☉江蘇省西亭高級中學 王 進

我們都聽過一句名言：數(shù)學是思維的體操.其實這句名言最早是由十八世紀俄國元帥蘇沃洛夫——一位軍事家說的，后來不斷被前蘇聯(lián)教育家引用至今.我們很納悶：為什么這句話首先是一位軍事家想到的呢？其實，在軍事作戰(zhàn)中不斷需要使用各種思維辨解、判斷，需要極強的邏輯分析能力，可以這么說，軍事家都是不折不扣的數(shù)學大師.無獨有偶，我國古代軍事家孫子所著的《孫子兵法》正是對數(shù)學思維訓練的一種體現(xiàn)！其雖然所講的是對敵作戰(zhàn)的用兵之道，但是也可以將它活用為教師對學生課堂思維訓練培養(yǎng)之術(shù)，從“善戰(zhàn)”與“謀略”巧妙地研究思維規(guī)律，到“知彼知己，百戰(zhàn)不殆”與“待敵者佚”正確形成思維定勢；從“深入則專，主人不克”進一步提高思維品質(zhì)，將會出奇制勝，使學生越學越聰明，何樂而不為呢？

我們設計和組織的教學過程，不應該僅僅是傳授知識、形成技能的教學過程，它應該是在進行“雙基”教學的同時，既是學生學會學習的過程，又是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的過程，也是發(fā)展學生個性品質(zhì)，給以教養(yǎng)的過程.因此，數(shù)學教學是思維活動的教學.那么如何在數(shù)學教學過程中提高思維品質(zhì)、發(fā)展思維能力呢？筆者以孫子兵法之謀略結(jié)合案例給予說明.

一、“善戰(zhàn)”與“謀略”研究思維規(guī)律，提高課堂教學質(zhì)量

孫子曰：“見勝不過眾人之所知，非善之善者也；戰(zhàn)勝而天下曰善，非善之善者也.”孫子認為戰(zhàn)爭是一門復雜的綜合藝術(shù)，它需要指揮員全面掌握戰(zhàn)爭取勝之道.苦戰(zhàn)贏來的勝利，雖值得稱道，但也難得稱之為“善戰(zhàn)”.所以真正“善戰(zhàn)”者，必須是有較強的實力和充分的準備，且在知己知彼的情況下大獲全勝.孫子揭示的這一現(xiàn)象，不僅是揭示戰(zhàn)爭的普遍規(guī)律，也是批判傳統(tǒng)教學，重視了“雙基”，重視了演繹論證能力的訓練，這是必要的.但是現(xiàn)階段數(shù)學教學，筆者也發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：我們一直偏重知識性的訓練、熟練程度的訓練，卻忽視對學生思維方向的訓練，這也是受限于應試的影響.筆者始終認為：對學生思維的培養(yǎng)與應試不存在必然的不可兼得性，因為有了扎實的基本功，所以會追求更深層次的問題，必然加深學生對深層次問題的思考，促進了其思維的發(fā)展；反之，有了深刻思維的發(fā)展，使學生考慮問題的全面性、深刻性、反思性等都有了長足的進步，這也加深了學生對數(shù)學問題解決和應試的促進作用.

因此，“謀略”即要豐富聯(lián)想，加強思維能力培養(yǎng)，為“善戰(zhàn)”做準備.但必須提高認識：現(xiàn)階段數(shù)學教學是一種思維化的教學活動，在這樣的教學活動中要努力提高學生數(shù)學思維的可塑性，加強知識發(fā)生、整合、發(fā)展、聯(lián)系的全過程.那么思維的過程是怎樣進行的呢？筆者以解題為例，做簡單剖析.

案例1：求函數(shù)y=2sin2x+sin2x的值域.

孫子曰：“夫未戰(zhàn)而廟算勝者，得算多也；未戰(zhàn)而廟算不勝者，得算少也.多算勝，少算不勝，而況于無算乎.吾以此觀之，勝負見矣.”孫子主要講的是“謀略”，其強調(diào)的是戰(zhàn)爭前的預測，強調(diào)對敵情的判斷，不對戰(zhàn)情進行預測，不對戰(zhàn)情加以了解，一般不可能取得勝利.由此筆者分析上述解題的思考過程，經(jīng)過審題，我們同時從題給條件和結(jié)論中獲得有關(guān)信息——條件信息和目標信息.在獲得信息的過程中，“聯(lián)想”（即“謀略”）已經(jīng)在起作用：數(shù)學符號和數(shù)學概念的相互轉(zhuǎn)化和翻譯；由條件信息進一步發(fā)散眾多的結(jié)果，這里聯(lián)想又一次起作用：由有關(guān)數(shù)學概念和性質(zhì)，推導、演變出更多的結(jié)果；條件信息和目標信息聯(lián)系起來思考，初步設想解題方向，我們稱之為思維定向（即“吾以此觀之，勝負見矣”），這里更離不開豐富的聯(lián)想（即“謀略”）.可以將從孫子用兵中得到的解決問題的數(shù)學思維活動用框圖表示如下：

可以這么說，在解題過程中思維的定向并不見得一次完成，它往往是由大到小，由粗到細，逐步完成的.從上述思維過程的分析可以看出：聯(lián)想（即“謀略”）在思維活動中占據(jù)著重要的地位.

二、“知彼知己，百戰(zhàn)不殆”與“待敵者佚”形成思維定勢，發(fā)展思維能力

人們的思維活動離不開豐富的聯(lián)想.當一個學生獲得信息之后，能否產(chǎn)生豐富的廣闊的聯(lián)想，一是取決于該學生大腦中儲存的思維定勢的質(zhì)量，二是取決于該學生的思維品質(zhì)，特別是思維的深刻性和靈活性.

孫之曰：“知彼知己，百戰(zhàn)不殆；不知彼而知己，一勝一負；不知彼，不知己，每戰(zhàn)必殆”，即了解敵人，又了解自己，百戰(zhàn)都不會有任何危險.因此，如果在教學中，概念一帶而過，結(jié)論和盤拖出，靠反復練習建立“條件反射”，這種條件反射式形成的思維定勢，就容易起負遷移的作用，即形成不知彼而知己.相反地，在教學中如果注意知識發(fā)生過程的教學，使學生在積極參加思維活動中，盡可能主動地獲得思維的成果——概念、公式、定理等，這樣形成的思維定勢，就能較好地起正遷移作用，即知己知彼，對整個知識體系的形成過程了如指掌，運用自如，百戰(zhàn)而不殆.

這個結(jié)果也很漂亮.只不過書本上并沒有把它作為公式.因此，不要把教學停留在摳題型、對套路，只講小巧、不要大巧的講解解題術(shù)的水平上，企圖通過強化解題模式，形成眾多的定勢來對付考試，會破壞人的靈感，使人呆板.當然，數(shù)學離不開做題.加深概念的理解，領會公式的實質(zhì)，都要通過反復練習來進行.但是思維的問題是一個教師如何教，怎樣講，不能僅限于大量試題的重復訓練.

三、潤物細無聲般滲透思維訓練

上述談到怎么教，怎么講，筆者認為，通過數(shù)學試題去滲透思維訓練需要一種多角度，并且是慢調(diào)細語式的訓練.心理學家德諾普說過：對于思維訓練，從心理認知來看，是一種新、舊知識的碰撞和沖突，當這種沖突漸漸向舊知靠攏時，思維的含量就漸漸被提升起來，但是這種過程必須是依賴受教者自身不斷的認知基礎，外界強加的力量并不能使其真正領悟.因此，筆者認為潤物細無聲般的滲透是對思維訓練比較好的方式，這需要教師提供足夠的思考空間和時間.

案例3：高一學生解一元二次方程時，教師會涉及換元法.精選出一組例題，解下列方程：

一種教法是一道道地講授如何通過換元把它們轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，然后總結(jié)：“凡是遇到無理方程、倒數(shù)方程，可以考慮用換元法.”但筆者認為，要培訓思維，可以采用另一種教法即“奇道”.

師：同學們看看方程（1），這是個什么方程？

生1：一元四次方程.

師：我們學過這樣的方程的解法嗎？我們會解哪些方程？

生2：我們學過一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程組的解法.

師：那么怎么解這個四次方程？

生3：想辦法變成我們會解的方程就好了.

師：同學們看看方程（1），在構(gòu)造上有什么特點（將方程（1）寫成：（x2）2-2（x2）-8=0）.

生4：可以把x2看成一個未知量y，即令y=x2，方程可以變成一元二次方程y2-2y-8=0.

師：四次方程雖然沒有學，我們注意到它構(gòu)造的特殊性——雙二次結(jié)構(gòu)，于是可采用變量替換的辦法，即用換元法將它化成我們熟悉的一元二次方程來解決.利用類似的思想和方法，大家能不能解方程（2）、（3）、（4）呢？（此處不贅述）

師：這些方程的解決都是借助換元法.同學們想一想：為什么要換元？換元有什么好處？

生5：通過換元，把生疏的方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次方程，從而能夠解出這些方程.

師：換元法即通過變量替換，達到化繁為簡、化“生”為“熟”的目的.這種轉(zhuǎn)化問題的思想、化歸的意識是我們處理問題的常用數(shù)學思維.

對于思維訓練，正如后一種教師的教法，使學生體會到為什么要用換元法，使用換元法的好處是什么.其思維最大訓練正是體現(xiàn)了數(shù)學中最重要的思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想.

總之，本文用于無聲處聽驚雷的方式闡述了思維訓練的幾個方式.既講了問題解決的方向性策略，又引導了思維訓練中定勢思維在解決一般性問題中的用處，結(jié)合案例做了一些淺顯的分析，不足之處請讀者海涵.

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學出版社，2005.

2.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學數(shù)學，2013（7-8）.

3.朱永祥.再談數(shù)學思想方法的挖掘和應用［J］.中學數(shù)學（上），2008（2）.