賴雄鳴，張 勇，王 成，言 蘭，緱 錦

（1.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門(mén)361021；2.華僑大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門(mén)361021）

在工程可靠性問(wèn)題中，極限狀態(tài)函數(shù)往往不解析、非線性.每一次極限狀態(tài)函數(shù)評(píng)估需要通過(guò)有限元方法進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值求解［1］.在可靠性問(wèn)題的求解中，循環(huán)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)需要更大規(guī)模的計(jì)算量，有時(shí)往往難以接受.

常規(guī)可靠性計(jì)算方法可以分為2類［2］.1）基于Monte Carlo抽樣的計(jì)算方法及改進(jìn)算法（如重要抽樣法［3］、子集抽樣法［4］、線抽樣法［5］等）.該類方法計(jì)算簡(jiǎn)單，適用性強(qiáng)，精度高，但是由于計(jì)算過(guò)程中樣本的選取具有隨機(jī)性，需要大規(guī)模重復(fù)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)，總體效率較低，難以接受.2）基于梯度的計(jì)算方法［6］.該方法以計(jì)算MPP 點(diǎn)為中心，如國(guó)際安全度聯(lián)合委員會(huì)（JCSS）推薦使用的JC 法.該方法存在迂回振蕩、甚至不收斂的情況發(fā)生.Lee等［7-12］提出各種改進(jìn)迭代方法，確保收斂性，從而克服了JC法的缺點(diǎn).雖然上述改進(jìn)算法對(duì)于非線性極限狀態(tài)函數(shù)有較強(qiáng)的適應(yīng)性（即較快收斂到MPP點(diǎn)），但是本質(zhì)上屬于一次二階矩法，仍然是在MPP點(diǎn)附近以一次超平面代替非線性極限狀態(tài)曲面，存在計(jì)算誤差大，甚至錯(cuò)誤的情況發(fā)生.盡管二次二階矩法較一次二階矩法，精度有所提高，但是當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)的非線性較強(qiáng)時(shí)，與第一類方法相比，誤差較大.

對(duì)于極限狀態(tài)函數(shù)的非線性、不解析，且需要大量數(shù)值計(jì)算等特征，第一類方法計(jì)算效率低，第二類方法計(jì)算精度不足.針對(duì)該問(wèn)題，本文提出基于極限學(xué)習(xí)機(jī)高效循環(huán)重構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的可靠度計(jì)算方法.該方法首先確定可靠度的重要影響區(qū)域，然后在該區(qū)域內(nèi)按照一定的策略，有目的性地選擇計(jì)算樣本，進(jìn)行高效循環(huán)重構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，以期最大限度地減少極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算次數(shù).最后，在該重構(gòu)的近似極限狀態(tài)函數(shù)模型的基礎(chǔ)上利用重要抽樣方法，快速進(jìn)行模擬計(jì)算可靠度，最終實(shí)現(xiàn)較少次數(shù)的計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)，能夠獲得高精度可靠度計(jì)算結(jié)果.

1 基于優(yōu)化的極限學(xué)習(xí)機(jī)（OELM）

對(duì)于給定N 個(gè)不同的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集｛xi，yi｜i＝1，…，N｝，其中xi＝［xi1，xi2，…，xin］∈Rn，yi∈RL.具有L 個(gè)隱節(jié)點(diǎn)，激活函數(shù)為K（xi）的標(biāo)準(zhǔn)單隱層前饋網(wǎng)絡(luò)（SLFN）可以零誤差地逼近任意的N個(gè)樣本，表示為［13］

式 中：aj為 輸 入 權(quán) 值，bj為 隱 層 節(jié) 點(diǎn) 的 閾 值，xi為 輸入向量，Oi為輸出向量，βj 為輸出權(quán)值.激活函數(shù)K可以取sigmoid、rbf、hardlim［14］.這里取常用的rbf.

式（1）可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中：β＝［β1，β2，…，βL］T，Y＝［y1，y2，…，yN］T；H 為隱層輸出矩陣，

ELM 學(xué)習(xí)算法的優(yōu)化目標(biāo)是同時(shí)最小化訓(xùn)練誤差和輸出權(quán)重的范數(shù)，由此可得

為了提高模型的泛化能力，Huang等［13］通過(guò)基于優(yōu)化的方法統(tǒng)一了ELM 和SVM，并提出改進(jìn)OELM，即

常數(shù)C 可以取較大的數(shù)，這里取1012.最后輸出函數(shù)為

2 基于OELM 高效重構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的可靠度計(jì)算方法

該方法的主要求解思路如下：1）快速確定對(duì)可靠度影響的重要區(qū)域位置；2）劃定重要區(qū)域范圍；3）在該重要區(qū)域內(nèi)，有目的性的選擇計(jì)算樣本，并高效循環(huán)重構(gòu)高階極限狀態(tài)函數(shù)；4）基于重構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，進(jìn)行重要抽樣模擬計(jì)算；5）重復(fù)步驟2）和3），直到判斷計(jì)算收斂為止.

2.1 可靠度影響重要區(qū)域位置快速確定

對(duì)于包含任意隨機(jī)變量的可靠性問(wèn)題，總可以通過(guò)Rosenblatt變換［15］將非正態(tài)變量變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.假定極限狀態(tài)函數(shù)中的隨機(jī)變量均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.為了快速確定可靠度影響的重要區(qū)域，提出基于梯度步長(zhǎng)的搜索算法，具體步驟如下.

1）設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)前進(jìn)步長(zhǎng)L＝0.2～1.5.

2）從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的原點(diǎn)開(kāi)始，沿著原點(diǎn)位置處極限狀態(tài)函數(shù)的負(fù)梯度方向（▽G（0））前進(jìn)L 距離到達(dá)新的點(diǎn)P1.若判斷P1點(diǎn)處于失效區(qū)域，則停止；否則，執(zhí)行步驟3）.

3）沿著P1點(diǎn)處極限狀態(tài)函數(shù)的負(fù)梯度方向前進(jìn)L 距離到達(dá)Pi點(diǎn).若Pi點(diǎn)處于失效區(qū)域，則停止.否則重復(fù)執(zhí)行步驟3），直到新點(diǎn)處于失效域.

4）假設(shè)前進(jìn)m 次，最后的位置點(diǎn)為Pm，以該點(diǎn)表示可靠度影響重要區(qū)域的大致位置.

結(jié)合文獻(xiàn)［11］的算例來(lái)說(shuō)明這一方法.如圖1所示，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為

式中：P＝1；x1、x2為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量.圖1中，箭頭方向表示該極限狀態(tài)函數(shù)曲線簇G（x1，x2）＝C 在不同位置的梯度方向.可以看出，該極限狀態(tài)函數(shù)簇的非線性很強(qiáng)，梯度從左到右變化很大.此處取步長(zhǎng)L＝0.5.圖1中，前進(jìn)了7次，走到失效區(qū)域中的P7點(diǎn).該位置點(diǎn)可以表示可靠度影響重要區(qū)域的大致位置.

圖1 可靠度影響重要區(qū)域位置確定快速方法Fig.1 Fast method for determining position of important area for reliability

由于只要大致確定可靠度影響的重要區(qū)域位置，P7點(diǎn)的位置不必很精確，N 可以取更小，即通過(guò)前進(jìn)增加步長(zhǎng)，減少前進(jìn)到失效區(qū)域中所需的次數(shù)，進(jìn)而減少極限狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算次數(shù).在后文實(shí)例中將給出進(jìn)一步說(shuō)明.

對(duì)于極限狀態(tài)函數(shù)不解析的情形，可以采用差分方法，近似獲得其梯度，如下式所示：

式中：σ（xi）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差，為1.通常系數(shù)k越小，梯度近似越準(zhǔn)確，本文k取0.001.

2.2 可靠度影響重要區(qū)域劃定

以二維隨機(jī)變量情形進(jìn)行介紹.圖2中，Pm為2.1 節(jié)方法中所求得的點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)Pm的坐標(biāo)為（xp1，xp2），可以獲得點(diǎn)Pm附近的其他點(diǎn)M1～M4，坐標(biāo)分別為（xp1-k′σx1，xp2）、（xp1，xp2-k′σx2）、（xp1＋k′σx1，xp2）、（xp1，xp2＋k′σx2）.這里系數(shù)k′可取0.5.分別建立原點(diǎn)與點(diǎn)Pm、M1～M5的直線l0～l5.通過(guò)插值法可以求得上述直線與極限狀態(tài)函數(shù)的交點(diǎn)Q0～Q4，即為極限狀態(tài)曲面重要區(qū)域上的失效點(diǎn).以求Q1點(diǎn)為例，給出快速插值求解算法.

圖2 二維隨機(jī)變量情形下獲取極限狀態(tài)曲面重要區(qū)域上的初始失效點(diǎn)Fig.2 Obtaining initial failure points on limit state function for two dimensional case

1）令t＝0對(duì)應(yīng)直線l1上的原點(diǎn)，t＝1 對(duì)應(yīng)直線l1上的點(diǎn)M1.

2）令T＝［0，1］，Y＝［G（x＝0），G（x＝xM1）］，則通過(guò)分段三次埃爾米特插值法可以得到G＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的tnew.

3）由此獲得tnew對(duì)應(yīng)直線l1上的點(diǎn)xnew＝0＋tnew（xM1-0）.

4）評(píng)估xnew位置處的極限狀態(tài)函數(shù)值G（x＝xnew）.若｜G（x＝xnew）｜＜ε1（取10-3），則停止計(jì)算；否則令T＝［T（2），tnew］，Y＝［Y（2），G（x＝xnew）］，通過(guò)分段三次埃爾米特插值法獲得tnew，然后重復(fù)步驟3）.

在獲取到上述極限狀態(tài)曲面重要區(qū)域上的初始失效點(diǎn)后，將失效點(diǎn)Q0～Q4以及點(diǎn)Pm、M1～M4組合在一起，可得坐標(biāo)點(diǎn)集X 及對(duì)應(yīng)的初始極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)集Y.基于OELM，建立X→Y 的映射，可以構(gòu)建初始極限狀態(tài)函數(shù)，設(shè)為.利用式（9），可得對(duì)應(yīng)的初始MPP點(diǎn).

圖3 可靠度影響重要區(qū)域劃定Fig.3 Outlining important area for reliability

2.3 基于OELM 循環(huán)重構(gòu)重要區(qū)域內(nèi)極限狀態(tài)函數(shù)

式中：xwj為重要區(qū)域內(nèi)（x）曲面上已經(jīng)找到的點(diǎn)（見(jiàn)圖4中的點(diǎn)W1，W2，…，Wd）.式（5）表示在重要區(qū)域內(nèi)的（x）曲面上尋找最稀疏區(qū)域的位置點(diǎn).

在求解式（10）的過(guò)程中，采用常規(guī)優(yōu)化算法或智能集群算法不一定總找到全局最優(yōu)解，難免陷入局部解.建議在給定初始解x0時(shí)，分別令x0＝xwj（j＝1，…，d），由此可得不同的局部解，然后選擇最距離最大（即式（10）中計(jì)算的Distance值最大）的局部解作為該型樣本點(diǎn).于是，可以取得相對(duì)較好的結(jié)果.

圖4 可靠度影響重要區(qū)域Ⅱ型點(diǎn)的尋找Fig.4 Searching Ⅱ-type point in important area for reliability

1）首先在點(diǎn)W1，W2，…，Wd群中，挑選出最外圍的點(diǎn)組成集合X′.屬于X′中的每個(gè)點(diǎn)具有如下特性，存在沿著某一維的坐標(biāo)中，其坐標(biāo)值是W1，W2，…，Wd中的最大或最小值.如圖4所示的二維情形，W1和Wd為點(diǎn)W1，W2，…，Wd群中的最外圍點(diǎn).

2）分別選取集合X′的每個(gè)點(diǎn)作為初值x0，然后按照式（11）尋找距離原點(diǎn)更遠(yuǎn)的點(diǎn)，最后選取最遠(yuǎn)的點(diǎn)作為Ⅲ型樣本點(diǎn).如圖5所示，x0分別選取W1和Wd作為初始點(diǎn)，然后代入求解式（11），可以求得各自對(duì)應(yīng)的最外圍點(diǎn)，分別是P1和P2.進(jìn)一步地，由于OP1＞OP2，選擇點(diǎn)P1作為Ⅲ型樣本點(diǎn).

圖5 可靠度影響重要區(qū)域Ⅲ型點(diǎn)x的尋找Fig.5 Searching Ⅲ-type point in important area for reliability

2.3.4 重要區(qū)域內(nèi)極限狀態(tài)函數(shù)重構(gòu) 在重構(gòu)限狀態(tài)曲面的基礎(chǔ)上，將上述尋找到的I～Ⅲ型樣本點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的真實(shí)極限狀態(tài)響應(yīng)，并加入坐標(biāo)點(diǎn)集X 和極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)集Y.然后基于OELM 方法重構(gòu)X→Y 的映射，可以獲得重要區(qū)域內(nèi)逼近精度更高的極限狀態(tài)函數(shù).重復(fù)上述過(guò)程，隨著重構(gòu)次數(shù)i的增加，可以最大限度地提高重要區(qū)域內(nèi)的極限狀態(tài)函數(shù)逼近精度.

3 計(jì)算實(shí)例

本文的計(jì)算方法特別適用于極限狀態(tài)函數(shù)為非線性、不解析，且需要花費(fèi)大規(guī)模數(shù)值求解的情形.下面的計(jì)算實(shí)例中，其極限狀態(tài)函數(shù)均為已知的情形，以便比較本方法計(jì)算值和理論值的差別，從而驗(yàn)證該方法的有效性.在應(yīng)用本文方法計(jì)算下面的實(shí)例時(shí)，其極限狀態(tài)函數(shù)當(dāng)作未知來(lái)處理（如采用差分方式計(jì)算梯度）.通過(guò)與不同計(jì)算方法作比較，驗(yàn)證本文提出的方法只要較少次數(shù)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)就可獲得高精度的計(jì)算結(jié)果.

實(shí)例一：某結(jié)構(gòu)指數(shù)形式的極限狀態(tài)函數(shù)［10-11，15］為

式中：x1～N（0，1），x2～N（0，1）；參數(shù)P＝1.

該極限狀態(tài)函數(shù)的非線性強(qiáng)，采用JC 法計(jì)算不收斂.表1 中，周凌等［10-11，16］分別通過(guò)14、10、17次迭代，找到MPP點(diǎn)，并計(jì)算可靠性指標(biāo)為2.999 5.對(duì)于這類非線性問(wèn)題，計(jì)算可靠性指標(biāo)無(wú)太大意義，因?yàn)橛稍摽煽啃灾笜?biāo)計(jì)算的失效概率為0.001 35，而表2中蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果為0.002 984，兩者相差很大.

表1 實(shí)例一可靠度計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Comparison of computed results in example 1

表2 實(shí)例一不同計(jì)算方法效率評(píng)估Tab.2 Comparison of computational efficiency between different methods in example 1

對(duì)于復(fù)雜非線性問(wèn)題，在計(jì)算MPP 和可靠性指標(biāo)時(shí)，迭代次數(shù)有時(shí)過(guò)多，計(jì)算量過(guò)大，而計(jì)算誤差也大.因此，沒(méi)有必要消耗太多計(jì)算量計(jì)算MPP和可靠性指標(biāo).按照本文方法，通過(guò)少量迭代次數(shù)，快速確定重要區(qū)域的大致位置.如圖6所示，取步長(zhǎng)L＝1，經(jīng)過(guò)4次迭代可以快速確定重要區(qū)域的大致位置在P4點(diǎn).然后按照2.2、2.3節(jié)介紹的方法，如圖7所示為經(jīng)過(guò)21次重構(gòu)，可以獲得可靠度計(jì)算結(jié)果，收斂值為0.003 0.

表2中除了采用本文方法和蒙特卡洛法外，還采用重要抽樣方法計(jì)算該實(shí)例.該重要抽樣方法采

圖6 實(shí)例一可靠度重要影響區(qū)域快速確定Fig.6 Fast method for determining position of important area for reliability in example 1

圖7 實(shí)例一極限狀態(tài)函數(shù)不同重構(gòu)次數(shù)對(duì)應(yīng)的可靠度計(jì)算結(jié)果Fig.7 Reliability results corresponding to different number of reconstruction of limit state function in example 1

用表一中的MPP點(diǎn)作為抽樣中心，分別按照1 000次和10 000次抽樣規(guī)模計(jì)算，結(jié)果示于表2.表中，n1為計(jì)算P3時(shí)極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算次數(shù)，n2為計(jì)算M1～M4、Q0～Q5時(shí)極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算次數(shù)，n3為極限狀態(tài)函數(shù)重構(gòu)時(shí)極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算次數(shù)，n4為極限狀態(tài)函數(shù)總計(jì)算次數(shù).可以看出，本文的計(jì)算方法相當(dāng)高效，第21次重構(gòu)后，共進(jìn)行85次極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算即可獲得精確的計(jì)算結(jié)果.

實(shí)例二：已知極限狀態(tài)函數(shù)［11］為

式中：x1～N（10，5），x2～N（9.9，5）.

該極限狀態(tài)函數(shù)的非線性較強(qiáng)，采用JC 法計(jì)算不收斂.表3 中，楊杰等［11］通過(guò)5 次迭代，得到MPP點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的可靠性指標(biāo)為2.298 3，失效概率為0.010 8.表4中，蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果為0.005 875，兩者相差很大.本文步長(zhǎng)取1，如圖8所示，經(jīng)過(guò)3次迭代得到P3點(diǎn).在此基礎(chǔ)上，如圖9所示，經(jīng)過(guò)14次重構(gòu)后，可以獲得可靠度計(jì)算結(jié)果，收斂值為0.005 7.

表4中的重要抽樣方法以楊杰等［11］計(jì)算的MPP點(diǎn)為抽樣中心，分別進(jìn)行1 000和10 000次抽樣計(jì)算.通過(guò)比較3種方法的計(jì)算結(jié)果，可以驗(yàn)證本文方法計(jì)算高效，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確.

表3 實(shí)例二計(jì)算結(jié)果比較Tab.3 Comparison of computed results in example 2

表4 不同計(jì)算方法效率評(píng)估Tab.4 Comparison of computational efficiency between different methods in example 1

圖8 實(shí)例二可靠度重要影響區(qū)域快速確定Fig.8 Fast method for determining position of important area for reliability in example 2

圖9 實(shí)例二極限狀態(tài)函數(shù)不同重構(gòu)次數(shù)對(duì)應(yīng)的可靠度計(jì)算結(jié)果Fig.9 Reliability results corresponding to different number of reconstruction of limit state function in example 2

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)工程可靠性計(jì)算中，極限狀態(tài)函數(shù)不解析、非線性、計(jì)算量大的問(wèn)題，本文提出高效、高精度的可靠度計(jì)算方法.該方法首先基于梯度步長(zhǎng)搜索算法快速確定可靠度影響重要區(qū)域，然后按照一定策略有目的性地選擇計(jì)算樣本，基于OELM 方法高效重構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù).在此基礎(chǔ)上，利用重要抽樣方法，快速進(jìn)行模擬可靠度計(jì)算.采用該方法可以有效地減少極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算次數(shù)，同時(shí)可以獲得高精度可靠度的計(jì)算結(jié)果，對(duì)實(shí)際工程的可靠性計(jì)算具有重要意義.

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）：

［1］張惠峰，關(guān)富玲，侯國(guó)勇.考慮扭簧失效的桁架式可展開(kāi)天線可靠性研究［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2010，44（6）：1207-1212.ZHANG Hui-feng，GUAN Fu-ling，HOU Guo-yong.Reliability analysis of truss deployable antenna considering torsional spring failure［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science，2010，44（6）：1207-1212.

［2］CHOWDHURY R，RAO R B.Hybrid high dimensional model representation for reliability analysis［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2009，198（5／6／7／8）：753-765.

［3］LAI X M，DUAN J A.Probabilistic approach to mechanism reliability with multi-influencing factors［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part C，Journal of Mechanical Engineering Science，2011，225（C12）：2991-2996.

［4］陳向前，董聰，閆陽(yáng).結(jié)構(gòu)可靠性分析的自適應(yīng)子集模擬方法［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（5）：627-632.CHEN Xiang-qian，DONG Cong，YAN Yang.Structural reliability failure probability subset Simulatiom adaptive optimal sample size［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2013，30（5）：627-632.

［5］何紅妮，呂震宙.正態(tài)變量相關(guān)情況下可靠性靈敏度分析的新方法［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（3）：436-443.HE Hong-ni，LV Zhen-zhou.Correlative variable independent variable reliability sensitivity dependence variation coefficient［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28（3）：436-443.

［6］張凱，李剛.基于改進(jìn)降維法的可靠度分析［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（2）：187-192.ZHANG Kai，LI Gang.Reliability analysis based on the improved dimension reduction method ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2011，28（2）：187-192.

［7］LEE J K，YANG Y S，RUY W S.A comparative study on reliability-index and target-performance-based probabilistic structural design optimization ［J］.Computers and Structure，2002，80（3／4）：257-269.

［8］SANTOSH T V，SARAF R K，GHOSH A K.Opti-mum step length selection rule in modified HL-RF method for structural reliability［J］.International Journal of Pressure Vessels and Piping，2006，83（10）：742-774.

［9］貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)求解的一種新的迭代方法［J］.計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用，1995，12（3）：369-373.GONG Jin-xin.A new algorithm for solving the structural reliability index［J］.Computational Structural Mechanics and Applications，1995，12（3）：369-373.

［10］周凌，賈宏光，安偉光.相關(guān)正態(tài)空間中改進(jìn)的有限步長(zhǎng)迭代法［J］.工程力學(xué)，2012，29（11）：137-142.ZHOU Ling，JIA Hong-guang，AN Wei-guang.Modified limit step length iteration algorithm in correlation normal space ［J］. Engeering Mechanics，2012，29（11）：137-142.

［11］楊杰，趙德有.結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)計(jì)算的旋轉(zhuǎn)梯度算法［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，51（2）：221-225.YANG Jie，ZHAO De-you.Rotation gradient algorithm for calculating structural reliability index ［J］.Journal of Dalian University of Technology，2011，51（2）：221-225.

［12］蔣友寶，馮健，孟少平.求解結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的線性可行方向算法［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，36（2）：312-315.JIANG You-bao，F(xiàn)ENG Jian，MENG Shao-ping.Linear feasible direction algorithm for calculation of reliability index of structure［J］.Journal of Southeast University：Natural Science Edition，2006，36 （2）：312-315.

［13］HUANG G B，WANG D H，LAN Y.Extreme learning machines：a survey［J］.International Journal of Machine Leaning and Cybernetics，2011，2（2）：107-122.

［14］史峰，王輝，郁磊，等.智能算法［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

［15］ROSENBLATT M.Remarks on a multivariate transformation ［J］.Annals of Mathematical Statistics，1952，23（3）：470-472.

［16］亢戰(zhàn)，羅陽(yáng)軍.計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的修正迭代算法［J］.工程力學(xué)，2008，25（11）：20-26.KANG Zhan，LUO Yang-jun.A modified iteration algorithm for structural reliability index evaluation［J］.Engineering Mechanics，2008，25（11）：20-26.