張佳仁　張婧瑜　王 鵬　張建忠 / 上海市質量監(jiān)督檢驗技術研究院

用模擬退火算法擬合鉑電阻的熱特性曲線

張佳仁張婧瑜王 鵬張建忠 / 上海市質量監(jiān)督檢驗技術研究院

介紹了模擬退火算法的基本原理，闡述了該算法擬合曲線的一般步驟。針對JJG 229-2010 《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》，在最小二乘法的基礎上，利用模擬退火算法擬合鉑電阻的熱特性曲線，分析了這一算法在擬合過程中的穩(wěn)定性。結果表明：模擬退火優(yōu)化算法同樣適用于曲線擬合過程，擬合過程的穩(wěn)定性有待進一步研究。

模擬退火算法；鉑電阻；曲線擬合

0　引言

鉑電阻是工業(yè)過程中普遍使用的溫度傳感器。鉑電阻的熱特性曲線可以被描述為電阻與溫度之間的函數關系，也是反映其非線性特征的重要依據［1］。在工業(yè)鉑、銅熱電阻的計量校準工作中，擬合電阻-溫度關系的回歸方程是一項重要的工作，也是研究的熱點。在以往的研究中，諸多學者都基于不同的進化算法，對鉑電阻的非線性特征進行了回歸化擬合的研究，并取得了令人滿意的結果［2，3］。

擬合回歸方程的傳統(tǒng)方法是最小二乘法。作為最為傳統(tǒng)的數學優(yōu)化技術，最小二乘法通過最小化誤差的平方和獲得目標函數的回歸方程。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使這些數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。不過，該方法作為一種被動性優(yōu)化技術，也有其限制條件：樣本中測量值的個數要多于擬合曲線參數的個數；自由度越小，最小二乘法的擬合可靠度也越低。

近年來，在最小二乘法的基礎上，眾多學者建立了許多啟發(fā)式的優(yōu)化技術，包括：遺傳算法、蟻群算法、退火模擬算法等［4］。本文利用模擬退火算法擬合熱電阻的特性曲線回歸方程。

1　模擬退火算法

模擬退火算法最早由N. Metropolis 等人于1953年提出。1983年，S. Kirkpatrick 等成功地將退火算法引入到組合優(yōu)化領域［5］。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機尋優(yōu)算法，其出發(fā)點是物理中固體物質的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。

模擬退火算法是通過賦予搜索過程一種時變且最終趨于零的概率突跳性，從而可有效避免陷入局部極小并最終趨于全局最優(yōu)的串行結構的優(yōu)化算法。模擬退火算法從某一較高初溫出發(fā)，伴隨溫度參數的不斷下降，結合概率突跳特性在解空間中隨機尋找目標函數的全局最優(yōu)解，即在局部最優(yōu)解能概率性地跳出并最終趨于全局最優(yōu)。求解優(yōu)化問題的模擬退火算法與固體退火過程的模擬比較如表1所示。

表1　模擬退火算法與固體退火過程的模擬比較

模擬退火算法的一般步驟是：

1）產生一個位于解空間的新解。通常選擇由當前新解經過簡單變換即可產生新解的方法，如對構成新解的全部或部分元素進行置換、互換等。

2）計算與新解所對應的目標函數差。因為目標函數差僅由變換部分產生，所以目標函數差的計算最好按增量計算。對大多數應用而言，這是計算目標函數差的最快方法。

3）判斷新解是否被接受。判斷的依據是一個接受準則，最常用的接受準則是Metropolis準則。

4）當新解被確定接受時，用新解代替當前解，這只需將當前解中對應于產生新解時的變換部分予以實現(xiàn)，同時修正目標函數值即可。此時，當前解實現(xiàn)了一次迭代，可在此基礎上開始下一輪試驗。而當新解被判定為舍棄時，則在原當前解的基礎上繼續(xù)下一輪試驗。

模擬退火算法與初始值無關，算法求得的解與初始解狀態(tài)無關，具有漸近收斂性。該算法已在理論上被證明是一種收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法，具有并行性［6］。

2　最優(yōu)步長的計算

在選擇模擬退火算法作為優(yōu)化策略的前提下，最優(yōu)步長的選取是決定優(yōu)化過程有效與否、收斂速度快慢的關鍵。本文利用牛頓法作為最優(yōu)步長的計算方法。

牛頓法是一種函數逼近法，其基本思想是：在極小點附近用二階泰勒多項式近似代替目標函數，從而求出函數極小點的估計值，公式證明：

又記：

記：

將式（3）代入式（2）有：

對式（4）求導，得：

將式（3）代入式（6）有：由式（7）可知：牛頓法的最優(yōu)步長為矩陣，搜索方向為矩陣 。

3　鉑電阻熱特性曲線的擬合

根據JJG 229-2010 《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》，鉑電阻的電阻-溫度關系可以表示為

本文結合最小二乘法，利用退火模擬算法擬合鉑電阻熱特性曲線，即電阻-溫度的函數關系。作為啟發(fā)式的優(yōu)化技術，退火模擬算法主動搜索優(yōu)化方向，使目標函數的值無限小，迫使誤差不斷趨近于零，非線性特征不斷逼近測量數據。

3.1建立曲線擬合優(yōu)化過程的目標函數

目標函數即為各溫度點上鉑電阻阻值的實測值與擬合值的差：

式中：X — 各待定常數的矩陣表達式

3.2優(yōu)化策略

優(yōu)化策略的核心：1）給定優(yōu)化變量的初始解；2）沿著合適優(yōu)化路徑不斷迭代優(yōu)化變量，迫使目標函數沿著最優(yōu)的方向行走；3）當目標函數無限趨近于零時，設置優(yōu)化終止條件，得到最優(yōu)解。具體步驟如下：

（4）如果迭代終止條件滿足，則算法結束，當前解為最終解，否則重新進入（3）步驟。

4　擬合示例

以pt100型鉑熱電阻分度表為例，在0 ～ 200 ℃范圍內，均勻取20個數據作為擬合曲線的采樣數據，利用退火模擬算法對采樣數據進行曲線擬合，對比擬合曲線與實際數據的偏差。

在0 ～ 200 ℃溫度范圍內，鉑熱電阻的阻值-溫度關系可以描述為為鉑電阻在溫度t時刻的阻值，（a，b，c）為待定常數，即優(yōu)化變量。初始解設定（1，1，100），收斂條件設定為

最終的擬合公式為

圖1　標準電阻值與擬合結果的偏差圖

從圖中可以看出：全溫度范圍內的擬合結果是比較理想的。但是，標準值與擬合值的差值在整個范圍內不斷地正波動，波動的范圍隨溫度的上升而擴大，在180 ℃領域內出現(xiàn)了較大的波峰。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因：模擬退火算法是一種啟發(fā)式隨機性算法，計算機生成的隨機數也是均勻分布的，這就導致優(yōu)化方向和路徑在某概率區(qū)間內隨機分布，也隨之不斷波動。此外，優(yōu)化過程僅對目標函數的整體誤差建立了收斂條件，并未單獨處理各溫度點上的收斂性，這也導致波動范圍的不可控。

5　結語

作為一種嘗試，本文在擬合鉑電阻熱特性曲線中引入了模擬退火算法，得到了比較理想的結果。同時，該結果也揭示了優(yōu)化過程中的一些問題：標準值與擬合值在整個范圍內不斷波動；波動的范圍隨溫度的上升而擴大，波動范圍不可控。這些問題有待進一步研究。

［1］ 姚麗芳， 陳宇， 鄭偉， 等.精密鉑電阻溫度計的校準方法［J］.上海計量測試， 2014，04:21-25.

［2］ 劉天鍵， 王劭伯， 朱善安.基于神經網絡的鉑電阻溫度傳感器非線性校正方法［J］.儀器儀表學報，2002， 05:518-521.

［3］ 李儉川， 張文娜， 果明明.基于神經網絡的熱電偶特性數學模型［J］.傳感器技術，2000，01:18-20.

［4］ 梁旭，黃明. 現(xiàn)代智能優(yōu)化混合算法及其應用［M］. 北京：電子工業(yè)出版社，2011.

［5］ Diego Lanzi. Frames as choice superstructures［J］.The Journal of Socio-Economics， 2011， 40:115-123.

［6］ Xinpeng Du， Lizhi Cheng， Daiqiang Chen. A simulated annealing algorithm for sparse recovery by minimization［J］.Neurocomputing，2014， 131:98-104.

The explore to fit RTD characteristic curve by Simulated annealing algorithm

Zhang jiaren， Zhang jinyu， Wang pen，Zhang jianzhong
（Shanghai Institute of Quality Inspection and Technical Research）

The basic principle of the simulated annealing algorithm，described the general steps of the algorithm curve fitting. On the basis of JJG 229-2010“Verification Regulation of Industry Platinum Copper Resistance Thermometers” and the least squares method， using simulated annealing algorithm to fit platinum resistance characteristic curve analysis of the stability of this algorithm in the fitting process. The results showed that: simulated annealing optimization algorithm is equally applicable to the curve fitting process， the stability of the fitting process for further study.

simulated annealing algorithm； RTD； curve fitting