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平面直角坐標(biāo)系中數(shù)形結(jié)合思想之巧用

2015-08-04 19:01薛朝暉
初中生世界·八年級 2015年2期
關(guān)鍵詞:靠岸輪船直角坐標(biāo)

薛朝暉

數(shù)形結(jié)合思想,是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法,巧用平面直角坐標(biāo)系能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來,有效地相互轉(zhuǎn)化,一些看似無法入手的問題就會迎刃而解.

一、 巧用平面直角坐標(biāo)系于解不等式

例1 解不等式

【評析】 此題直接求解要分x>0,x<0兩種情況去求解.學(xué)生易把x的取值當(dāng)成大于零來去分母,原不等式變形為 ,顯然結(jié)果會求錯取值范圍.建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè) 求得雙曲線與直線的交點坐標(biāo).利用兩個函數(shù)圖像的高低關(guān)系求得不等式的解.

【解】 設(shè) 畫出函數(shù)的圖像,如圖1,令 ,化為 , ,得 .從而可得兩個圖像的交點坐標(biāo)為(1,3),(-3,-1).觀察圖像,應(yīng)使y1的圖像高于y2的圖像,當(dāng)0

二、 直角坐標(biāo)系用于軸對稱中

例2 已知點A(﹣1,2)和B(﹣2,﹣1),試在y軸上找一點P,使得PA+PB最小,并求出點P的坐標(biāo).

【評析】 要求點P的坐標(biāo),只要找點A關(guān)于y軸的對稱點A',連結(jié)A'B交y軸于點P,大部分學(xué)生知道方法,但在求解點P坐標(biāo)時方法太繁,易求錯.采用一次函數(shù)可快速高效解決問題.

【解】 如圖2,作點A關(guān)于y軸的對稱點A',連結(jié)A'B交y軸于點P,此時PA+PB最小。設(shè)直線A'B為y=kx+b(k≠0).因為點A(﹣1,2)與點A'關(guān)于y軸對稱,所以A'(1,2),將A'和B的坐標(biāo)代入解析式,解得k=1,b=1.所以解析式為y=x+1,當(dāng)x=0時,y=1,所以P(0,1).

三、 巧用直角坐標(biāo)系求線段的長

例3 已知正方形的邊長為1,(1)如圖3(a),可以計算出正方形的對角線長為 ,如圖2(b),求兩個正方形并列排成的矩形對角線的長,n個呢?(2)若把圖2(c)、(d)兩圖拼成如圖4的“L”形,過點C作直線交DE于A,交DF于B,若DB= ,求DA的長度.

【評析】(1)略.(2)對于八年級學(xué)生來講,沒有學(xué)習(xí)相似,難以下手.本題巧妙建立平面直角系,求AD就易如反掌了,以點D為原點,AD所在直線為x軸,BD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,就可以用一次函數(shù)的知識來解決.

【解】以點D為原點,DE所在直線為x軸,DF所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系如圖4,可得B(0, ), C(1,﹣1).設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0),將B、C的坐標(biāo)代入,解得k= ,b= 所以y= x .當(dāng)y=0時, x- =0,得x= ,所以A(﹣ ,0),得AD= .

例4 在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN(如圖5),在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30?,且與A相距40km的B處;經(jīng)過1小時20分鐘,又測得該輪船位于A的北偏東60?,且與A相距 km的C處.

(1) 求該輪船航行的速度(結(jié)果保留根號);

(2) 如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行,那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸?請說明理由.

【評析】(1)略.(2)過點B、C兩點分別作BD⊥直線l于D,CE⊥直線l于E,則可得AD=20km,BD=20 km,CE=4 km,AE=12km。大多數(shù)學(xué)生采用相似解決問題??梢岳谩鱂CE∽△FBD,從而求得EF的長.但是在尋找相似三角形時,易搞錯對應(yīng)邊,從而求錯。還有部分同學(xué)求得的EF長誤以為是AF的長,導(dǎo)致失分.因此,建立如圖5所示平面直角坐標(biāo)系,則B(-20,20 ),C(12,4 )。直線BC交x軸于F,要求AF的長,只要求得直線BC的解析式,然后求得直線與x軸交點的橫坐標(biāo),從而求得AF的長。

【解】建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(-20,20 ),C(12,4 ).

設(shè)直線BC為y=kx+b(k≠0),將B、C坐標(biāo)代入,解得直線BC的解析式為y= x+10 .當(dāng)y=0時, x+10 =0,得x=20.所以AF=20.可見AM

解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住題設(shè)圖形、分析已知條件,從幾何圖形的結(jié)構(gòu)中尋求建立函數(shù)關(guān)系式所需要的數(shù)量關(guān)系,巧建平面直角坐標(biāo)系能只用幾筆簡捷的線條就可以表達(dá)出需要“長篇大論”的證明所表達(dá)的變化規(guī)律.

在初中數(shù)學(xué)中,由于平面直角坐標(biāo)系的引入,架起了數(shù)與形之間的橋梁,使得我們可以用幾何的方法研究代數(shù)問題,又可以用代數(shù)的方法研究幾何問題.平面直角坐標(biāo)系加強了數(shù)與形之間的聯(lián)系,它是解決數(shù)學(xué)問題的一個強有力的工具.

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