閆言

摘 要：準(zhǔn)確的描述石油儲層壓裂的變形特性與裂縫的演化規(guī)律對開展煤巖層滲透特性研究及解決油氣的開采技術(shù)難題具有重要的價值。本文研究了壓裂裂縫演化的基本模型，引入了判別石油儲層壓裂裂縫演化系統(tǒng)具有混沌特性的特征量，通過對特征量的計算分析，表明基于分形理論的裂縫演化行為具有混沌特性。

關(guān)鍵詞：石油儲層壓裂；相空間重構(gòu)；混沌特性

1 概述

油氣井壓裂石油儲層裂縫演化與常規(guī)巖體壓裂單一裂縫擴(kuò)展具有很大的差別，基于這一特殊性，石油儲層壓裂所形成的裂縫通常呈現(xiàn)出網(wǎng)狀形態(tài)，這種復(fù)雜的網(wǎng)狀裂縫稱為縫網(wǎng)。分形幾何學(xué)能夠較為準(zhǔn)確的對這種復(fù)雜縫網(wǎng)進(jìn)行描述。而與分形相伴隨的便是混沌理論，一些學(xué)者在對石油儲層材料微裂紋和微孔洞演化的研究中觀察到其具有混沌特征，并進(jìn)行了大量的研究工作。基于混沌理論研究石油儲層壓裂裂縫擴(kuò)展行為，可清晰地揭示石油儲層壓裂過程不同壓裂階段裂縫的演化行為。本文通過對單一裂縫系統(tǒng)演化模型的研究，分析石油儲層裂縫演化的本質(zhì)特征，并建立復(fù)雜縫網(wǎng)體系下裂縫的演化規(guī)律，對煤巖壓裂裂縫系統(tǒng)進(jìn)行相空間重構(gòu)，確定性檢驗、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)和Kolmogorov熵計算，從定性方面和定量方面兩方面揭示煤巖裂縫的混沌特性。

2 石油儲層壓裂裂縫演化的基本模型及相空間重構(gòu)

假設(shè)在初始狀態(tài)下，巖石儲層內(nèi)天然裂縫條數(shù)為 ，射孔孔眼附近裂縫條數(shù)為 ，加載過程中，釋放出的能量可促使新的微裂縫產(chǎn)生，微裂縫以蟲口模型形式演化。當(dāng)流體凈壓力加載第i階段時形成的微裂縫總數(shù)為：

ni=F1（n0+m0）+·（N-n0-m0）（1）

式中：D為損傷變量。

使用C-C法進(jìn)行相空間重構(gòu)，對于石油儲層裂縫系統(tǒng)的時間序列δ1，δ2，…，δi，…，δN，重構(gòu)成如下相空間：

Xi=[δi，δi+k，δi+2k，…，δi+（m-1）k]T （i=1，2，…，N-（m-1）k）Xi∈Rm（2）

式中：k為延遲時間指數(shù)，m為嵌入維數(shù)。

3 石油儲層裂縫演化實例驗證

3.1 時間序列的確定性檢驗。石油儲層壓裂裂縫演化時間序列的復(fù)雜性有外在隨機(jī)因素，也有其自身的內(nèi)在確定性動力學(xué)機(jī)制因素。因此，必須對裂縫演化時間序列的確定性進(jìn)行檢驗。假設(shè)Y0為Rm中固定向量，Y1，Y2，…，Yi表示相空間中l(wèi)個鄰近點，Z1，Z2，…，Zi是與之相對應(yīng)的映射值。其傳遞向量定義為：

Vi=Yi-Zi（i=0，1，…，l）（3）

傳遞誤差為：

Eerror=（4）

式中：…為Euclidean距離；〈V〉為傳遞向量的數(shù)學(xué)期望。

3.2 關(guān)聯(lián)維數(shù)的計算。關(guān)聯(lián)維數(shù)是混沌時間序列非線性分析中很常見的，也是很重要的一個概念。用時間序列按式重構(gòu)相空間 ，對于分形結(jié)構(gòu)因其自相似性特性，故在 的某個區(qū)間內(nèi)存在下面的標(biāo)度關(guān)系：

C（m，r）∝rγ （5）

將其與分維的定義相比，可知（5）式中指數(shù)γ是一種維數(shù)。實際上，γ逼近關(guān)聯(lián)維數(shù)。D2定義為：

D2=（6）

重構(gòu)微裂縫數(shù)目、裂縫尖端周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力時間序列的相空間，選取延遲時間分別為τ=3τs、τ=1τs和τ=1τs，嵌入維m=1，2，…，12，這樣可以觀察隨著嵌入維數(shù)的變化，關(guān)聯(lián)維數(shù)的變化趨勢。計算C（m，r），繪制InC（m，r）～I(xiàn)nr曲線。如圖1所示；

圖1微裂縫數(shù)目時間序列InC（m，r）～I(xiàn)nr曲線

從圖1可以看到曲線InC（m，r）～I(xiàn)nr中存在明顯的直線段，隨著 m的增大，直線段斜率增大。當(dāng)m?5時，各曲線直線段趨于互平行且逐漸密集，直線段斜率幾乎不再變化，能夠認(rèn)為趨于定值，這個值就是表征這幾個序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)。

3.3 Lyapunov指數(shù)的計算。對于最大Lyapunov指數(shù)計算，我們選取嵌入維數(shù)m=3，4，5，6，7，這樣在計算的同時，考察最大Lyapunov指數(shù)隨嵌入維數(shù)增大的變化規(guī)律。圖2為x（t）隨時間t演化的曲線，從圖像可以看出曲線是增函數(shù)，表明最大Lyapunov指數(shù)為正，這表示相鄰軌道發(fā)散，進(jìn)一步說明系統(tǒng)具有混沌特性。