張學茂，劉來山，陳 玲，梁 妮，劉 晶，徐 芳

（泰州學院 數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300）

用柯西收斂原理證明實數(shù)完備性的其它定理*

張學茂，劉來山，陳 玲，梁 妮，劉 晶，徐 芳

（泰州學院 數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300）

遵循學生學習數(shù)學分析的知識順序，從證明柯西收斂原理出發(fā)，對實數(shù)完備性其它定理進行一一證明，驗證與推廣了有關(guān)學者的論證。

完備性；收斂；極限；確界

引言

實數(shù)完備性基本定理是實數(shù)理論中的重要內(nèi)容之一。實數(shù)完備性的基本定理有：數(shù)列的柯西收斂原理、實數(shù)集的確界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、數(shù)列的單調(diào)有界定理、聚點定理、致密性。這七個定理是彼此等價的，它們以不同的方式刻畫了實數(shù)集R的一種特征—完備性。大多數(shù)教材[1，2]都是把確界定理作為公理，但確界定理的證明冗長，不易被學生所理解和接受。諸多學者以某一定理當為公理，對實數(shù)完備性的幾大定理進行循環(huán)論證[3-6]，也有學者利用戴得金提出的完全覆蓋法對實數(shù)完備性基本定理進行了統(tǒng)一處理[7]。這些論述堪稱為經(jīng)典之作。本課題組研究發(fā)現(xiàn)，用實數(shù)完備性彼此等價的七個定理中的一個定理去證明其它定理，在諸多文獻資料中鮮有發(fā)現(xiàn)。而柯西收斂原理是數(shù)學分析中的重要定理之一，它為研究數(shù)列和函數(shù)極限提供了有效的思路與方法，并在判別廣義積分、級數(shù)是否收斂、函數(shù)的一致連續(xù)等方面都有較廣泛的應用。本文試遵循學生學習數(shù)學分析的知識順序，從證明柯西收斂原理出發(fā)，去一一證明實數(shù)完備性的其它定理。

1 預備知識

定義4[2]設(shè)S為數(shù)軸上的點集，。若S中任何一點都含在H中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱H為S的一個開覆蓋，或稱H覆蓋S。若H中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的，則稱H為S的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）。

2 主要結(jié)論

2.1 利用柯西收斂原理證明確界定理

確界定理[2]設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

同理可證數(shù)集S有上界必有上確界。

2.2 利用柯西收斂原理證明閉區(qū)間套定理

2.3 利用柯西收斂原理證明有限覆蓋定理

有限覆蓋定理[2]設(shè)H為閉區(qū)間的一個（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋。

2.4 利用柯西收斂原理證明單調(diào)有界定理

單調(diào)有界定理[2]在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。

2.5 利用柯西收斂原理證明聚點定理

聚點定理[2]實數(shù)軸上的任意有界無限點集必有聚點。

證明：假設(shè)有界無限點集E中沒有聚點。不妨令m,M分別是E的下界和上界，則在[m,M]中每一點都不是E的聚點。取[m,M]的中點x1，在[m，x1][x1,M]中至少有一個區(qū)間有無窮多個點。不妨令[m，x1]中有無窮多個點，再取[m，x1]的中點x2，同樣[m，x2][x1，x2]中至少有一個區(qū)間有無窮多個點。以此方法一直取下去，到[xn，xn+1]時，[xn，xn+1]中仍有無窮多個點。任取其中屬于E中的兩點則。由柯西收斂原理可知數(shù)列收斂。由定義1″知無限有界點集中至少有一個聚點。

2.6 利用柯西收斂原理證明致密性

致密性定理[2]有界數(shù)列必有收斂子列。

實數(shù)的基本完備性定理中，柯西收斂原理、聚點定理、確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理都是刻畫實數(shù)系統(tǒng)的局部性質(zhì)；致密性定理、有限覆蓋定理是刻畫實數(shù)系的整體性質(zhì)。這些定理通過整體性質(zhì)歸結(jié)到某點鄰域的“局部性質(zhì)”，或由某局部性質(zhì)推廣到整體性質(zhì)，形成了對實數(shù)系的全方位刻畫。柯西收斂原理尤其重要，它既可證明極限點的存在性，又可找到相應的點。只有理清了這些定理的內(nèi)涵，才能加深學生對定理的理解，拓寬證明思路，提高學生的邏輯思維能力與數(shù)學分析能力。

注釋及參考文獻：

[1]劉玉鏈、傅沛仁等.數(shù)學分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008(1)：89-95.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析第三版[M].北京：高等教育出版社，2013(4)：7-15、161-167.

[3]田菊蓉.實數(shù)系完備性定理的等價性[J].西安聯(lián)合大學學報，1999(4)：49-53.

[4]莊陵等.實數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明[J].重慶工商大學學報（自科版），2006(6)：219-223.

[5]李湘云.有關(guān)實數(shù)完備性基本定理的循環(huán)證明[J].湖北財經(jīng)高等?？茖W校學報，2002(8)：57-60.

[6]徐新榮.利用實數(shù)空間基本定理證明問題的幾點注釋[J].西昌學院學報（自科版），2012(3)：60-62.

[7]蓋盈.關(guān)于實數(shù)完備性基本定理的統(tǒng)一處理方法[J].天津師范大學學報（自科版），1999(12)：23-28.

Prove Other Real Number Completeness Theorem UseCauchy Convergence Principle

ZHANG Xue-mao，LIU Lai-Shan，CHEN Ling，LIANG Ni，LIU Jing，XU Fang
(Institute of Mathematics，Taizhou University，Taizhou,Jiangsu 225300)

According to the knowledgeorder of mathematical analysis learning and starting from the proof of the Cauchy Convergence Principle,we prove the other theorems on completeness of the set of real numbers,which generalizes some related results given by some other scholars.

completeness；convergence；limit；world indeed

O171

A

1673-1891（2015）02-0023-03

2015-03-15

江蘇省大學生實踐創(chuàng)新訓練項目研究成果之一（項目編號：201412917003Y）。

張學茂（1970-），男，江蘇姜堰人，副教授，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學。