◆于海源

(河北省承德市興隆縣小東區(qū)中學(xué))

在新課改的倡導(dǎo)下，更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，一元一次方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常關(guān)鍵的內(nèi)容，學(xué)好一元一次方程就好比打通了數(shù)學(xué)教學(xué)的重要通道，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要的作用。為此，筆者重點(diǎn)總結(jié)了一元一次方程的基本過程，并做了重點(diǎn)的研究分析，歸納了一元一次方程在解決實(shí)際問題方面應(yīng)該注意的內(nèi)容。

一、一元一次方程的主要類型和基本過程

在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，一元一次方程主要是這種類型:未知數(shù)是一個的一元一次方程，比方說，如果未知數(shù)是x，則一元一次方程的形式就是ax+b=c，在這個方程中，a 不能為零，b 和c 為有理數(shù)。同理，如果未知數(shù)是y，或者其他的未知數(shù)，則一元一次方程就ay +b=c，或者用其它的數(shù)去代替，同樣的道理，a 不能是零，b 和c 可以是任意的有理數(shù)。

一元一次方程的基本過程為:先設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系去列方程式，第三步解方程，其中未知數(shù)的系數(shù)要簡化為1。那么，在解決實(shí)際問題的過程中如何運(yùn)用一元一次方程呢?其基本的過程也是相同的。首先根據(jù)實(shí)際問題先設(shè)未知數(shù)，在根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系列好方程，解方程，并在最后要檢驗(yàn)方程的結(jié)果。

一元一次方程運(yùn)用到實(shí)際問題中，主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)運(yùn)用一元一次方程如何解決增長率的問題;(2)解決個人所得稅的計(jì)算問題;(3)運(yùn)用方程接受稅費(fèi)的計(jì)算問題;(4)運(yùn)用方程去解決路程的問題。

二、運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題

一元一次方程的解析主要體現(xiàn)在實(shí)際的運(yùn)用中，只有在實(shí)際操作中才能體現(xiàn)一元一次方程的價(jià)值，在具體的方程運(yùn)用中，應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)如果方程的兩邊有同類項(xiàng)，先要移項(xiàng)，這是解方程的第一步，并且在移項(xiàng)的過程中要注意符號的變化;(2)如果方程的左右有括號的話，要先去括號，在去括號時(shí)要注意相應(yīng)的規(guī)則;(3)如果方程中兩邊系數(shù)是分?jǐn)?shù)，要首先去掉分母，化成整數(shù)后再計(jì)算;(4)如果方程的一邊有同類項(xiàng)，首先要合并;(5)方程中未知數(shù)的系數(shù)要化為1。下面具體舉一些例子來論證。

例如，通過一元一次方程來計(jì)算水費(fèi)的問題。例1:當(dāng)前，我國大部分城市水資源非常匱乏，國家倡導(dǎo)要節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，為此許多城市規(guī)定了水費(fèi)的使用標(biāo)準(zhǔn)，其中某一城市規(guī)定每一用戶每個月的用水量，如果不超過標(biāo)準(zhǔn)量按沒立方米2.5 元收取費(fèi)用，超過了規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)量將按照每平方米5 元去收費(fèi)。大亮全家五月份的用水量為9 立方米，交水費(fèi)35 元。此題問該城市規(guī)定的每一用戶的標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少?

具體解析:由于2.5 ×9=22.5 ＜35，所以，9 立方米已經(jīng)超出了該市每戶用水的標(biāo)準(zhǔn)量。其等量關(guān)系是:總費(fèi)用=標(biāo)準(zhǔn)用水費(fèi)用+超出的用水量費(fèi)用

解:設(shè)每一用戶的用水標(biāo)準(zhǔn)量為x 立方米。因?yàn)?.5 ×9=22.5 ＜35，因此，大亮家用水量超出了該市的標(biāo)準(zhǔn)用水量，根據(jù)題意可以得出:

2.5x+5(9—x)=35

首先去括號，得出:2.5x+45—5x=35

再移項(xiàng)，得出:2.5x—5x=35—45

第三步，合并同類項(xiàng)，得出:—2.5=—10

最后，將系數(shù)化為1，得出:x=4

答:該城市中制定的每一用戶的標(biāo)準(zhǔn)用水量是4m3。

例2:運(yùn)用一元一次方程解決路程的問題。

王五和李三二人分別從王莊和李莊兩地相向而行，已知王莊和李莊相距158 千米。王五從王莊先30 分鐘出行，后來李三也從李莊出發(fā)，李三每小時(shí)比王五多走6 千米，一個小時(shí)以后王五和李三相遇。問王五和李三分別走的路程為總路程的多少?

具體解析:由題干中可知試題中總路程是不變的，因此具體關(guān)系為:總路程=王五走的路程+李三走的路程

解:假設(shè)王五每小時(shí)走x 千米，那么李三每小時(shí)走(x +6)千米，根據(jù)題干可以列出方程:

30/60x+(x+x+6)×1=158

首先，去分母，得出:30x+60(2x+6)=158 ×60

再去掉括號，得出:30x+120x+6 ×60=158 ×60

第三步是移項(xiàng)，得出:30x+120x=158 ×60 -6 ×60

最后，合并同類項(xiàng)，得到:150x=9120

這時(shí)可以得出結(jié)論:x=60.8

最終，可以通過計(jì)算的方式，得出王五和李三分別走的路程是總路程的幾分之幾。

另外，一元一次方程通過轉(zhuǎn)化也可變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，例如，在方程ax +b=c 中，b 和c 是有理數(shù)，并且a 不可以是零。如果將a 看成q 的時(shí)候，x 當(dāng)成自變量x、c 當(dāng)成因變量y 的時(shí)候，一元一次方程ax+b=c 變成了一次函數(shù)y=qx+b，在這種情況下用一次函數(shù)也可解決實(shí)際的應(yīng)用題。

同理，一元一次方程也可以變?yōu)槎淮畏匠?。例如，?dāng)把方程ax+b=c(a 不能為零)中的b 看作另一未知數(shù)的時(shí)候，比方說e、f、g、h 等其中的一個數(shù)時(shí)，ax+b=c 就可以變ax+e=c、ax+f=c、ax+g=c、ax+h=c(這些方程中a 和c 可以不取同一個值且是任意的有理數(shù))等。當(dāng)同樣的實(shí)際應(yīng)用題中由存在一個不確定值變?yōu)閮蓚€時(shí)，這時(shí)就可以把原來的一元一次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程解決有關(guān)問題。

還可以用同樣的方法，將一元一次方程轉(zhuǎn)化為三元一次方程。例如，如果把一元一次方程ax+b=c 中的b 當(dāng)作是e、f、g、h，這時(shí)任何兩個未知數(shù)相組合時(shí)，ax+b=c 就可以轉(zhuǎn)化為ax+e+f=c、ax+f+g=c、ax+g+h=c 等。如果同樣的實(shí)際應(yīng)用題中由存在一個不確定值變成三個的時(shí)候就可以把一元一次方程轉(zhuǎn)化為三元一次方程去解決有關(guān)問題。同樣的道理，在應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問題時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為N 元一次方程，從而一次類推，去解決實(shí)際問題。

總之，用一元一次方程去解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，廣大數(shù)學(xué)教師要將一元一次方程作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容去對待，主要是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會歸納和總結(jié)，提高學(xué)生用方程解決實(shí)際問題的能力，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的意義。

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［3］蘇長衛(wèi)，朱燦梅.初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)實(shí)踐——“實(shí)際問題與一元一次方程”教學(xué)案例［J］.凱里學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，(06).

［4］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(7～9 年級)總體介紹(續(xù))［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)，2012.