陳 迅，秦海亭，劉 利，王黎明

（江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

局部放電是指在電場作用下，絕緣系統(tǒng)中只有部分區(qū)域發(fā)生放電而沒有形成貫穿性放電的一種放電現(xiàn)象[1]，是由于生產(chǎn)過程中造成的缺陷或絕緣系統(tǒng)內(nèi)部老化，在高電場強(qiáng)度作用下發(fā)生重復(fù)擊穿和熄滅的現(xiàn)象。局部放電既是GIS絕緣劣化的征兆和表現(xiàn)形式，又是絕緣進(jìn)一步劣化的原因。

電力設(shè)備局部放電檢測技術(shù)的研究對于設(shè)備的在線監(jiān)測具有重要的實際意義。局部放電會使電力設(shè)備絕緣系統(tǒng)加速老化，引起絕緣故障，縮短使用壽命，為確保變壓器能夠安全運行，需及時發(fā)現(xiàn)電力設(shè)備內(nèi)部潛伏性的絕緣故障[2]。近年來眾多學(xué)者在這方面做了深入的研究。由于局部放電的信號很微弱，而在實際設(shè)備運行的現(xiàn)場卻往往存在大量的噪聲干擾，嚴(yán)重影響了局部放電在線監(jiān)測的靈敏度和精度，為了正確地分析局部放電信號，首先必須解決噪聲干擾抑制的問題[3]。

1 小波閾值去噪

針對局部放電信號中的各種干擾，國內(nèi)外的學(xué)者也提出了相應(yīng)的抗干擾技術(shù)。近年來，隨著對小波去噪算法的深入研究，小波去噪方法也豐富起來。目前比較常用的小波除噪方法有：模極大值去噪算法、相關(guān)性去噪算法和小波閾值去噪算法[4]。

其中，模極大值去噪算法不僅不需要估計噪聲的方差，還能較好的分析信號的奇異性，從而保留信號的重要信息，可以將其應(yīng)用到信號的去噪中[5]。考慮到小波函數(shù)模極大值受白噪聲的影響較大，致使大尺度下的平滑作用使模極大值的定位產(chǎn)生的偏差，導(dǎo)致重構(gòu)信號有一定的誤差；同時，在小的尺度上如何更好的恢復(fù)1、2尺度的小波系數(shù)成為一個重要問題[6]。

而相關(guān)性去噪算法主要是根據(jù)信號和噪聲在經(jīng)小波分解后表現(xiàn)出不同的特性被提出和應(yīng)用的，但在計算相關(guān)系數(shù)時，受到小波系數(shù)在時間軸上的影響各尺度間小波系數(shù)的偏移會降低判斷的準(zhǔn)確率[7]。小波閾值去噪算法實現(xiàn)簡單，計算量小，因而應(yīng)用最為廣泛。常用的小波閾值去噪算法有硬閾值法、軟閾值法以及相關(guān)的改進(jìn)算法。

本文在此基礎(chǔ)上提出了一種基于新的閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法。其中，新閾值函數(shù)與原來的閾值函數(shù)相比，不僅表達(dá)式簡單、易于計算，而且具有無窮階導(dǎo)數(shù)，便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理等諸多優(yōu)良數(shù)學(xué)性能，同時很好地改善了硬、軟閾值方法的去噪效果，發(fā)揮了閾值去噪的優(yōu)越性。

最后用仿真試驗驗證了基于新的閾值函數(shù)的去噪算法在去噪方法中具有良好的效果。

對于任意函數(shù) Ψ∈L2（R），如果滿足“容許性”條件[8]：

則Ψ可以作為一個“基小波”。進(jìn)而，在L2（R）上的積分小波變換定義為：

如果令 ψa，b）為尺度參數(shù)，b為平移參數(shù)，式（2）可寫為：

經(jīng)小波變換后，在每個尺度上得到一組一維的小波系數(shù)。如果Ψ滿足上述容許性條件，則其變換是可逆的，反變換為：

即根據(jù)信號的小波變換系數(shù) 可以精確的恢復(fù)原信號。

而在實際的應(yīng)用中，為了便于計算機(jī)實現(xiàn)，需要將小波變換離散化。仿照傅里葉變換和傅里葉級數(shù)的關(guān)系，希望小波函數(shù)Ψ（x）經(jīng)過伸縮和平移構(gòu)成L2（R）的一組正交基：

這樣以來，任意函數(shù)f∈L2（R）都可以表示為小波級數(shù)的形式：

事實上，只要{Cj，k}滿足 Riesz 條件：

上述小波級數(shù)便成立，其中：

稱為小波系數(shù)。 它實際上是小波變換在離散的點（2－jk，2－j）上的值，也就是離散的二進(jìn)小波變換。如果ψj，k滿足Riesz條件，離散的二進(jìn)小波變換的逆變換是一個小波級數(shù)。

信號經(jīng)過小波變換后，可以認(rèn)為由信號產(chǎn)生的小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)幅值小。通過在不同尺度上選取合適的閾值，并將小于閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于閾值的小波系數(shù)，從而使信號中的噪聲得到有效的抑制，最后進(jìn)行小波逆變換，得到濾波后的重構(gòu)信號。小波閥值去噪的流程如下：

含噪信號→小波變換→硬/軟閾值處理→小波重構(gòu)→去噪后信號

其中硬閥值去噪算法的計算步驟如下：

對待降噪信號3求小波變換，得到一系列小波系數(shù){cj，k}；

除了最粗尺度信號外，將每個尺度j上的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，閾值取為：

其中，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，Nj為該尺度上小波系數(shù)的個數(shù)。當(dāng)某小波系數(shù)大于閾值時，保留原值，否則置零，用公式表示為閾值函數(shù)：

式中，tj為預(yù)置閾值，cj，k為小波分解系數(shù)，為估計的小波系數(shù)。

利用閾值處理后的小波系數(shù){cj，k}做小波逆變換，重構(gòu)信號，便可得到去噪后的信號。

與硬閾值相對，軟閾值算法只是閾值函數(shù)不同，其他步驟均相同。當(dāng)某小波系數(shù)大于閥值時，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個收縮t，否則置零，用公式表示為閾值函數(shù)：

由此可見，小波閾值濾波算法的兩個關(guān)鍵問題是閾值（或噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計）與閾值函數(shù)的選取。

2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

硬、軟閾值算法雖然在實際中得到了廣泛的應(yīng)用，也取得了較好的效果，由小波閾值去噪公式可知，軟閾值是對硬閾值的擴(kuò)展，但這些算法本身還存在一些缺陷，在一般情況下，用硬閾值處理過的信號要比用軟閾值處理后的信號粗糙，這是因為硬閾值法往往使得濾波結(jié)果具有較大的方差 （主要因為濾波后的不連續(xù)性），因此在硬閾值處理過程中，利用cj，k重構(gòu)所得的信號可能會產(chǎn)生一些振蕩。而采用軟閥值處理方法雖然可以獲得比較平滑的去噪信號，且軟閥值方法中估計小波系數(shù)有著良好的連續(xù)性，但由于當(dāng)小波系數(shù)較大時，c^j，k與cj，k之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度，給重構(gòu)信號帶來不可避免的誤差。從而使得軟閾值法濾波結(jié)果具有較大的偏差 （主要因為對所有大于閾值的系數(shù)共同做了收縮）[8]。為了盡可能減少它們之間的偏差，構(gòu)建了如下新的小波閾值函數(shù)：

式（12）中，cj，k為被噪聲污染后的小波分解系，為估計的小波系數(shù)，tj為閾值。

該方法思路簡單、易于實現(xiàn)，且與前兩者相比具有良好的效果。構(gòu)建的新的閥值函數(shù)具有高階導(dǎo)數(shù)，使得其在信號和噪聲之間有著一個平滑的過渡區(qū)間。由于軟閾值算法估計出來的小波系數(shù)c^j，k的絕對值總是比cj，k要小tj，從而影響了重構(gòu)精度，所以需考慮減小此偏差，但這種偏差減小到零也不一定是最好的（硬閾值的情況）。因為多數(shù)情況下cj，k本身就是由uj，k（信號對應(yīng)的小波系數(shù)）和 Vj，k（噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)）組成的，而目的是使‖－uj，k‖最小，因此使的取值介于 cj，k－tj和 cj，k之間可能會使估計出來的小波系數(shù)更加接近于 uj，k，基于這一思想構(gòu)建了該閾值函數(shù)?？疾齑撕瘮?shù)：

可知，當(dāng) λ 取 0 和 1 之間的數(shù)，x→±∞ 時，有 f（x）－x→2λt，即隨著 cj，k的增大，和 cj，k的偏差的絕對值逐漸減小為2λt，所以大大減小了軟閾值方法中產(chǎn)生的恒定偏差，從而提高了重構(gòu)精度，改善了去噪效果。

可見相對于硬、軟閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)更優(yōu)、更靈活，效果。如圖1為硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)以及改進(jìn)閾值函數(shù)的曲線圖。

圖1 3種閾值函數(shù)曲線圖Fig.1 3 kinds of threshold function curves

3 仿真試驗

為了說明新閾值函數(shù)在去噪算法中的有效性和優(yōu)越性，分別采用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)和新閾值函數(shù)進(jìn)行試驗對比。文中應(yīng)用MATLAB仿真軟件對Bumps信號加入白噪聲，然后分別采用硬閾值、軟閾值和本文中提出的閾值去噪算法進(jìn)行去噪，該信號采用了sym8小波對含噪信號進(jìn)行3層小波分解，用最小極大方差法確定閾值。

圖2為Bumps信號及其用硬閾值、軟閾值和新閾值去噪算法進(jìn)行去噪仿真的結(jié)果，從下圖中可以看出，硬閾值和軟閾值去噪均有不同程度的波形失真，而新的閾值去噪方法達(dá)到了較好的去噪效果。

圖2 Bumps信號去噪結(jié)果對比Fig.2 The denoising results compared to Bumps signal

下表列出了此3中方法對含噪的Bumps信號去噪后的信噪比和均方差，從表中可知，改進(jìn)的小波去噪閾值方法信噪比最高，與硬閾值相比提高了23.74%，與軟閾值相比提高了79.98%，而均方差最小，與硬閾值相比降低了60.43%，與軟閾值相比降低了30%，所以去噪效果最好。

表1 Bumps信號的3種去噪結(jié)果比較Tab.1 Comparison of 3 kinds of Bumps signal denoising results

參照文獻(xiàn)[9]提出的用數(shù)學(xué)模型來表示局部放電脈沖信號的方法，采用單指數(shù)衰減震蕩模型來模擬局部放電信號，并對其進(jìn)行仿真試驗。有如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中，A為信號的振幅，τ為信號衰減系數(shù)，t0為放電時刻，fc為放電信號主頻率。 當(dāng)選取 A=5 A，τ=2 μs，t0=10 μs，fc=1 MHz時，信號模擬放電波形如圖3中的參考信號波形：

白噪聲在這里服從均值m=0，方差σ2=1的高斯分布隨機(jī)序列來模擬。本文選用db2小波對局放信號進(jìn)行3層分解，當(dāng)選取λ=0.8時，由仿真結(jié)果圖3可以看出，軟閾值去噪效果失真明顯，改進(jìn)后的閾值去噪效果相對于硬閾值去噪較為理想，而如何保持更高的穩(wěn)定度是以后繼續(xù)研究的一個方向。

圖3 局部放電仿真波形和信號去噪結(jié)果對比Fig.3 The waveform of PD simulation and the denoising results compared to the signal

4 結(jié) 論

文中提出了一種基于新的閾值函數(shù)的去噪算法，與傳統(tǒng)的硬、軟閾值去噪方法相比，去噪效果無論在信號輸出波形上還是在去噪后信號的信噪比和均方誤差意義上都有了明顯改善，而且新閾值方法很靈活，且具有比較好的穩(wěn)定性。去噪仿真的結(jié)果也說明了改進(jìn)后的小波閾值去噪算法能夠較好地完成對波形提取的工作，在GIS局部放電檢測方面具有較好的工程應(yīng)用價值。

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