn)圖3),介于0與1之間,曲線在ε=0處與σ軸相切,且有

(2)

m=1代表理想彈性模型,若將式中的A用彈性模量E代替,則為胡克定律的表達(dá)式;m=0時(shí),若將A用σs代替,則為理想塑性(或稱(chēng)剛塑性)力學(xué)模型。由式(2)可知,這兩條線在ε=1處相交。式(1)中冪強(qiáng)化系數(shù)m可以在較大范圍內(nèi)變化,解析式比較簡(jiǎn)單,所以式(1)常被采用。

2.2 最小二乘法曲線擬合

冰體力學(xué)本構(gòu)模型采用最小二乘法擬合,令擬合直線方程為

Y=a0+a1X

(3)

式中a0、a1是任意實(shí)數(shù)。應(yīng)用最小二乘法原理,將實(shí)測(cè)值Yi與計(jì)算值的離差的平方和最小作為優(yōu)化判據(jù),通過(guò)求導(dǎo),得到的兩個(gè)以a0、a1為未知數(shù)的方程:

(4)

(5)

將式(4)(5)代入式(3), 即得到回歸線性方程[11-12],也就是本文的數(shù)學(xué)模型。

2.3 冰體力學(xué)本構(gòu)模型的建立及誤差分析

2.3.1 力學(xué)本構(gòu)模型的建立

為便于擬合,對(duì)式(1)兩邊取對(duì)數(shù)將該函數(shù)線性化,即

lgσ=lgA+mlgε

(6)

令lgσ=Yi、a0=lgA、a1=m、Xi=lgε,則有

Yi=a0+a1Xi

(7)

對(duì)于a0和a1,采用最小二乘法計(jì)算。

根據(jù)三軸壓縮試驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)(σ和ε),由lgσ=Yi、Xi=lgε,可得到-5℃和-10℃兩種試驗(yàn)條件下的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

表1 -5℃試驗(yàn)條件下三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 -10℃試驗(yàn)條件下三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)表1和表2,由式(4)和式(5)可求出a0和a1,再根據(jù)a0=lgA、a1=m可得到A和m,對(duì)于-5℃試驗(yàn)條件下的三軸壓縮試驗(yàn),可計(jì)算得a0=5.225,a1=0.609,A=185.9,m=0.609;對(duì)于-10℃試驗(yàn)條件下的三軸壓縮試驗(yàn),可計(jì)算得a0=5.262,a1=0.528,A=192.8,m=0.528,即兩種試驗(yàn)條件下冰的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分別為

σ=185.9ε0.609

(8)

σ=192.8ε0.528

(9)

利用MATLAB軟件,可將式(8)(9)擬合成曲線如圖4所示。

圖4 三軸壓縮試驗(yàn)冰的力學(xué)模型曲線

2.3.2 誤差分析

擬合優(yōu)度[12-13]是指回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度,顯然若觀測(cè)點(diǎn)離回歸直線近,則擬合程度好;反之則擬合程度差。度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)(亦稱(chēng)確定系數(shù)R2):

(10)

由式(10)可知,R2的取值范圍是[0,1],R2的值越接近1,說(shuō)明回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度越好;反之,R2的值越接近0,說(shuō)明回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度越差。 由式(10)可計(jì)算得本試驗(yàn)兩種條件下,式(8)和式(9)的擬合優(yōu)度分別為0.900 2和0.955 4, 可見(jiàn)兩種試驗(yàn)條件下冰體力學(xué)本構(gòu)模型擬合都非常理想。

3 結(jié) 論

a. 相對(duì)于單軸壓縮試驗(yàn),本文三軸壓縮試驗(yàn)測(cè)得的冰體力學(xué)參數(shù)更接近實(shí)際,更加準(zhǔn)確。

b. 冰體力學(xué)本構(gòu)模型符合冪強(qiáng)化力學(xué)本構(gòu)模型特征。

c. 擬合曲線(圖4)符合冪強(qiáng)化力學(xué)模型的特點(diǎn),證明了所選力學(xué)本構(gòu)模型的正確性。

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Construction of mechanics constitutive model of ice//

MENG Wenyuan, GUO Yingkui
(SchoolofCivilEngineeringandCommunication,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450011,China)

In order to establish the mechanics constitutive models of ice in different conditions (i.e., temperature, loading rate, and confining pressure), through the theoretical analysis and experimental research, we compared the characteristics of ice stress-strain curve in uniaxial compression test and triaxial compression test under proportional loading condition. Then, we described the relationship between stress and strain of ice by adopting the mechanics constitutive model of power hardening. Moreover, according to the data from the triaxial compression tests, we established the mechanics constitutive models in the two test conditions by using least squares curve fitting. Overall, the error analysis showed that the mechanics constitutive model of ice is comparatively accurate.

ice; mechanics constitutive model; model building; triaxial compression test; least squares; curve fitting

水利部公益性行業(yè)科研專(zhuān)項(xiàng)(201201080)

10.3880/j.issn.1006-7647.2015.04.008

O34

A

1006-7647(2015)04-0032-03

2014-09-15 編輯：熊水斌)

作者介紹:孟聞遠(yuǎn)(1965—),男,河南漯河人,教授,博士,主要從事土木工程、數(shù)值計(jì)算新方法等研究。E-mail:mwy@ncwu.edu.cn