丁強(qiáng)，邢長新，江愛朋，程文，周大寒

(杭州電子科技大學(xué)能量利用系統(tǒng)與控制研究所，浙江 杭州 310018)

引 言

隨著人們生活水平的提高，建筑供暖的需求越來越大，對于以空氣源熱泵產(chǎn)生熱量驅(qū)動的供暖系統(tǒng)而言，在保持一定的舒適性前提下進(jìn)一步降低系統(tǒng)能耗費用具有重要意義。為了實現(xiàn)熱泵系統(tǒng)的節(jié)能和優(yōu)化運行，研究者分別從多個方面對熱泵系統(tǒng)進(jìn)行分析和改進(jìn)。林瀾等[1]利用熱經(jīng)濟(jì)學(xué)優(yōu)化方法對熱泵供暖系統(tǒng)進(jìn)行了較全面的熱經(jīng)濟(jì)學(xué)分析；清華大學(xué)江億院士[2]對建筑能耗系統(tǒng)進(jìn)行了綜合分析，提出了節(jié)能策略。早在20世紀(jì)70年代，Stoecker[3]就開發(fā)熱泵機(jī)組的穩(wěn)態(tài)仿真通用程序，建模時在符合穩(wěn)態(tài)仿真規(guī)范的前提下對各部件的工作過程作了高度簡化，該模型可以完成系統(tǒng)性能的預(yù)測。Hiller[4]建立了可變?nèi)萘靠諝庠礋岜孟到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型,用以計算不同穩(wěn)態(tài)運行工況下的系統(tǒng)性能。美國能源部橡樹嶺國家實驗室(ORNL/IxE)對熱泵和制冷系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究，特別是建立了一套從MARKI 到MARKV 系列的空氣源熱泵的穩(wěn)態(tài)模型以及完整的系統(tǒng)數(shù)值仿真系統(tǒng)，并在工程中廣泛應(yīng)用[5]?；谀茉磩恿Φ目紤]，部分研究者采用太陽能、廢熱等作為熱泵的驅(qū)動動力，以此節(jié)省電力消耗。張穎等[6]對基于太陽能驅(qū)動的熱泵供暖系統(tǒng)進(jìn)行了綜合分析，給出了直膨式和非直膨式兩種太陽能熱泵供暖系統(tǒng)的流程，并分析了參數(shù)變化對其的影響。清華大學(xué)史琳等[7]近年來對熱泵空調(diào)系統(tǒng)仿真和控制方面的研究狀況做了全面分析，指出了存在的研究難點和今后的研究方向。除了對熱泵系統(tǒng)性能改進(jìn)提高其性能系數(shù)等方面研究外[8-9]，采用系統(tǒng)工程技術(shù)對系統(tǒng)的優(yōu)化操作和控制來提高熱泵系統(tǒng)的性能是目前研究的一個重要著力點，該方法早已被證明是行之有效的提高生產(chǎn)效益和質(zhì)量的方法，已應(yīng)用于多種工業(yè)生產(chǎn)流程[10-12]。對于其中涉及的優(yōu)化求解方法，也隨著計算機(jī)技術(shù)和數(shù)值優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)步而逐步完善[13-15]。

對于熱泵供暖或者與建筑結(jié)合的人工環(huán)境系統(tǒng)，一些研究者根據(jù)系統(tǒng)運行特點進(jìn)行了分析。例如考慮到一天內(nèi)電價和環(huán)境溫度的不同，Rink 等[16]研究了不同時均電價情況下的熱泵系統(tǒng)優(yōu)化控制問題，采用極大值原理方法獲得熱泵系統(tǒng)運行過程的最優(yōu)操作模式。Nassif 等[17]提出了一種簡化的基于模型的優(yōu)化控制方法，通過采集監(jiān)控數(shù)據(jù)和建立的VAV 系統(tǒng)模型可以在線獲得控制器的設(shè)定值，從而實現(xiàn)優(yōu)化控制目標(biāo)。Logist 等[18-19]將熱泵系統(tǒng)性能情況與建筑供暖集成起來考慮，根據(jù)集成系統(tǒng)的動態(tài)模型對其多目標(biāo)優(yōu)化控制進(jìn)行研究，獲得不同目標(biāo)要求下的Parato 解。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，考慮環(huán)境溫度變化和電價變化情況，采用聯(lián)立求解的方法將動態(tài)優(yōu)化命題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解，并根據(jù)優(yōu)化仿真結(jié)果給出滿足一定舒適度下的最低能耗優(yōu)化方法，以期進(jìn)一步降低系統(tǒng)能耗費用。

1 系統(tǒng)模型

空氣源熱泵供暖的基本原理如圖1所示。熱泵系統(tǒng)通過壓縮做工的方式吸收空氣中的能量，從而使得熱泵工質(zhì)的溫度升高，熱泵工質(zhì)通過傳熱將熱量傳遞給熱泵中的進(jìn)水，使得熱泵中的進(jìn)水溫度由Twr上升到Tws。如不考慮循環(huán)損失，由能量守恒則可以得到熱泵出水溫度變化方程，如式(1)所示[18]。

圖1 熱泵供暖示意圖Fig.1 Schematic diagram of heat pump heating system

式中，表示熱泵的輸出功率。加熱后的熱泵出水被輸送到建筑中用于供暖，在此過程中循環(huán)水回水溫度降低到Twr,，這部分熱量通過熱傳導(dǎo)加熱室內(nèi)溫度，使得室內(nèi)地板表面溫度Tf升高?；厮疁囟鹊淖兓闆r可近似為式(2)所示。

而地板表面溫度的變化則可表示為如下形式

因為供暖系統(tǒng)釋放的熱量并沒有完全用于對地板的加熱，因此地板的吸熱量和供暖系統(tǒng)放熱量不相等。被供暖的建筑內(nèi)室溫Tz變化主要由兩部分決定，一部分是地板表面溫度上升對室溫的加熱作用；一部分是外界環(huán)境變化使得散熱量發(fā)生變化。室溫的動態(tài)變化可表示為以下形式

對于熱泵系統(tǒng)而言，其加熱熱水所輸出的功率與其輸入功率（熱泵壓縮機(jī)功率）和熱泵的性能系數(shù)相關(guān)，可表達(dá)為如下形式

式中，Php表示熱泵壓縮機(jī)功率，COP(t)表示熱泵性能系數(shù)，其值與熱泵的輸出熱水溫度、外界環(huán)境溫度相關(guān)，而環(huán)境溫度隨著時間變化而變化。性能系數(shù)可表示為以下形式

式中，α1、α2、α3、α4、α5均表示與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相關(guān)的系數(shù)，可通過熱泵生產(chǎn)廠家或者實際數(shù)據(jù)擬合得到。熱泵供暖系統(tǒng)通過控制運行頻率來控制熱泵壓縮機(jī)的功率（熱泵輸入功率），進(jìn)而控制熱泵供水溫度Tws。在環(huán)境溫度變化的情況下，由于建筑散熱損失也發(fā)生變化。因此熱泵供暖系統(tǒng)在相對穩(wěn)態(tài)情況下，提供的熱量與散熱損失相當(dāng)。散熱損失Qb,ss可表示為

這里 1β＞表示實際熱損失與向房間散熱的比值。對于熱泵系統(tǒng)，其運行過程熱量釋放量與運行頻率、溫度等關(guān)系通過實驗數(shù)據(jù)擬合可得

2 優(yōu)化問題及求解

基于空氣源熱泵和建筑結(jié)合的供暖系統(tǒng)在功能上主要是實現(xiàn)建筑內(nèi)溫度的舒適性，正常情況下設(shè)計目標(biāo)溫度一般在15～25℃，熱泵系統(tǒng)通過控制熱泵壓縮機(jī)功率來控制進(jìn)入建筑物的熱水的溫度，假設(shè)室內(nèi)目標(biāo)設(shè)定溫度為Tz,ref，而實際室內(nèi)平均溫度為Tz(t)，那么常規(guī)控制的目標(biāo)就是使得室內(nèi)實際溫度盡量跟蹤設(shè)定溫度，使得控制誤差盡可能小，這時控制目標(biāo)可表示為

考慮到系統(tǒng)運行過程中操作費用問題，也希望在滿足一定設(shè)定溫度控制容限下盡可能地降低能耗費用，實現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化節(jié)能控制。系統(tǒng)的操作費用主要體現(xiàn)在空氣源熱泵系統(tǒng)的能耗費用，其值與用電量和不同時刻的用電價格有關(guān)。其能耗費用目標(biāo)表示為

由于熱泵的運行功率、能效比和建筑散熱消耗等都與環(huán)境工況(如環(huán)境溫度)有很大關(guān)聯(lián)，而環(huán)境工況隨著天氣的變化而變化，這就使得系統(tǒng)的運行費用和對設(shè)定溫度跟蹤目標(biāo)隨著環(huán)境工況的變化而動態(tài)變化。在一定的時間區(qū)域[0tend]內(nèi)，既考慮系統(tǒng)能耗又考慮室內(nèi)溫度控制精度的綜合目標(biāo)可表示為

式中，ep(t)表示不同時刻的用電價格，K表示平衡兩個目標(biāo)的權(quán)重情況。在K=1 時，優(yōu)化目標(biāo)表示為單一的溫度控制目標(biāo)；在K=0 時，優(yōu)化目標(biāo)為單純的電費最低為目標(biāo)。為了實現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化控制，可根據(jù)對設(shè)定溫度跟蹤容忍度的要求選擇合適的K值，從而既滿足用戶對溫度舒適度的要求，又使得系統(tǒng)能耗降低。因此系統(tǒng)模型中應(yīng)加入如下 條件

對于熱泵供熱系統(tǒng)，環(huán)境溫度雖然在一天內(nèi)變化較大，但在相鄰的天數(shù)內(nèi)具有一定的準(zhǔn)周期性。為研究方便，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(12)以24 h 作為一個優(yōu)化周期，并使得在優(yōu)化終止?fàn)顟B(tài)和優(yōu)化開始狀態(tài)相同。這里定義其反映了系統(tǒng)供暖的主要溫度變化情況，那么在優(yōu)化開始和終止時刻系統(tǒng)狀態(tài)可表示為

并且滿足如下邊界約束

將以式(12)為目標(biāo)、以式(1)～式(9)和式(13)～式(15)等為約束的優(yōu)化控制命題命名為Opt1。由于該命題模型方程中既含有非線性代數(shù)約束，又含有4 個微分方程，因此該優(yōu)化命題為非凸的非線性動態(tài)優(yōu)化問題，加上系統(tǒng)中含有一定的不等式約束，導(dǎo)致其求解具有一定的難度。傳統(tǒng)的極大值原理和控制變量參數(shù)化方法在求解該問題時無論求解精度還是求解效率上都有較大難度[14]。為求解以上形式的DAOPs 問題，采用聯(lián)立方法將微分方程通過配置等多項式近似，從而將原問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃（NLP）問題，然后采用基于內(nèi)點、稀疏等技術(shù)的優(yōu)化可以快速精確地得到優(yōu)化解，有利于本操作優(yōu)化問題。該方法通過配置在有限元上的一組多項式來近似微分方程中的狀態(tài)變量和控制變量。該多項式一般為拉格朗日插值多項式或者正交多階多項式。這里采用單項式基表示的有限元配置方法，該方法具有龍格-庫塔離散過程的多種優(yōu)勢

式中，1iz-表示在第i個有限元初始處的值，hi是第i個有限元的長度，dz/dti,q表示其在第i個有限元上，配置點q處的一階導(dǎo)數(shù)。?q為滿足以下條件的KK階多項式

微分方程的連續(xù)性方程為

根據(jù)Biegler 團(tuán)隊的一些研究[14-15,20]，Radau 配置點對高階DAE 方程的具有更好的穩(wěn)定性，這里采用了Radau 配置點。對于控制變量和代數(shù)變量采用拉格朗日基形式的插值多項式表示。形式如下

式中，yi,q和ui,q分別表示第i個有限元置點q處的代數(shù)變量和控制變量值，且滿足ti-1≤t≤ti，ψq為KK階拉格朗日多項式。

通過以上離散配置方法，微分代數(shù)方程描述的優(yōu)化命題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。為了保證一定 的精確度，離散化后的問題變量規(guī)模雖然相對較 大，但可采用內(nèi)點和稀疏等技術(shù)對其進(jìn)行快速優(yōu)化求解。

3 實例分析

為分析以上優(yōu)化控制的節(jié)能和溫度控制情況，這里以浙江某地的空氣源熱泵供暖情況進(jìn)行分析。圖2為浙江某地冬季24 h 環(huán)境溫度變化的典型情況，圖3表示空氣源熱泵供暖系統(tǒng)的性能擬合情況。圖4給出了該地一天內(nèi)的用電價格時均變化情況。這里房間設(shè)定溫度為20℃。供暖系統(tǒng)中的相關(guān)參數(shù)值則如表1所示。

采用聯(lián)立優(yōu)化求解技術(shù)對所建立的優(yōu)化命題進(jìn)行求解，首先將0～24 h 劃分為48 個控制單元，使得系統(tǒng)每0.5 h 調(diào)整一次熱泵輸入功率(壓縮機(jī)功率)；在每個控制單元內(nèi)配置10 個有限元，每個有限元內(nèi)選擇3 個配置點。然后在GAMS 平臺下采用 IPOPT 求解器對離散化后的NLP 問題進(jìn)行優(yōu)化求解，從而得到滿足相應(yīng)要求的最優(yōu)操作和系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化情況。

圖2 浙江冬季24 h 溫度典型曲線Fig.2 Typical daily ambient temperature of Zhejiang in winter

圖3 熱泵性能擬合曲線Fig.3 Fitted curves of air source heat pump COP

圖4 一天之內(nèi)的電力價格變化情況（EP-1）Fig.4 Time-of-use(TOU) electricity price（EP-1）

表1 動態(tài)方程中的參數(shù)值Table 1 Parameter values of model

3.1 不同權(quán)重K 下的優(yōu)化結(jié)果

由優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(12)可以看出，本文的優(yōu)化目標(biāo)前一部分反映的是系統(tǒng)的運行能耗成本，后一部分是系統(tǒng)對控制目標(biāo)(舒適性)的考慮。這里將優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中后一項的開方定義為不舒適度。當(dāng)K=1 時，只考慮舒適性，也就是使房間內(nèi)溫度Tz盡可能接近目標(biāo)溫度。因此，選擇不同的權(quán)重值K，就勢必會對運行成本和舒適度產(chǎn)生影響。為了使目標(biāo)函數(shù)中兩個目標(biāo)的值大小均衡，對于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行標(biāo)度化處理，處理后的目標(biāo)函數(shù)如下

對優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)采用不同權(quán)重，同時暫時不規(guī)定實際室溫對設(shè)定溫度的跟蹤誤差容限，在此情況下對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到不同情況下系統(tǒng)運行成本、室內(nèi)不舒適度、室內(nèi)溫度、熱泵輸出功率的情況，如圖5～圖8所示。

圖5 不同權(quán)重值K 下的電力消耗情況Fig.5 Electricity cost with different weights

圖6 不同權(quán)重值K 下的不舒適度情況Fig.6 Profile of thermal discomfort with different weights

圖7 不同權(quán)重值K 下的室內(nèi)溫度情況Fig.7 Profiles of indoor temperature with different weights

圖8 不同權(quán)重值K 下的熱泵輸出功率曲線Fig.8 Optimal thermal power curves with different weights

表2 不同權(quán)重下的最大溫差、電費和節(jié)能情況Table 2 Results of max temperature difference and energy cost

由圖5可以看出，在不同的權(quán)重值K值下，房間供熱一天的用電費用也大幅度改變，在K=0 的 時候，用電費用僅為10 CNY，當(dāng)然這是以舒適度的犧牲為代價的。而當(dāng)K=1 的時候，用電費用需要30 CNY 以上。可以看出，在權(quán)重值由1 變到0的過程中，系統(tǒng)的不舒適度明顯升高。表2給出了系統(tǒng)在不同K值下的房間內(nèi)溫度與目標(biāo)溫度的最大差值、不舒適度、電費和節(jié)能情況。在K=0 的時候房間內(nèi)溫度與目標(biāo)溫度的最大差值達(dá)到11.02℃，不舒適度達(dá)到了1552。這樣的溫差是用戶所不能接受的。當(dāng)K在0.3～1 范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)具有很好的節(jié)能效果，雖然存在一定的不舒適度（圖7）。當(dāng)K=0.7 時，不舒適度僅為7，房間內(nèi)溫度與目標(biāo)溫度的最大溫差僅為0.85℃，而房間每天的用電費用卻由K=1 時的30.34 CNY 降到了25.47 CNY，日用電費用節(jié)省超過16%，如果把K值設(shè)置在0.5，此時最大溫差約為2℃，日用電費用節(jié)省超過23.53%。

圖8表示不同K值下的系統(tǒng)輸出功率情況。在環(huán)境溫度較低時，熱泵的輸出功率較高；隨著環(huán)境溫度的上升，熱泵的輸出功率降低，供水溫度也隨之降低。這是因為在環(huán)境溫度低的時候需要輸出更多的熱量，這時候熱泵耗電功率也較高所致。對比不同權(quán)重值K下的供水回水地板溫度曲線可以發(fā)現(xiàn)，在溫度升高時較大K值的溫度曲線與較小K值的溫度曲線呈相反趨勢，K值越大，熱泵輸出功率隨溫度升高而降低的幅度越大。通過以上問題的優(yōu)化求解，還可以獲得在目標(biāo)值最優(yōu)情況下系統(tǒng)在不同時刻的狀態(tài)變化曲線，圖9則給出了在不同權(quán)重K值下相對應(yīng)的溫度狀態(tài)變化情況。

圖9 不同權(quán)重K 值對應(yīng)的回水溫度情況Fig.9 Supply water temperature curves with different weights

3.2 基于權(quán)重動態(tài)調(diào)整的優(yōu)化分析

由熱泵性能方程可以看出環(huán)境溫度對優(yōu)化目標(biāo)有重要影響，反映到能耗方面就是在環(huán)境溫度高的時候系統(tǒng)能效比高，更有經(jīng)濟(jì)性。而電價在不同的時刻不同，也導(dǎo)致在不同時刻滿足優(yōu)化目標(biāo)的成本不同。為了既能實現(xiàn)房間溫度控制誤差相對較小(在合理的容限內(nèi))，又能使得系統(tǒng)又具有更好的節(jié)能潛力，一種合理的選擇是在電價相對較低、熱泵性能系數(shù)較高的時候更加注重房間溫度的控制精度，即更好地滿足房間溫度舒適性要求，而在相反的情況下更加注重降低系統(tǒng)能耗成本。根據(jù)以上原則，本文對式(22)所描述的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，使得反映能耗成本和舒適性的兩個指標(biāo)的總體權(quán)重動態(tài)的變化，每0.5 h 調(diào)整一次，以期獲得更好的優(yōu)化效果。調(diào)整后的目標(biāo)函數(shù)如下

其中，ep(t)表示不同時刻的電價，COP(t)的加入是為了在目標(biāo)函數(shù)中體現(xiàn)環(huán)境溫度對系統(tǒng)的影響。根據(jù)表2計算的結(jié)果分析，權(quán)重K的0.3～0.7范圍時室內(nèi)溫度跟蹤誤差比較小，且節(jié)能效果也比較好。因此在這里選擇K=0.7，并設(shè)定室內(nèi)溫度與目標(biāo)溫度的最大差值小于2℃，對以式(23)為目標(biāo)的優(yōu)化命題進(jìn)行重新優(yōu)化求解，求解時電價以圖10中的電價分布為基礎(chǔ)，由此得到相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果，并與式(22)為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。計算結(jié)果表明，采用本調(diào)整后的目標(biāo)函數(shù)形式可以進(jìn)一步獲得更好的節(jié)能效果。調(diào)整后的用電費用為34.85 CNY·d-1，不舒適度為5.77，仍然滿足設(shè)定要求；調(diào)整前的用電費用為36.56 CNY，不舒適度為4.262。總的系統(tǒng)能耗又進(jìn)一步節(jié)省了近4.7%，這表明本文對優(yōu)化目標(biāo)策略的調(diào)整還是有明顯效 果的。

圖10 時均電價情況2（EP-2)Fig.10 Profile of TOU electricity price (EP-2)

圖11給出了策略調(diào)整前后的熱泵輸入功率操作變化情況和相關(guān)的狀態(tài)變化情況。其中case A 表示以式(22)為目標(biāo)函數(shù)的求解結(jié)果，case B 表示以動態(tài)調(diào)整權(quán)重的式(23)為目標(biāo)的求解結(jié)果。從圖中看出，優(yōu)化目標(biāo)變換后熱泵輸入功率的操作曲線在第12 h 以后變化相對明顯，而不同策略下的室內(nèi)實際溫度變化曲線則反映了房間舒適度的變化情況，均處于設(shè)定的容差范圍以內(nèi)。

圖11 目標(biāo)函數(shù)調(diào)整前后的優(yōu)化求解結(jié)果Fig.11 Comparison of optimal results before and after adjustment of objective function

4 結(jié) 論

本文在建立根據(jù)熱泵供暖系統(tǒng)基本動態(tài)過程方程和整體優(yōu)化目標(biāo)的基礎(chǔ)上，考慮了室溫跟蹤效果和能耗消耗的平衡，對熱泵供暖系統(tǒng)的動態(tài)優(yōu)化操作進(jìn)行了分析和研究，提出了動態(tài)優(yōu)化調(diào)整策略。結(jié)果表明：（1）在允許室溫跟蹤誤差最大為0.85 的情況下，可以實現(xiàn)16%以上的能耗節(jié)省。在更高的舒適度容忍度內(nèi)節(jié)能效果更大。（2）環(huán)境溫度和電價是影響系統(tǒng)運行能耗的重要因素，根據(jù)這兩個影響因素的變化提出的動態(tài)調(diào)整目標(biāo)函數(shù)權(quán)重策略可以進(jìn)一步降低系統(tǒng)能耗4.7%左右。

本文的研究結(jié)果對優(yōu)化熱泵供暖系統(tǒng)操作、節(jié)約運行成本具有一定的意義。在本文的基礎(chǔ)上，擬開展考慮用戶負(fù)荷和中間蓄熱條件下的熱泵系統(tǒng)優(yōu)化操作和優(yōu)化控制技術(shù)研究。

符 號 說 明

Ab——建筑與外部環(huán)境的換熱面積，m2

Afz——地板與室內(nèi)空氣傳熱面積，m2

Awz——熱水管道和地板傳熱面積，m2

b0,…,b9——結(jié)構(gòu)系數(shù)

Cwr——回水溫度為Twr的回水總熱容，J·℃-1

Cws——Tws時系統(tǒng)總熱容，J·℃-1

cw——水的比熱容，J·kg-1·℃-1

COP(t)——熱泵性能系數(shù)

ep(t)——不同時刻用電價格，CNY·(kW·h)-1

epmin——整個時段的最低電價，CNY·(kW·h)-1

fre——熱泵運行頻率,Hz

K——權(quán)重

——循環(huán)水量，m·s-1

Php——熱泵壓縮功率，kW

Qb,ss——散熱損失，J

——熱泵的輸出功率，kW

Tamb——室外環(huán)境溫度，℃

Tf——地板溫度，℃

Twr——熱泵進(jìn)水溫度，℃

Tws——熱泵出水溫度，℃

——參考供熱溫度，℃

Tz——室內(nèi)溫度，℃

Tz,ref——室內(nèi)設(shè)定溫度，℃

u(t)——控制變量

y(t)——代數(shù)變量

α1,…,α5——結(jié)構(gòu)系數(shù)

β——比值系數(shù)

κb——建筑與外部環(huán)境的傳熱系數(shù)，J·m-2·℃-1

κfz——地板與室內(nèi)空氣傳熱系數(shù)，J·m-2·℃-1

κwf——供暖系統(tǒng)對地板的傳熱系數(shù)，J·m-2·℃-1

ψq——拉格朗日多項式

?q——有限元配置階多項式

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