周剛偉

（張家口市第一中學(xué)）

在高中數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求取值范圍或者求最值（最大值和最小值）的問(wèn)題，對(duì)于這類題目大的方向可以往函數(shù)（構(gòu)造函數(shù)然后利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)或者導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性找范圍）或者不等式（基本不等式最重要的應(yīng)用就是求最值），下面通過(guò)一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)闡述自己的一些想法。

題目：x，y 滿足 x2+2xy+4y2=6，求 z=x+4y2的取值范圍___。

我首先給出幾種該問(wèn)題的解題方法：

方法一：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥2·x·2y，由此可得xy≤1，

∴x2+4y2=6-2xy≥4，所以 x2+4y2∈［4，+∞）。

∴x2+4y2=6-2xy≥4，所以 x2+4y2∈［4，+∞）。

方法三：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥-2·x·2y，由此可得xy≥-3；

∴x2+4y2≤12，所以 x2+4y2∈（0，12］。

方法四：∵x2+2xy+4y2=6，∴x2+4y2=6-2xy≥2·x·2y ，（按照x，y的正負(fù)討論）

若 xy≥0，則 xy≤1；若 xy＜0，則 xy≥-3，所以-3≤xy≤1；因此可求得結(jié)論 x2+4y2∈［4，12］。

對(duì)于方法一、二、三理論知識(shí)的使用并沒(méi)用任何問(wèn)題，但卻只求出了x2+4y2的最大值或者最小值，而對(duì)于方法四求出了x2+4y2的取值范圍，由此可知在遇到求范圍的問(wèn)題時(shí)，采用不等式求解會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，換句話說(shuō)如果我們使用不等式對(duì)等式放縮的度把握不清會(huì)導(dǎo)致解不出我們所要求的范圍，因此在今后如果涉及求取值范圍的問(wèn)題，我們可以更傾向于利用函數(shù)的思想來(lái)求解，那下面我們看一下這道題目利用函數(shù)思想的解題方法：

方法五：因?yàn)橐阎猩婕白兞康钠椒?，而兩個(gè)變量之間的關(guān)系又直接不好體現(xiàn)，基于這兩點(diǎn)我們可以聯(lián)想到三角函數(shù)中的平方關(guān)系，也就是我們可以采用三角代換的方法來(lái)解決這道題目：解：∵x2+2xy+4y2=6，∴（x+y）2+3y2=6，即，因此可以把x，y都通過(guò)角θ表示，所以因此，可以求 x2+4y2的范圍，因此 x2+4y2=6cos2θ+2sin2θ-4inθcosθ+，故 x2+4y2∈［4，12］。

此種解法的基本理念是我們要求x2+4y2的取值范圍，考查函數(shù)的思想，我們有兩種想法：一是可以利用x表示y（或利用y表示x），由已知形式我們知道這種方法不好操作；二是可以把x，y都表示成第三個(gè)變量的形式，再觀察已知的形式都存在平方的形式，可以聯(lián)想到三角代換的思想，從而找到解決題目的突破口（x，y均可以表示成θ的式子），這樣的話我們就可以把x2+4y2表示成關(guān)于θ的一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，直到得到能夠求取值范圍的形式為止，這樣的話我們就可以順利地解決這個(gè)問(wèn)題。

方法六：另外，我們可以通過(guò)觀察目標(biāo)函數(shù)的形式找到解題的突破口，z=x+4y2與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特別類似，而我們也學(xué)習(xí)過(guò)橢圓的參數(shù)方程，可以利用橢圓的參數(shù)方程解決這個(gè)問(wèn)題。具體過(guò)程為，所以我們有可以將 x，y的關(guān)系帶入已知的等式中即：z cos2θ+z sin2θ+z sinθcosθ=6，化解整理可以得到，所以可以得到 z∈［4，12］。

通過(guò)對(duì)該題目的解答我們可以得出：在今后我們?nèi)绻龅角笕≈捣秶膯?wèn)題時(shí)，經(jīng)常用函數(shù)的思想來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題；若遇到求最值（最大值或最小值）的問(wèn)題，我們可以考慮函數(shù)的思想或不等式的思想。除此之外，我們高中階段經(jīng)常涉及的求取值范圍和最值的方法大體上我們可以向三個(gè)方向考慮：一是函數(shù)的思想；二是不等式的思想；三是觀察需要求的表達(dá)式所具有的幾何意義，例如，在線性規(guī)劃中我們會(huì)根據(jù)式子的特點(diǎn)把我們所要求的表達(dá)式對(duì)應(yīng)的幾何意義找到，利用幾何的方法確定出表達(dá)式的取值范圍或最值。