張中華　李智

摘 要： 在剛性轉子動平衡修正中，對有效的振動信號進行檢測和提取是直接關系到后期計算與動平衡修正效果好壞的最關鍵的一個環(huán)節(jié)，諧波小波具有良好的盒形譜特性、存在明確的函數(shù)表達式、時域定位準確和算法實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，而在諧波小波的基礎上實現(xiàn)的諧波小波包算法既擁有諧波小波的優(yōu)點，并且還能對分析頻段進行任意的劃分，以便提取和分析更加細致的信息，通過模擬給出了采樣信號，并使用諧波小波包算法對采樣信號進行濾波處理，有效地濾除了干擾信號，最終成功地提取到了目標振動信號。

關鍵詞： 動平衡； 諧波小波包變換； 信號提??； 振動信號

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）11?0095?03

Harmonic wavelet packet extraction of weak dynamic unbalance signals

ZHANG Zhong?hua， LI Zhi

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract： In rigid rotor dynamic balance correction， the effective vibration signal detection and extraction are the most critical link which are related to the later calculation and dynamic balance correction effect directly. The harmonic wavelet has advantages of good box?like spectrum characteristic， explicit function expression， accurate positioning in time domain and simple algorithm realization. The harmonic wavelet packet algorithm based on harmonic wavelet has advantages of harmonic wavelet and can divide any analyzed frequency band arbitrarily for extraction and analysis of the more detailed information. The simulated sample signal is provided in this paper. The filtering processing for the sample signal is proceeded by harmonic wavelet packet algorithm to filter out the interference signals effectively. The target vibration signal was extracted successfully.

Keywords： dynamic balance； harmonic wavelet packet transformation； signal extraction； vibration signal

0 引 言

轉子的不平衡是旋轉機械的主要激振源，也是許多種自激振動的觸發(fā)因素。不平衡會引起轉子撓曲和內應力，使機器產生振動和噪聲，加速軸承、軸封等零件的磨損，降低機器的工作效率，有時甚至會引起各種嚴重的事故。據(jù)統(tǒng)計，由于不平衡原因而引起的振動故障約占機器總故障的24%，對于高速旋轉的機械，由于不平衡原因引起的振動十分顯著。消除或減小機器振動首先考慮是對轉子進行平衡，消除或減小機器旋轉零部件因失衡而引起的不平衡慣性力，使機器的振動限制在容許的范圍內。所以要對動不平衡的轉子進行動平衡的修正，轉子動平衡的關鍵是提取轉子不平衡振動的振幅與相位。不平衡振動信號的測相、測幅原理如圖1所示。圖中不平衡相位角[?]為不平衡振動信號最大值（振幅）同基準信號上升沿之間的夾角。所以要對一轉子實施動平衡的首要條件是提取一組穩(wěn)定的不平衡振動信號和基準信號，然后按圖1的方法求得不平衡信號的振幅和相位。

另外由于實際的檢測環(huán)境中有非常多的干擾因素，這就導致采樣信號中包含有大量的噪聲信號，為了提高檢測結果的準確性，需要采用合適的數(shù)字信號處理算法對采樣信號進行處理，以便將噪聲信號濾除。所以要尋找既能保證幅值與相位準確性，又有良好的濾波效果的數(shù)字信號處理算法，而諧波小波有著算法實現(xiàn)簡單、頻域分解靈活、在頻域具有盒形緊支特性及相位保持（這樣就可以保證相位的準確性）等優(yōu)點，諧波小波包算法不僅具有諧波小波算法的優(yōu)點，并且還能對分析頻率進行任意的劃分，以便提取和分析更加細致的信息?；谝陨峡紤]，本文提出將諧波小波包應用于便攜式動平衡儀不平衡量的提取當中。

1 諧波小波變換

諧波小波是英國Newland教授于1993年提出的一種小波函數(shù)，在頻帶[m2π，n2π]內，定義函數(shù)的傅里葉變換為：

[ψ（ω）=1[（n-m）2π] ，ω∈[m2π，n2π]0， 其他 ] （1）

式中[m，n∈R+，]其時域表達式為：

[ψm，n（t）=exp（in2πt）-exp（im2πt）i（n-m）2πt] （2）

式（2）稱為廣義諧波小波，當[m=1，n=2]時成為經典諧波小波，諧波小波的實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)，[m，][n]可取非負整數(shù)值，給定步長[k（n-m），]其中[k]為整數(shù)，對式（2）進行平移變換得：

[ψm，nt-kn-m=expin2πt-kn-m-expim2πt-kn-mi（n-m）2πt-kn-m] （3）

分析頻帶帶寬為2π（n-m），分析中心在[t=k（n-m）]處的廣義諧波小波的一般形式。

設連續(xù)時間信號為x（t），其諧波小波變換定義為：

[Wx（m，n，k）=（n-m）-∞+∞x（t）ψt-kn-mdt] （4）

對式（4）進行傅里葉變換得：

[Wx（m，n，ω）=X（ω）ψm，n[（n-m）ω]] （5）

式（4）與式（5）分別為信號x（t）的諧波小波變換在參數(shù)[m，n]尺度下的時域和頻域表達式，其離散形式可以寫為：

[Wx（m，n，k）=n-mNr=0N-1x（r）ψr-kn-m，r=1，2，…，N-1] （6）

2 諧波小波包變換

根據(jù)小波變換和諧波小波的定義，信號x（t）的諧波小波變換可通過下式實現(xiàn)：

[h（m，n，k）=（n-m）-∞+∞w*m，n，kτ-kn-mdτ ] （7）

式中：*表示復共軛；[k∈Z，m，n∈R+ 且m

[Wm，n，kt-kn-m=expi2nπt-kn-m-expi2mπt-kn-mi2π（n-m）t-kn-m] （8）

其頻域的表達式為：

[Wm，n，k（ω）=1（n-m）2πexp-iωkn-m，2mπ≤ω≤2nπ 0 ，其他] （9）

將式（7）作傅里葉變換，得到諧波小波變換在頻域的表達式為：

[H（m，n，ω）=X（ω）W*（n-m）ω] （10）

由于可以通過FFT和IFFT運算實現(xiàn)諧波小波變換的運算，所以諧波小波算法實現(xiàn)起來是比較容易的，上式中的參數(shù)m，n決定了諧波小波變換的尺度，其意義與二進小波變換中的[2j]的j相同，通過不斷變化[m，n]的值，就可以實現(xiàn)對頻帶的不同劃分，這樣便實現(xiàn)了諧波小波包變換。設信號的奈奎斯特頻率為[fn，]分解層數(shù)為s，諧波小波包變換在第s層對應有[2s]個子頻帶，每個子頻帶帶寬為[1]：

[fband=fn2s] （11）

參數(shù)[m，n]應滿足下列的關系：

[m=ifband=ifn2， i=0，1，…，2s-1] （12）

[n=（i+1）fband=（i+1）fn2， i=0，1，…，2s-1] （13）

根據(jù)目標信號的頻率來設置合適的m，n的值，便可以提取各基本節(jié)律波形[2]。

3 仿真實驗

為了便于在便攜式剛性轉子現(xiàn)場動平衡儀中使用諧波小波包程序，本文編寫了諧波小波包變換程序，在Windows下安裝了QT開發(fā)環(huán)境（與開發(fā)板圖形界面環(huán)境一致），編寫了相應的圖形界面程序，對信號進行了仿真處理。

為了模擬具有大量高頻噪聲信號的原始采集信號，取如下的模擬信號作為模擬的采樣信號：

[F（x）=1+3cos（26πt）+0.1cos（30πt）+3cos（52πt）+2cos（54πt）+1.5cos（60πt）-2cos（150πt）-3cos（184πt）+cos（106πt）-3cos（318πt）+2cos（406πt）-1.7cos（482πt）]

在上面仿真的信號中，假設[0.1cos（30πt）]是想要的振動信號，很明顯采樣信號中既有直流信號、低頻信號也包含較多的高頻信號，而在這些信號中目標信號的幅值顯然比較小，在512 Hz的采樣頻率下對信號進行模擬采取，采集了512個點[3]，采樣信號時域圖形如圖2所示。

從圖2中可以看到由于采樣信號是由很多信號合成的，所以很難從其中看出有什么有用的信息。對這個原始信號進行傅里葉變換，得到它的頻域圖形如圖3所示。

前面已經說過，目標信號是0.1cos（30πt），通過圖3發(fā)現(xiàn)由于目標信號的幅值比較小，在嵌入式設備這種分辨率不高的設備上很容易忽略它的存在，這會對分析帶來一定的麻煩[4]。下面將采樣信號進行9層的諧波小波分解，使用的參考基準信號是15 Hz，通過諧波小波包對信號進行提取，諧波小波包變換后信號的頻域圖如圖4所示。

通過圖4發(fā)現(xiàn)，信號只剩下了目標信號所在那個頻段的信號部分，由于分層數(shù)是9層，所以頻率分解的最小分辨率是1 Hz，這樣就可以將其他頻率信號所在的頻段與目標信號的頻段區(qū)分開來以便將其他信號屏蔽掉而只保留目標信號所在的頻段，再對諧波小波包處理后的信號進行幅值修正，最終通過IFFT變換得到振動信號的時域信息，目標振動信號的時域波形如圖5所示。

通過圖5發(fā)現(xiàn)，通過諧波小波包對信號進行提取不僅可以實現(xiàn)相位的保持，而且通過幅值修正以后，可以比較好地對目標信號進行提取，而且通過調整系數(shù)[m，][n]可以實現(xiàn)對任意頻段和帶寬的分析，從而可以應對比較復雜的情況，實現(xiàn)信號的有效提取。

4 結 語

本文介紹了利用諧波小波包在含有大量噪聲信號的采樣信號中對微弱動不平衡信號進行提取，在諧波小波變換的基礎上通過對分析頻帶的任意劃分處理，實現(xiàn)了諧波小波包算法，通過仿真實驗證明了該方法可以實現(xiàn)對微弱動不平衡信號的提取，并且很好地重構了原始信號。諧波小波包構造簡單，并且由于其可以任意劃分頻帶，所以可以比較好地將噪聲信號濾除而僅僅保留目標信號所在的頻段信號，從而實現(xiàn)較好的信號提取效果[5]，在微弱動不平衡信號檢測方面具有很好的應用前景。

注：本文通訊作者為李智。

參考文獻

[1] NEWLAND D E. Harmonic wavelet analysis [J]. Proceedings： Mathematical and Physical Sciences， 1993， 443（10）： 203?205.

[2] QI Ke?yu， HE Zheng?jia， LI Zhen， et al. Vibration based operational modal analysis of rotor systems [J]. Measurement， 2008， 41（7）： 810?816.

[3] 陳果.一種改進的諧波小波及其在轉子故障診斷中的應用[J].機械工程學報，2011，47（1）：8?16.

[4] 柏林，董鵬飛，劉小峰.瞬頻特征的諧波小波提取與應用[J].振動與沖擊，2010，29（8）：131?135.

[5] WANG Ji?yan， ZHAO Yu?cheng， YAO Bang?hua， et al. Filtering detecting signal of rockbolt with harmonic wavelet [J]. Mining Science and Technology， 2010， 20（3）： 411?414.

[6] 唐貴基，葉進生，胡愛軍.基于諧波小波包的微弱信號的頻域提取[J].現(xiàn)代電子技術，2009，32（9）：156?159.