邱 剛

（江蘇省海門中學，江蘇 海門 226100）

1 問題的提出

在粒子物理研究中，可讓粒子通過施加了勻強磁場的云室使云室中的氣體電離來顯示出它們的運動軌跡，如圖1所示.若有些粒子在云室中運動時的能量減少忽略不計，則可以看到圖1中的圓形軌跡，若有的粒子在運動過程中能量降低明顯，則速度減小，半徑減小，軌跡將呈現(xiàn)圖1中的螺旋形曲線［1］.

帶電粒子在施加勻強磁場的云室中做螺旋線運動時，若將云室氣體對帶電粒子的作用力看成是與粒子運動方向相反的氣體阻力，同時忽略帶電粒子的重力，那么粒子的運動可視為在洛倫茲力和云室氣體阻力共同作用下的螺旋線運動.那么帶電粒子的螺旋線運動軌跡是何種螺旋線呢？又具有什么樣的運動特征呢？在牛頓力學中，我們熟知物體的運動是由受力情況和初速度共同決定的，下面將以此為依據(jù)，從力和運動的角度對帶電粒子在云室中的螺旋線運動進行探析.

圖1 螺旋線曲線

2 螺旋線運動探析

如圖2所示，粒子的質量為m，帶電量為＋q，粒子進入云室的初速度為v0，取帶電粒子在云室中運動平面為xOy平面，以初速度v0的方向為x軸，垂直于v0方向為y軸建立直角坐標系.勻強磁場大小為B，方向垂直于xOy平面向里，這里假設粒子受到與速度方向相反的云室氣體阻力f的大小恒定，下面對此種最簡單的受力情況下粒子的運動進行分析.

圖2 受力情況

2.1 運動特征

2.2 軌跡方程

粒子在運動過程中的一般位置P的速度方向和受力情況如圖2所示，將速度v沿坐標軸分解為

對速度按時間進行積分可得出任意位置P的坐標，即小球運動軌跡的參數(shù)方程.

解得

此式為圓的漸開線的參數(shù)方程，［2］其中r0為粒子做漸開線運動初始時刻的曲率圓半徑，R為漸開線對應的基圓半徑，基圓圓心為（R，r0），基圓方程為（x－R）2＋（y－r0）2＝R2.

2.3 漸開線的性質

圖3

在幾何中可借助圓柱體和細線作出圓的漸開線，如圖3所示，將圓柱體垂直固定在一個平面上，在圓柱體的側面貼近水平面的部位固定一根細線，拉緊細線，讓細線繞圓柱在水平面內轉動且始終與圓柱相切，那么細線的外端在水平面內的軌跡就是漸開線，該圓柱體的底面稱為漸開線的基圓，細線稱為漸開線的發(fā)生線.從漸開線形成的過程可以看出，漸開線具有以下基本性質：

（1）漸開線上的任一點的速度與細線垂直且細線在轉動過程中始終與基圓相切，故漸開線上任意一點處的曲率圓的瞬時半徑r就是這一點到基圓切點間的細線長度，曲率圓的瞬時圓心即為細線與基圓的切點.

（2）細線在轉動過程中始終垂直于基圓的半徑R，那么細線轉過多大的角度，切點所對應的基圓半徑就轉動多大的角度，因此漸開線的瞬時半徑轉動的角速度等于切點所對應基圓的半徑轉動的角速度.

（3）細線沿基圓滾過的長度等于基圓上被滾過圓弧的長度，細線長度的變化量等于瞬心在基圓上移動的弧長，跟切點所對應基圓的半徑轉過的角度成正比，因此漸開線的瞬時半徑的變化量跟其轉過的角度成正比，如在漸開線上由M到N的過程中，rN＝rM－θR.

2.4 數(shù)值模擬

對應的基圓的半徑R＝3.6×10－3m，則軌跡方程為

對應基圓的方程為（x－3.6×10－3）2＋（y－0.114）2＝（3.6×10－3）2.

選取10－8s作為時間單位，10－3m作為坐標單位，繪制粒子運動軌跡圖的matlab程序如下.

圖4

運行程序得到如圖4所示圖像，形象地呈現(xiàn)了物體做圓的漸開線運動的螺旋線軌跡.

經(jīng)以上分析可知，粒子在受到與速度方向相反的恒定大小的阻力作用和垂直于速度的方向的與速度成正比的洛倫茲力作用時，粒子的運動軌跡是做圓的漸開線.洛倫茲力與速度成正比關系，可對上述結論進行推廣，當物體受到與速度方向相反的恒定大小的阻力作用并同時在垂直于速度的方向受到與速度成正比的線性力作用時，物體做的是圓的漸開線運動.此結論即為物體做圓的漸開線運動的充分條件.

3 阻力與速度有關時的運動情形

當云室氣體阻力與速度大小有關時，即阻力大小是速度大小的函數(shù)f＝f（v）時，粒子在洛倫茲力和氣體阻力作用下仍做螺旋線運動，可分析出螺旋線運動的一些運動特征，只是軌跡方程不再是圓的漸開線方程.

（3）在直角坐標系中螺旋線沿x、y方向的兩個分運動列牛頓第二定律的微分方程為

x方向和y方向的微分方程中都包含另一方向上的運動分量，這兩個方向的分運動是相互關聯(lián)的，彼此不再獨立，在直角坐標系中求解是困難的，需選用極坐標系進行求解.［3］

1 人民教育出版社.物理選修3-1［M］.北京：人民教育出版社，2010：100.

2 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007：282.

3 人民教育出版社.物理必修2教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2010：28－34.