承萍

鑒于小學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，很多小學(xué)數(shù)學(xué)概念在教學(xué)時，教材都采取用具體、直觀的例子或生動的語言進(jìn)行描述。像這些面對有些生活中就自然形成的概念，如線段、射線和直線；周長；面積；平移和旋轉(zhuǎn)；體積和容積等，看似簡單，要講清楚卻非常困難。

一、場景描述：令人困惑的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

現(xiàn)象一：看似簡單就一定好理解嗎？

平移和旋轉(zhuǎn)是兩種常見的運動方式。作為兩個基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)概念，蘇教版數(shù)學(xué)從三年級上冊就開始教學(xué)《平移和旋轉(zhuǎn)》，教材中對平移和旋轉(zhuǎn)沒有給出任何嚴(yán)格的定義，而是從生活實例出發(fā)，引出了平移和旋轉(zhuǎn)?？此坪唵危斫馄饋韰s沒那么輕松。往往到了六年級，讓學(xué)生畫出某平面圖形繞某點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形時，仍是錯誤百出。常見的生活原型怎樣才能轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)模型呢？

現(xiàn)象二：表達(dá)不清就一定是不理解嗎？

對周長概念的理解到底應(yīng)該達(dá)到怎么樣的地步？僅僅是要求能指出物體表面的周長，還是應(yīng)該能用抽象的語言來進(jìn)行描述？蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊《周長的認(rèn)識》中對周長的描述全部是從具體的實例出發(fā)，圖文結(jié)合。筆者一開始對本課教學(xué)目標(biāo)的定位是希望學(xué)生到最后能用抽象的語言進(jìn)行描述，即：平面圖形的周長，是指圍成物體表面一周邊線的長度。但在課堂上卻發(fā)現(xiàn)這樣的語言描述對學(xué)生來說實在是太困難了。他能用手準(zhǔn)確地指出這一周的邊線，但是始終不能從語言的高度進(jìn)行抽象概括。數(shù)學(xué)概念一定要用抽象的語言概括嗎？

現(xiàn)象三：表達(dá)清楚就一定理解了嗎？

蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊《體積與容積》中指出：“物體所占空間的大小叫作物體的體積。容器所能容納物體的體積叫作容器的容積?！边@樣的描述性語言，對六年級學(xué)生來說，表述不成問題。但往往后來，在解決綜合性問題時，學(xué)生仍然會表面積與體積不分，體積與容積混淆，而在解決等積變化相關(guān)問題時更會張冠李戴。什么才是對數(shù)學(xué)概念的真正理解呢？

二、根源探究：教師難教、學(xué)生難理解，癥結(jié)何在

透過以上場景，可以看出對于一些概念，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在一些問題。筆者分析認(rèn)為，主要有以下三方面原因。

1.小學(xué)數(shù)學(xué)概念的特點與嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)存在偏差

在整個小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性的矛盾，許多概念是用一些生動、具體的語言對概念進(jìn)行描述的。如類似于數(shù)學(xué)中的點、線、體這樣的原始概念以及一些比較難理解的概念，像圓、圓柱、圓錐、平移和旋轉(zhuǎn)等。

張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)中若干科學(xué)性問題的探討》一文指出：小學(xué)階段“面積”“體積”等概念，很大程度上只是一種描述，是生活中自然而然形成的。如果一旦強求概念的表述，反而比理解概念本身更困難，陷入越解釋越糊涂的地步。

這就迫使我們在進(jìn)行概念教學(xué)時，對學(xué)生理解概念的程度心中需要有一把尺，明白到底怎樣的理解才算真正的理解。而在實際教學(xué)時，教師往往自身對概念的理解就存在問題，對要求學(xué)生概念理解的程度不能有效掌控，教與學(xué)均陷入兩難。

2.兒童語言表達(dá)與數(shù)學(xué)語言描述之間缺乏橋梁

斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！睂W(xué)生思維的過程需要語言，思維的成果也需要用語言表達(dá)出來。正確、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和內(nèi)化。

由于年齡特點，小學(xué)生的生活語言表達(dá)已有相當(dāng)?shù)陌l(fā)展水平，而科學(xué)語言描述相對處于較低的水平。因此，在具體的生活語言表達(dá)與抽象的數(shù)學(xué)語言描述之間，需要給學(xué)生搭建階梯，幫助學(xué)生拾階而上。

教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生認(rèn)識事物需要經(jīng)歷“充分感知—建立表象—形成結(jié)論”的過程。只有經(jīng)歷了大量直觀材料的感悟，反復(fù)操作，進(jìn)行有條理的思考，才能對結(jié)論的合理性作出具有說服力的說明。這就需要教師在概念教學(xué)中，為學(xué)生構(gòu)建概念的階梯，促進(jìn)他們實現(xiàn)生活語言向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化。但在實際教學(xué)中，教師往往不能從學(xué)生的角度出發(fā)，或概念脫節(jié)，或概念大躍進(jìn)，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)必然成了大問題。

3.語言的生活意義與數(shù)學(xué)意義之間存在矛盾

小學(xué)數(shù)學(xué)概念由于大多數(shù)本身來源于生活，因此單從字面上理解并不是很難。恰恰是因為它看似直觀，因此對以直觀思維為主的兒童來說就具備了一定的迷惑性。生活意義上的直觀與數(shù)學(xué)思想的微觀，如不能有效統(tǒng)一，那么對概念的理解只能浮于表面。

如生活中可以說我的“位置”大，你的“位置”小，“位置”有大有小，可是數(shù)學(xué)中的“位置”是一個確定的方位，本身沒有大小；在描述長度、面積、體積、容積時的“大小”時，學(xué)生從生活意義上理解就是有大有小，而數(shù)學(xué)中的“大小”是指可以進(jìn)行測量、描述和比較的。

這就使得學(xué)生在理解一些數(shù)學(xué)概念時，兒童認(rèn)知中的生活意義與其本身的數(shù)學(xué)意義發(fā)生矛盾。這時教師如果僅僅糾纏于文字層面的表述，卻不能合理引導(dǎo)，將這些生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，凸顯其數(shù)學(xué)意義，就會造成學(xué)生理解的混亂，自然數(shù)學(xué)的味道也就越來越淡了。

三、理想追尋：觸及概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)本質(zhì)

筆者認(rèn)為，教學(xué)概念時既不能囫圇吞棗，也不能輕描淡寫，以至于本可以生動有趣的數(shù)學(xué)變得枯燥乏味，學(xué)生更是學(xué)得一頭霧水。概念教學(xué)，有必要淡化概念的形式，更要尊重學(xué)生的直覺，并觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，唯有如此，才能尋找到教學(xué)的出路。

1.審視定義，關(guān)注數(shù)學(xué)的本原

波利亞曾指出：“只有理解了人類是如何獲得某些事實或概念的，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷?！弊鳛橐幻麛?shù)學(xué)教師，有必要從數(shù)學(xué)史、教育心理學(xué)、哲學(xué)等多方面去思考教學(xué)的本原，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)于具體中見理性，于淺顯中見深刻。

例如，在“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)中，教師更多的應(yīng)該是關(guān)注百分?jǐn)?shù)就是表示一個數(shù)量是另一個數(shù)量的百分之幾，表示兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系；在“面積”的教學(xué)中，教師更應(yīng)關(guān)注的是它們本身的特性：可測性、正則性、可加性、順序性等；學(xué)習(xí)“平移旋轉(zhuǎn)”概念時，如果不能清晰地理解在運動過程的點、線段、角、圖形等對應(yīng)關(guān)系及其在運動中的不變性，那么終究不能深入概念的本質(zhì)；對于負(fù)數(shù)的理解，教師如果不能幫助學(xué)生打通負(fù)數(shù)的意義與0的認(rèn)識之間的橋梁，不能清晰地明白0界點的意義，那么負(fù)數(shù)始終也就是一個帶負(fù)號的數(shù)而已。

2.充分感悟，尊重兒童的數(shù)學(xué)直覺

人的直覺是很寶貴的。愛因斯坦直截了當(dāng)?shù)卣f：“我信任直覺?！背浞诌\用直覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，特別是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條準(zhǔn)則。許多概念大都是通過直觀滲透、具體描述、舉例方法等給出的，由于它的直觀性，在學(xué)習(xí)中直覺就顯得尤為重要。小到多少、大小，大到長度、位置等這樣的非常原始的概念，小學(xué)里主要是訴諸直覺。

如筆者在教學(xué)《面積單位》，給予學(xué)生充分的時間思考“用什么作為面積單位比較合適”時，學(xué)生首先想到統(tǒng)一的實物的面，緊接著馬上自我否定，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該用統(tǒng)一的圖形的面去測量，更可喜的是良好的數(shù)學(xué)直覺還告訴他們，在統(tǒng)一的圖形的面中，用長方形、正方形、三角形的面測量會更好一些。不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的直覺和思考已經(jīng)幫助學(xué)生感受到了應(yīng)該用小面積來測量大面積。

3.放慢鏡頭，無痕教學(xué)顯現(xiàn)思想

教學(xué)時，教師對概念的有效分解，凸顯關(guān)鍵字詞的意義，放慢鏡頭，對于幫助學(xué)生搭建概念的階梯，彰顯概念背后的數(shù)學(xué)思想，有著必不可少的推動作用。

如筆者在教學(xué)《體積認(rèn)識》一課，處理“物體所占空間的大小叫作物體的體積”這個描述性概念時，先讓學(xué)生直接用手勢比劃一下什么是“桃子占的空間”來理解“空間”的含義，實現(xiàn)二維空間到三維之間的轉(zhuǎn)換；然后讓他們理解物體所占的空間是有大小的，是可以進(jìn)行測量的；接著出示幾個同樣大小的長方體擺成的不同形狀的物體，讓學(xué)生說說誰的體積大，為什么？（理解同一個物體，無論它的位置和形狀發(fā)生了怎樣的變化，體積是不變的）判斷一斤鐵塊和一斤蠶繭，誰的體積大，為什么？（理解體積的大小只與所占空間的大小有關(guān)）最后出示一根黃瓜和一個西紅柿，問誰的體積大，你能設(shè)計出什么樣的實驗方案（發(fā)展學(xué)生靈活解決問題的能力）。在整個概念教學(xué)中，將“體積”概念依次進(jìn)行分解，注重處理好操作和理解的過程，讓學(xué)生感受體積的特征，遠(yuǎn)比實際語言的描述更具有意義。

4.練習(xí)辨析，凸顯概念數(shù)學(xué)本質(zhì)

尤西斯金教授曾指出了數(shù)學(xué)概念理解的五個要素，其中靈活應(yīng)用概念解決問題是概念理解的一個重要維度，因此對概念的練習(xí)辨析就顯得尤為重要。

如筆者在教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》時，設(shè)計了一組這樣的練習(xí)：

（1）出示兩杯同樣的果汁：

這兩杯果汁一模一樣，都含80%橙子汁。在這里，80%表示什么？

（2）將其中一杯果汁倒掉半杯，這杯果汁中含橙子汁還是80%嗎？

（3）將這兩杯果汁混合倒入一個大杯，大杯中橙子汁還是果汁總量的80%嗎？

（4）追問：在剛才的操作過程中，什么變了？什么卻是始終不變的？

引導(dǎo)得出：果汁總量和橙子汁的總量都在發(fā)生變化，但是橙子汁與果汁的比率卻是不變的。所以不管怎樣，始終都含有80%的橙子汁。

（5）如果想讓杯中橙子汁的含量降到60%，你覺得可以怎么操作？如果想讓杯中的橙子汁含量達(dá)到90%呢？

（6）思考：現(xiàn)在你對百分?jǐn)?shù)有什么新的認(rèn)識？

在整個練習(xí)中始終引導(dǎo)學(xué)生在“變”與“不變”的對比中辨析，準(zhǔn)確理解不管怎樣變化，百分?jǐn)?shù)就是表示一個數(shù)量是另一個數(shù)量的百分之幾，從而加強對百分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)的理解。

正如西南師范大學(xué)老校長陳重穆先生所說，數(shù)學(xué)教育需要“淡化形式，注重實質(zhì)”。唯有如此，小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)才能真正實現(xiàn)從困惑走向敞亮。