趙 迪， 常曉恒

（1. 渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121003； 2. 渤海大學(xué) 工學(xué)院， 遼寧 錦州 121003）

自1985 年Takagi 和Sugeno[1]提出了著名的T-S 模糊系統(tǒng)模型來描述復(fù)雜的非線性系統(tǒng)以來，T-S 模糊模型作為處理非線性系統(tǒng)的有效手段吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-4]。 針對T-S 模糊系統(tǒng)的研究主要從T-S 模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器、濾波器的設(shè)計(jì)兩方面展開。 而狀態(tài)估計(jì)作為控制領(lǐng)域的一個基本問題，模糊系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)也得到了廣泛的研究，尤其是基于H∞濾波理論的T-S 模糊系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)[2-4]。另一方面，伴隨著數(shù)控時代的到來和網(wǎng)絡(luò)化控制的興起，反饋控制系統(tǒng)中存在的量化現(xiàn)象作為一個不可回避的問題也受到了廣泛的關(guān)注[8-10]。 這是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)的控制器、濾波器的沒有考慮量化的影響，而量化現(xiàn)象又是普遍存在的，這就導(dǎo)致了當(dāng)系統(tǒng)量化發(fā)生時，系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定。 其實(shí)有關(guān)于量化問題的研究最早可以追溯的1956 年，卡爾曼[8]指出了一個可穩(wěn)定的量化控制器可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)和混沌現(xiàn)象。 基于此，許多學(xué)者展開了對量化問題的研究從最早的理解和克服量化的影響到現(xiàn)在把量化器看作是信息編碼器，提出了許多重要的成果[9-10]。

本文考慮了存在量化現(xiàn)象的離散T-S 模糊系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題， 主要是基于H∞濾波理論給出一套比現(xiàn)有方法保守性更低可行的濾波器設(shè)計(jì)算法使得T-S 模糊系統(tǒng)存在量化時達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定并滿足給定的H∞性能指標(biāo)。

1 問題描述

考慮以下離散T-S 模糊模型，其第i 條模糊規(guī)則為

其中x（k）∈Rn為狀態(tài)變量；y（k）∈Rf為測量輸出信號；z（k）∈Rq為被估計(jì)信號；w（k）∈Rv為噪聲信號且能量有界即w（k）∈l2（0，∞），ξ1（k），ξ2（k），…ξp（k）為可測量的前提變量，Mdi，d=1，2，…p，i=1，2，…r 是模糊集，r 為模糊規(guī)則數(shù)目，Ai，Bi，Ci，Di，Li為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。是前提變量ξd（k）相對于模糊集合Mdi的隸屬度且滿足

T-S 模糊模型（1）可寫為如下形式：

其中Λ（h）=hi（ξ（k））Λi，Λ=A，B，C，D，L。

考慮如下形式的全階模糊濾波器：

其中xF（k）∈Rn，yq（k）∈Rf，zF（k）∈Rq分別是濾波器的狀態(tài)、輸入和輸出，AFj，BFj，CFj，DFj，j=1，2，…r 為需要設(shè)計(jì)的適當(dāng)維數(shù)的矩陣。其中函數(shù)Q（·）表示對數(shù)量化器。本文考慮采用靜態(tài)時不變對數(shù)量化器。 即Q（·）=[Q1（·），Q2（·）…Qf（·）]T并且滿足Q（－V）=-Q（V）。根據(jù)Fu 等人定義[13]，對于（3），可以得到對于任意y（k）∈Rf有|Q（y（k））－y（k）|≤δy（k），δ=diag（δ1，δ2，…，δf）。 因此，yq（k）=Q（y（k））=（I+Δ（k））y（k），|Δ（k）|=diag（Δ1（k），Δ2（k），…，Δf（k））。 量化現(xiàn)象時，對于系統(tǒng)（2），其輸出信號y（k）傳送到濾波器時應(yīng)變?yōu)镼（y（k））。

至此我們的目的可以闡述為針對上述存在輸出量化現(xiàn)象T－S 模糊系統(tǒng)，設(shè)計(jì)濾波器（3）使系統(tǒng)在消除量化誤差的影響同時，滿足R1）和R2）。

R1）當(dāng)w（k）=0 時，濾波誤差系統(tǒng)（4）穩(wěn)定。

R2）在零初始條件下即x~（k）=0，對于任意w（k）∈l2（0，∞），濾波誤差系統(tǒng)（4）都能夠滿足給定的H∞噪聲裕度γ，即‖e（k）‖2＜γ‖w（k）‖2。

下面的引理在后續(xù)研究中起關(guān)鍵作用。

引理1[6].給定矩陣Θ=ΘT∈Rn×n，和N∈Rn×n，不等式vTΘv＜0，?v∈Rn，Nv=0，v≠0 成立，如果存在矩陣L∈Rn×n，滿足Θ+LN+NTLT＜0。

引理2[5].給定矩陣Γ，Λ，和對稱矩陣Ω，對于FTF≤I，不等式Ω+εΓFΛ+ΛTFTΓ＜0 成立， 只要存在一個恒定的標(biāo)量ε＞0，滿足Ω+ε－1ΓΓT+εΛTΛ＜0。

2 系統(tǒng)H∞性能分析

定理1:濾波誤差系統(tǒng)（4）在滿足給定的H∞指標(biāo)γ 的前提下穩(wěn)定，如果存在矩陣P+（h）＞0，P（h）＞0，N（h），M（h），X1（h），X2（h），X3（h），E，F(xiàn)，G 滿足下面的矩陣不等式：

其中，

證明：構(gòu)造如下模糊Lyapunov 函數(shù)：

其差分為

進(jìn)而可得

注1：我們推廣Chang[4]中的方法來處理T－S 模糊系統(tǒng)H∞量化濾波問題，注意到當(dāng)定理1 中E（h）=F（h）=G（h）=0 時，定理1 的結(jié)論降級為推廣Chang[4]中所得的結(jié)果，由此可得對于T－S 模糊系統(tǒng)量化H∞濾波問題定理1 的設(shè)計(jì)條件比Chang[4]中的方法理論上保守性更低。 定理1 沒有考慮量化誤差的影響。 接下來，我們將給出充分條件來消除量化誤差的影響。

定理2：假設(shè)系統(tǒng)和濾波器已給出，則濾波誤差系統(tǒng)（3）在滿足H∞范數(shù)指標(biāo)γ 的情況下達(dá)到一致穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)存在P+（h）＞0，P（h）＞0，N（h），M（h），X1（h），X2（h），X3（h），E，F(xiàn)，G 以及標(biāo)量ε＞0 滿足下面的矩陣不等式：

并且Φij為（4）中的∏ij用代替（4）中的所得。

證明：假設(shè)定理1 中的條件是滿足的。 我們把（3）中的定義帶入定理1 的結(jié)論，則（4）可寫為如下形式：

其中，MB=[0，MD=－DF（h），[C（h），0]，ND=－D（h）則對（10）應(yīng)用引理2 可得（10）成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個標(biāo)量ε＞0，滿足：

對（11）應(yīng) 用Schur 補(bǔ)，最 后 再 調(diào) 用diag（I，I，I，I，I，I，εI，εI）執(zhí)行同余變化，則可得定理2 的結(jié)論。

基于定理2，我們將給出線性化過程來設(shè)計(jì)H∞濾波器。

3 H∞濾波器設(shè)計(jì)

定理3:給定量化密度ρ＞0，對于離散T－S 模糊系統(tǒng)，存在濾波器能夠消除量化誤差并且能夠保證濾波誤差系統(tǒng)在滿足給定H∞裕度γ 的前提下漸進(jìn)穩(wěn)定的條件是，存在矩陣P1i，P2i，P3i，P1l，P2l，P3l，N1j，N2j，M1j，M2j，X1j，X2j，i，j，l=1，2，…，r，G，E，F(xiàn) 和非奇異矩陣N3，X 以及標(biāo)量λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，ε＞0 滿足下面的線性矩陣不等式：

對于i，j，l∈（1，r），其中

由此， 可以得到一個滿足給定H∞性能指標(biāo)γ＞0 的合適濾波器：

證明：如果定理2 中不等式成立，我們便可以設(shè)計(jì)濾波器，這里假設(shè)在（9）中涉及到的矩陣變量具有如下的形式并且定義：，

注2： 通過對定理2 上面的相關(guān)矩陣做上述結(jié)構(gòu)上的定義， 可以使得原先在定理2 的不等式中出現(xiàn)的那些耦合項(xiàng)很好的分開了。另一方面，為了降低這樣對矩陣變量結(jié)構(gòu)上定義帶來的保守性， 文中引入了幾個補(bǔ)償參變量λl，l=1，2，3，4，4和G1來獲得解空間中額外的自由度。 這些變量可以利用Chang[7]中提到的方法得到。

注3：在實(shí)際的應(yīng)用中，量化誤差的上限δ 可以根據(jù)給定的量化密度ρ 計(jì)算得到。 因此， 定理3 中的不等式組 （12）－（13） 實(shí)際上是嚴(yán)格的線性矩陣不等式 （LMIs）， 故可以通過MATLAB 的控制工具箱來求解從而設(shè)計(jì)濾波器。

4 仿真分析

本節(jié)我們將通過實(shí)例驗(yàn)證之前論述的方法的有效性。 考慮隧道二極管電路，其T－S 模糊模型如[5，7]所描述其中，

我們給定（13）中的優(yōu)化參數(shù)如下λl=-0.15，l=1，2，3，λl=我們用定理3 中的方法來處理T-S 模糊系統(tǒng)H∞量化濾波問題，得到相應(yīng)的γmin為1.3408。 對應(yīng)定理3求得的濾波器參數(shù)矩陣如下：

5 結(jié) 論

文中解決了離散T-S 模糊系統(tǒng)的量化濾波問題， 采用模糊Lyapunov 函數(shù)方法和松弛變量的引進(jìn)，給出了基于LMI 技術(shù)一種量化H∞濾波器設(shè)計(jì)的充分條件。理論證明顯示了所提方法的優(yōu)越性，最后通過仿真實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性。

[1] Takagi T，Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control [J]. Systems， Man and Cybernetics， IEEE Transactions on，1985（1）:116-132.

[2] Gao H，Zhao Y，Lam J，et al. Fuzzy filtering of nonlinear systems with intermittent measurements[J]. Fuzzy Systems，IEEE Transactions on，2009，17（2）:291-300.

[3] Zhou S，Lam J，Xue A. H∞filtering of discrete-time fuzzy systems via basis-dependent lyapunov function approach[J].Fuzzy Sets and Systems，2007，158（2）:180-193.

[4] Chang X H，Yang G H. Non-fragile H∞filter design for discrete-time fuzzy systems with multiplicative gain variations[J].Information Sciences，2014，266:171-185.

[5] Petersen I R. A stabilization algorithm for a class of uncertain linear system[J]. Systems & Control Letters，1997，8（4）:351-357.

[6] Skelton R E，Iwasaki T，Grigoriadis K. A unified approach to linear control design[M]. CRC Press，1997.

[7] Chang X，Yang G. Robust H-infinity filtering for uncertain discrete-time systems using parameter-de pendent Lyapunov functions [J]. Journal of Control Theory and Applications，2013，11（1）:122-127.

[8] Kalman R E. Nonlinear aspects of sampled-data control systems[C]//Proc. Symp. Nonlinear Circuit Analysis VI. 1956:273-313.

[9] Fu M，Xie L. The sector bound approach to quantized feedback control [J]. Automatic Control， IEEE Transactions on，2005，50（11）:1698-1711.

[10]Gao H，Chen T. A new approach to quantized feedback control systems[J]. Automatica，2008，44（2）:534-542.