○康 宏 張建剛 劉 宇

（1、山東科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 山東 青島 266590 2、國際關(guān)系學(xué)院信息科技學(xué)院 北京 100091）

一、引言

近年來，隨著復(fù)雜性研究的蓬勃發(fā)展，自然界中存在大量的復(fù)雜系統(tǒng)，如細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)、城市交通網(wǎng)絡(luò)、社會網(wǎng)絡(luò)、萬維網(wǎng)等都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是對復(fù)雜系統(tǒng)的抽象和描述方式，它突出強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)涮卣?。原則上說，只要是存在相互關(guān)系的系統(tǒng)，當(dāng)把構(gòu)成單元抽象成節(jié)點(diǎn)、單元之間的相互關(guān)系抽象為邊時(shí)，都可以當(dāng)作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來研究。

圖1 滬深300股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)圖

證券市場是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，其行為是通過證券指數(shù)來表征的。Mantegna首次根據(jù)股票價(jià)格數(shù)據(jù)構(gòu)建了股票關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用該股票關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)對標(biāo)準(zhǔn)普爾500支股票進(jìn)行了聚類等級分析。隨著對現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的不斷深入，人們逐漸發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中的很多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都表現(xiàn)出鮮明的、區(qū)別于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的特征，這種特征被稱為小世界特性和無標(biāo)度特性。Kim等建立了標(biāo)準(zhǔn)普爾500支股票價(jià)格變化相關(guān)性加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，研究發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的影響強(qiáng)度服從無標(biāo)度分布；Onnela等研究了紐約證券交易所477支股票形成的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)，如派系數(shù)量和規(guī)模、平均聚集系數(shù)，并將實(shí)際網(wǎng)絡(luò)與同等規(guī)模的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了對比。國內(nèi)研究中，莊新田等建立了上海證券市場網(wǎng)絡(luò)，分析了該網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)具有典型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性——小世界效應(yīng)和無標(biāo)度特性。本文以滬深300股票網(wǎng)絡(luò)為研究對象，通過計(jì)算不同閥值下的復(fù)雜系統(tǒng)參數(shù)，得出滬深300股票網(wǎng)絡(luò)具有小世界特征，是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。研究結(jié)論說明，在該網(wǎng)絡(luò)中存在少量占主導(dǎo)地位的股票來影響和反映整個(gè)股市，這些股票的價(jià)格波動很容易影響到其他股票。

二、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模

要建立金融市場中股票的網(wǎng)絡(luò)模型，首先需要確定金融市場中進(jìn)行交易的不同股票間的相互關(guān)聯(lián)。本文以滬深300股票為節(jié)點(diǎn)集，以股票價(jià)格波動相關(guān)系數(shù)為邊，構(gòu)造一個(gè)無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

記股票i在時(shí)間t的收盤價(jià)格為P（t）。股票i從時(shí)間（t-1）到時(shí)間t的對數(shù)收益率定義為Ri=lnPi（t）-lnPi（t-1）。

通過計(jì)算兩支股票收益時(shí)間序列之間的相關(guān)系數(shù)，確定一對股票的相似程度，文中采用應(yīng)用最為廣泛的Pearson相關(guān)系數(shù)，股票i和股票j的相關(guān)系數(shù)ρij可表述如下：

式中，i，j是股票的標(biāo)號，E（Ri）為股票i在n期內(nèi)的平均收益率。計(jì)算n支股票的相似程度，可以得到一個(gè)n×n的關(guān)聯(lián)矩陣。由定義可知，ρij的值域?yàn)閇-1，1]，并且ρij=-1，i，j兩支股票是完全負(fù)相關(guān)的；ρij=1時(shí)，i，j兩支股票是完全正相關(guān)的；ρij=時(shí)，兩支股票是不相關(guān)的。因?yàn)橛?jì)算兩支股票的相似程度時(shí)，ρij=ρji，因此，相關(guān)系數(shù)矩陣是對稱矩陣。當(dāng)相關(guān)系數(shù)小于0時(shí)，股票節(jié)點(diǎn)對之間負(fù)相關(guān)，即一支股票的價(jià)格漲跌情況會引起另外一支股票朝著相反的方向變化。但負(fù)相關(guān)也是節(jié)點(diǎn)間相關(guān)性的表現(xiàn)，所以本文在計(jì)算時(shí)對相關(guān)系數(shù)取絕對值。

為了實(shí)現(xiàn)金融市場的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模，需要對關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行量化。考慮隨機(jī)噪聲的影響，為關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)定一個(gè)閥值θ（θ∈[0，1]），只有兩支股票間的相關(guān)系數(shù)的絕對值大于θ，才能表明他們之間有邊相聯(lián)，對應(yīng)元素設(shè)為1。并假設(shè)連接節(jié)點(diǎn)的邊沒有方向，且權(quán)系數(shù)等于1，即該邊是無向無權(quán)的邊。當(dāng)兩支股票間相關(guān)系數(shù)絕對值小于θ，它們之間沒有邊相連，對應(yīng)元素設(shè)為0。同時(shí)考慮到同一支股票的自相關(guān)系數(shù)為1，而對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)不允許自連接，所以矩陣對角元素全部設(shè)為0。用這個(gè)二元矩陣作為股票網(wǎng)絡(luò)的生成矩陣，將金融市場中股票之間的相互關(guān)聯(lián)抽象為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。

圖1是用pajek做的滬深300股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)圖，其中θ取值為0.50，繪圖時(shí)，去掉了節(jié)點(diǎn)度為0和1的節(jié)點(diǎn)。

三、復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征

1、小世界特性

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家把小的平均路徑長度和大的聚集系數(shù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)特征合在一起稱為小世界效應(yīng)，具有這種效應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)就是小世界網(wǎng)絡(luò)（smallworldnetwork）。這就是Watts和Storgatz提出的小世界網(wǎng)絡(luò)模型。

網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的距離d（ij）定義為連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑上的邊數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度l定義為任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離的平均值，表示為：

其中n為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

聚類系數(shù)用來表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集的疏密程度。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i通過ki條邊和其他節(jié)點(diǎn)相連，這ki個(gè)節(jié)點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)i的鄰居，它們之間最多有ki（ki-1）條邊連接。節(jié)點(diǎn)i的實(shí)際存在的邊數(shù)Ei和總的可能的邊數(shù)之比就是節(jié)點(diǎn)i的聚集系數(shù)ci，即：

網(wǎng)絡(luò)的平均聚集系數(shù)c為所有節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)的平均值，即：

這里0≤c≤1，當(dāng)c=0時(shí)，表明網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)全部為孤立節(jié)點(diǎn)，即網(wǎng)絡(luò)中沒有任何的連邊；當(dāng)c=1時(shí)，表明網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都直接相連。

2、無標(biāo)度特性

度分布是描述網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量。節(jié)點(diǎn)度是指連接節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)，節(jié)點(diǎn)度分布是指一個(gè)任意選擇節(jié)點(diǎn)恰好度數(shù)為k的概率，也等于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)占網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)的百分比，用分布函數(shù)p（k）表示。從某種意義上說，節(jié)點(diǎn)的度越大，說明該節(jié)點(diǎn)越“重要”；反之，如果節(jié)點(diǎn)的度很小，則說明該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中所起到的作用較小，不會對網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生很大的影響。

實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，大量真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度服從冪律分布。就是說，具有某個(gè)特定度的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與這個(gè)特定的度之間的關(guān)系可以用一個(gè)冪函數(shù)近似的表示，即：

其中，γ 是冪律指數(shù)，（5）式也可等價(jià)表示為：

冪函數(shù)曲線是一條下降相對緩慢的曲線，這使得度很大的節(jié)點(diǎn)可以在網(wǎng)絡(luò)中存在，這些度很大的節(jié)點(diǎn)稱為網(wǎng)絡(luò)的Hub點(diǎn)，Hub點(diǎn)對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行起著主導(dǎo)作用。把節(jié)點(diǎn)度服從冪律分布的網(wǎng)絡(luò)叫做無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（scale-free networks），并稱這種節(jié)點(diǎn)度的冪律分布為網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度特性。

四、實(shí)證分析

1、數(shù)據(jù)來源與說明

選取滬深300指數(shù)中的300只股票作為研究對象。滬深300指數(shù)是由上海和深圳證券市場中選取300只A股作為樣本編制而成的成份股指數(shù)。滬深300指數(shù)樣本覆蓋了滬深市場六成左右的市值，是反映滬深兩個(gè)市場整體走勢的“晴雨表”，可以反映滬深兩個(gè)市場整體走勢，具有良好的代表性。

選取2014年1月1日，至2014年12月31日之間的238個(gè)交易日的數(shù)據(jù)點(diǎn)。剔除這個(gè)時(shí)段內(nèi)停牌時(shí)間較長，或者上市較晚的股票17支，剩余283支股票。

2、小世界特性

在不同的閥值θ 下，由式（2）和（4）求滬深300的平均路徑長度和聚類系數(shù)。其中求平均路徑長度用的是佛洛依德（Floyd）算法。

表1 滬深300股票網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特征

與文獻(xiàn)中的普遍模型的基本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)相比較，表1中所列的平均路徑長度和聚類系數(shù)說明滬深300股票具有典型的小世界特征。它具有比較小的平均路徑長度，說明在滬深300網(wǎng)絡(luò)中，任意兩只股票都可以通過較少的網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)而連接。由于網(wǎng)絡(luò)中的邊表示股票間價(jià)格波動的相關(guān)性，因此，說明該網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)一支股票價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，其他股票很容易受到影響而隨之發(fā)生變化。同時(shí)它又具有比較大的聚類系數(shù)，說明某支股票的價(jià)格波動，該股票的鄰近股票更容易受到影響而隨之波動，影響程度較大。

當(dāng)θ=0.50時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度小于或等于1的節(jié)點(diǎn)為65個(gè)；當(dāng)θ=0.55時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度小于等于1的節(jié)點(diǎn)為107個(gè)，孤立節(jié)點(diǎn)較多，在計(jì)算平均路徑長度時(shí)，去除這些孤立節(jié)點(diǎn)的影響，剩余180個(gè)節(jié)點(diǎn)之間連通性較強(qiáng)，所以平均路徑長度從2.0636下降到1.0394。表明在θ=0.55時(shí)，去除掉的孤立節(jié)點(diǎn)較多，關(guān)鍵信息丟失，影響網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性。

圖2 θ=0.50時(shí)網(wǎng)絡(luò)度分布雙對數(shù)分布曲線

圖3 θ=0.55時(shí)網(wǎng)絡(luò)度分布雙對數(shù)分布曲線

3、無標(biāo)度特性

本文選取了不同閥值θ，計(jì)算了滬深300股票網(wǎng)絡(luò)的度分布情況。當(dāng)θfflt;0.50時(shí)，節(jié)點(diǎn)度不服從冪律分布；θ=0.60時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度小于等于1的節(jié)點(diǎn)為142個(gè)，多于選取的283支股票的半數(shù)，許多關(guān)鍵信息丟失，所以θ 的取值范圍為0.50≤θ≤0.60。

由圖2和圖3可以看出，當(dāng)θ=0.50、θ=0.55，經(jīng)過Matlab仿真，在雙對數(shù)坐標(biāo)系下，其度分布曲線大約在一條直線的附近。當(dāng)θ=0.50時(shí)，直線的斜率為-0.5563；當(dāng)θ=0.55時(shí)，直線的斜率為-0.6409。表明當(dāng)θ=0.50、θ=0.55時(shí)，滬深300股票網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度服從冪律分布，冪指數(shù)分別為0.5563與0.6409，滬深300股票網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。表明滬深300股票遵從“馬太效應(yīng)”，Hub節(jié)點(diǎn)股票價(jià)格波動更容易影響到其他的節(jié)點(diǎn)。

4、結(jié)果分析與討論

本文通過對滬深300股票網(wǎng)絡(luò)的分析，構(gòu)建了滬深300股票收益率復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，討論了相關(guān)系數(shù)的取值范圍及其所代表的意義。通過分析對比不同閥值下的網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度和聚類系數(shù)，分析了閥值的取值對分析結(jié)果的影響，并得出滬深300股票網(wǎng)絡(luò)具有較小的平均路徑長度和較大的聚集系數(shù)，具有明顯的小世界特性，說明在這個(gè)股票網(wǎng)絡(luò)中，單支股票的價(jià)格波動會對其他股票的價(jià)格波動產(chǎn)生影響。本文分析了不同閥值下滬深300股票網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布，得出其度分布服從冪律分布，在雙對數(shù)坐標(biāo)下可以以一條直線來擬合，說明滬深300股票網(wǎng)絡(luò)同時(shí)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)，在該股票網(wǎng)絡(luò)中，存在對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有重要作用的節(jié)點(diǎn)，這些股票價(jià)格波動會對整個(gè)股市產(chǎn)生影響，即通常所說的“龍頭效應(yīng)”。因此，要加強(qiáng)對這些股票的監(jiān)管。

[1]XinB，WuZ：Neimark—SackerBifurcationAnalysisand01 Chaos Testofan Interactions Model between IndustrialProduction and EnvironmentalQuality in a Closed Area[J].Sustainability，2015（8）.

[2]莊新田、閔志鋒、陳師陽：上海證券市場的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性分析[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（7）.