李博峰，葛海波，沈云中

同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092

1 引 言

GNSS精密單點定位（PPP）在近十年來得到了迅速發(fā)展。不同于傳統(tǒng)的差分定位，精密單點定位只需要單臺接收機，利用精密星歷與精密鐘差，就能實現(xiàn)厘米級精度的位置服務。對于海上、沙漠等不具備設置基站的地方的定位服務，具有重要的應用價值［1］。影響PPP定位精度的因素有多種，其中定位模型是重要因素之一，因此，有必要對PPP的定位模型進行深入分析。

常用的PPP模型有無電離層組合、Uofc和非組合3種模型。其中，無電離層組合模型是最常用的模型［2－4］，該模型通過雙頻相位和偽距之間分別組成消除電離層影響的組合，即得到兩個無電離層組合觀測量。由Calgary大學高揚教授提出的Uofc模型［5］同樣是一種消除電離層影響的模型，與無電離層組合模型不同的是，除了采用兩個頻率相位觀測值構成的無電離層組合外，還采用了各頻率上的相位和偽距觀測值組成的無電離層組合。相對于無電離層組合模型，Uofc模型得到3個無電離層組合觀測量，保留了更多的信息，噪聲也較偽距無電離層組合有大幅度減小。對于無電離層組合模型與Uofc模型，都通過對觀測方程的組合消除電離層的影響，而實際應用中往往可以根據(jù)電離層模型及其物理特性來構造合理的電離層約束條件，從而增加觀測模型強度，提高模糊度固定以及定位效果。顯然在無電離層組合與Uofc模型中，由于電離層參數(shù)的消去使得無法對其施加約束條件。為了有效地利用電離層約束條件，近年來越來越多的學者建議采用基于原始觀測值的非組合 PPP模型［6－9］，文獻［7］比較了多種電離層模型對單頻PPP解算的影響；文獻［8］提出了利用電離層模型的先驗信息及其時空變化特性合理地估計電離層延遲量的方法，提高單頻PPP的解算效果；文獻［9］參數(shù)化L1頻率上的站星方向的電離層延遲，有效地避免了無電離層組合引起觀測噪聲放大的不利影響。目前，有研究人員基于L1和L2原始觀測值，將斜向電離層延遲作為參數(shù)進行估計，顧及電離層時空約束并將實時電離層模型生成的電離層延遲量作為觀測信息改善解算性能，能夠大大提高模糊度首次收斂時間［10］。

在等價性研究方面，文獻［11］利用空間和投影算子的概念證明了等價觀測中的部分等價性定理。也有學者對GPS觀測方程的不同差分方法和組合方法進行等價性研究［12－13］，并對其算法進行改進。雖然近年來大量文獻分析了在這3種模型下PPP的模糊度固定及定位效果，但未有文獻對這3種模型從理論的角度做深入細致的比較分析。本文從模糊度固定的角度入手，采用模糊度精度因子詳細論述了這3種模型的相互關系，證明了非組合模型與Uofc模型的等價性；并分析了它們較無電離層組合模型的優(yōu)越性；此外，基于非組合模型，通過附加電離層約束條件引出了附電離層約束的非組合模型。最后，通過實例分析驗證了本文理論推證的正確性。

2 3種PPP模型

2.1 非組合模型

采用GPS雙頻接收機跟蹤m顆衛(wèi)星的單歷元非組合觀測方程如式（1）所示

2.2 Uofc模型

2.3 無電離層組合模型

無電離層組合模型是最常用的PPP模型，它采用兩個頻率間的相位和偽距觀測值分別構成無電離層組合，對應形式為

3 非組合與Uofc模型的等價性證明

為了證明非組合模型與Uofc模型的等價性，首先引出等價性原理。設有觀測模型

式中，未知向量x1和x2分別包含n－t和t個參數(shù)。采用最小二乘準則推導得到x1的估值為

若存在轉換矩陣TT，滿足TTA2＝0，且rank（T）＝n－t，則

由此得

4 非組合與無電離層組合模型比較

由于非組合模型與Uofc模型等價，筆者從模糊度固定效率的角度比較非組合模型與無電離層組合模型。在非組合PPP模型中，其非差模糊度包含了接收機端和衛(wèi)星端的偏差導致其不具有整數(shù)性。本文旨在比較3種PPP模型區(qū)別，重點通過分析模糊度的固定效果來分析3種模型的強度，因此，直接采用IGS發(fā)布的衛(wèi)星差分碼偏差產品和對應的UPD產品，并采用星間單差消除接收機端的偏差，從而實現(xiàn)PPP模糊度的整數(shù)固定。單歷元非組合星間單差模型的設計矩陣及其對應的協(xié)方差矩陣為

根據(jù)法方程可導出非組合單差模型求解的模糊度方差 －協(xié)方差矩陣，記為。

對于無電離層組合單差模型，也可類似導出相關法方程系數(shù)陣

以上推導說明無電離層組合模型無法同時求解兩個頻率的單差模糊度，即使求解無電離層組合模糊度，由于無電離層組合模糊度的波長過短（約6mm）也無法恢復其整數(shù)特性。為了公平地定量比較兩種模型求解模糊度的效果，筆者按照傳統(tǒng)的做法，假設寬巷模糊度已經固定，比較兩種模型固定窄巷模糊度的效果。令任一模型得到的模糊度方差 －協(xié)方差矩陣有分塊形式：＝類似于附約束條件平差，得到寬巷模糊度固定后的窄巷模糊度方差-協(xié)方差矩陣為［18］

5 附電離層約束的非組合模型

通常PPP采用無電離層組合模型或Uofc模型消除電離層影響，研究表明電離層延遲是制約模糊度快速固定的主要因素，為了提高模糊度的固定效率，往往可以根據(jù)電離層的外界信息或者物理機制引入適當?shù)碾婋x層約束，從而提高模糊度的固定效率［19］。然而，在無電離層組合模糊度和Uofc模型中，電離層延遲項通過組合消除，從而無法施加外界電離層約束。而非組合模型將電離層延遲作為參數(shù)估計，盡管它與Uofc模型等價，但該模型可附加外界電離層約束從而得到“電離層加權模型”，其單歷元星間單差模型如式（14）所示

6 試驗分析

上文理論部分已經論證了3種PPP模型的優(yōu)劣，證明了非組合模型與Uofc模型等價，且這兩種模型都優(yōu)于無電離層組合模型；此外，提出了附電離層約束的非組合模型，在給定適當?shù)碾婋x層先驗信息時，該模型具有更好的模型強度。為驗證理論的正確性，并定量分析各模型在固定模糊度方面的差別，使用24h采樣間隔為30s的GPS雙頻觀測數(shù)據(jù)，衛(wèi)星截止高度角為10°（在固定模糊度時，衛(wèi)星截止高度角取15°，即只有高度角大于15°的衛(wèi)星才固定其模糊度），取偽距和相位精度分別為10cm和1mm。

計算過程中，每隔60歷元計算一次，24h總共計算48次，圖1給出了這48次計算對應的可用衛(wèi)星數(shù)及相應的PDOP（position dilution of precision）值。每次計算采用不同的歷元數(shù)（如10、20、40和60個歷元）。由于試驗旨在分析幾種PPP模型固定模糊度的效率，在固定寬巷模糊度的基礎上，分析幾種PPP定位模型窄巷模糊度的固定效率。

模糊度成功概率是模糊度固定效果的重要指標，反映了浮點模糊度質量及其對應數(shù)學模型的強度。由于模糊度成功概率的計算極其復雜，通常采用不同的成功概率上下界逼近［20］，其中模糊度精度因子（ambiguity dilution of precision，ADOP）因其計算簡單且不隨模糊度整數(shù)變換而改變的優(yōu)點被廣泛使用［21］。ADOP的定義為

圖1 24h48次試驗對應的可用衛(wèi)星數(shù)及相應PDOP值Fig.1 The number of available satellites and PDOP for 48experiments over total 24h

首先比較無電離層組合模型和非組合模型固定模糊度的效果，圖2給出了這兩種模型采用不同歷元數(shù)計算浮點模糊度，從而計算得到ADOP，圖2（a）—（d）分別為每次計算采用10、20、40和60個歷元。分析圖2得出以下結論：首先，隨著歷元數(shù)由10增加至60，非組合模型和無電離層組合模型的ADOP值都明顯地減小，這是由于隨著觀測數(shù)量的增多，兩種模型的強度增強，求解的模糊度浮點解精度提高；其次，在采用相同歷元數(shù)據(jù)時，無電離層組合模型的ADOP比非組合模型的ADOP大，即無電離層組合模型較非組合模型求解模糊度的效果差，這也印證了第4節(jié)的理論分析。注意到圖2中的ADOP變化并不平穩(wěn)，某些ADOP值明顯大于其他ADOP值，結合圖1分析得出引起ADOP變化特征的主要因素是跟蹤衛(wèi)星數(shù)目和PDOP的變化。隨著衛(wèi)星數(shù)目增多，無電離層組合模型和非組合模型的ADOP值都變小，說明衛(wèi)星數(shù)目的增加導致模糊度固定效率的增加。通常情況下，衛(wèi)星數(shù)目的增多可能會導致模糊度的數(shù)量增加，一定程度上導致固定所有模糊度的成功概率減小［22－23］。但另一方面，衛(wèi)星數(shù)目的增多能改善定位模型的幾何構型，從而提高模糊度的固定效率；由于本文計算時采用geometry－based模型，從圖1中可以看出，隨著衛(wèi)星數(shù)目的增加，PDOP值相應減小，說明衛(wèi)星幾何構型的改善能提高模糊度的固定效率，使得ADOP值隨著衛(wèi)星數(shù)目的增加而減小。

圖2 無電離層組合模型與非組合模型采用不同歷元數(shù)計算得到的ADOP比較Fig.2 Comparison in ADOP between ionosphere－free model and uncombined model using different epochs

最后，從圖2中可以看到，非組合模型與無電離層組合的ADOP曲線隨著歷元數(shù)增加有接近的趨勢，因此，為了更加細致地比較無電離層組合模型和非組合模型隨著歷元數(shù)增加引起的模糊度固定效果，每次計算分別取10、15、20、…、60個歷元，即每給定歷元數(shù)，可計算得到48個ADOP值，對給定歷元數(shù)得到的48個ADOP值取平均后將無電離層組合模型的平均ADOP與非組合模型的平均ADOP做差，結果如圖3所示。從圖3中可以看到，當觀測歷元數(shù)較少時，非組合模型的模糊度固定效率相對于無電離層組合模型有較大差距，隨著觀測歷元數(shù)的增加，無電離層組合模型與非組合模型的模糊度固定效果的差距減小，這是由于隨著觀測量的累積，無電離層組合模型的浮點模糊度質量已經得到了很大的提高，使得非組合模型浮點模糊度較它差別較小。

圖3 無電離層組合與非組合模型在不同歷元數(shù)下的平均ADOP之差Fig.3 Differences in average ADOP between uncombined model and ionosphere－fee model under different epochs

為了比較非組合模型和附電離層約束的非組合模型的模糊度固定效果，以每次計算取60個歷元為例，對附電離層約束的非組合模型，通過給定不同的電離層先驗信息精度（σι＝0.5、5、10cm 和∞）來體現(xiàn)不同的電離層約束，比較不同電離層約束情況下的非組合模型的浮點模糊度ADOP值，結果如圖4所示。隨著電離層約束的增強，附電離層約束的非組合模型的ADOP值逐漸減小，模糊度的固定效率逐漸提高。當對電離層的約束很弱時，附約束條件的非組合模型等價于非組合模型。為了更清晰地比較不同電離層約束情況下非組合模型的模糊度的固定效果，對不同電離層約束下的ADOP值取平均值，結果如圖5所示。從圖5中可以清楚看到，隨著電離層的約束減弱，模糊度的固定效率逐漸降低，隨著電離層的約束減弱到一定程度時，模糊度的固定效率變化緩慢，直至與非組合模型相同。所以，對于附電離層約束的非組合模型，考慮電離層信息對定位結果的影響，在具有合理的電離層先驗信息的情況下，引入電離層約束，相比Uofc模型以及無電離層組合模型，能使精密單點定位的數(shù)學模型具有更好的模型強度。

圖4 不同電離層約束下的ADOPFig.4 ADOP under different ionospheric constraint

圖5 不同電離層約束下的平均ADOPFig.5 Mean ADOP under different ionospheric constraint

7 結 論

精密單點定位技術中，數(shù)學模型一般為無電離層組合模型、Uofc模型以及非組合模型。針對未有文獻對這3種模型從理論的角度做深入細致的比較分析，本文通過理論推導，詳細論述了這3種模型的相互關系，并從模糊度固定效率的角度分析驗證，得出以下結論。

（1）Uofc模型是在非組合模型的基礎上在等式兩邊分別左乘一個行滿秩矩陣而消除電離層信息，通過理論推導證明非組合模型等價于Uofc模型。

（2）模糊度固定方面，若已知寬巷模糊度，非組合模型和Uofc模型的模糊度固定效率要高于無電離層組合模型，因此非組合模型和Uofc模型要優(yōu)于無電離層組合模型。

（3）非組合模型相比于Uofc模型和無電離層組合模型在處理電離層信息方面，能更方便地引入電離層約束，在有電離層先驗信息的情況下，采用附電離層約束的非組合模型能改善模型強度，提高模糊度固定效率。

［1］ COLOMBO O L，SUTTER A W，EVANS A G.Evaluation of Precise，Kinematic GPS Point Positioning ［C］ ∥Proceedings of ION GNSS.Long Beach，California：［s.n.］，2004：21－24.

［2］ KOUBA J，HéROUS P.Precise Point Positioning Using IGS Orbit and Clock Products［J］.GPS Solutions，2001，5（2）：12－28.

［3］ GE M，GENDT G，ROTHACHER M，et al.Resolution of GPS Carrier－phase Ambiguities in Precise Point Positioning（PPP）with Daily Observations［J］.Journal of Geodesy，2008，82（7）：389－399.

［4］ HAO Ming，WANG Qingliang，CUI Duxin.Study on Fast Convergence Method in Precise Point Positioning［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，29（2）：88－91.（郝明，王慶良，崔篤信.GPS精密單點定位快速收斂方法研究［J］.大地測量與地球動力學，2009，29（2）：88－91.）

［5］ GAO Y，SHEN X.Improving Ambiguity Convergence in Carrier Phase－based Precise Point Positioning ［C］∥Proceedings of ION GPS.Salt Lake City：［s.n.］，2001：1532－1539.

［6］ ABDEL－SALAM M，GAO Y.Precise GPS Atmosphere Sensing Based on Un－differenced Observations［C］ ∥Proceedings of ION GNSS.Long Beach：［s.n.］，2004：933－940.

［7］ CHEN K，GAO Y.Real－time Precise Point Positioning Using Single Frequency Data［C］∥Proceedings of ION GNSS.Long Beach：［s.n.］，2004：1514－1523.

［8］ SHI C，GU S F，LOU Y D，et al.An Improved Approach to Model Ionospheric Delays for Single－frequency Precise Point Positioning［J］.Advances in Space Research，2012，49（12）：1698－1708.

［9］ ZHANG Baocheng，OU Jikun，YUAN Yunbin，et al.Precise Point Positioning Algorithm Based on Original Dualfrequency GPS Code and Carrier－phase Observations and Its Application［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（5）：478－482.（張寶成，歐吉坤，袁運斌，等.基于GPS雙頻原始觀測值的精密單點定位算法及應用［J］.測繪學報，2010，39（5）：478－482.）

［10］ LI X X，GE M R，ZHANG H P，et al.A Method for Improving Uncalibrated Phase Delay Estimation and Ambiguity－fixing in Real－time Precise Point Positioning［J］.Journal of Geodesy，2013，87（5）：405－416.

［11］ SUN Xiaogong.Equal Observation and GPS Differencial Positioning［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1992，21（1）：50－56.（孫效功.等價觀測與 GPS差分法定位［J］.測繪學報，1992，21（1）：50－56.）

［12］ SHEN Y Z，XU G C.Simplified Equivalent Represtation of GPS Observation Equations［J］.GPS Solutions，2007，12（2）：99－108.

［13］ SHEN Y Z，LI B F，XU G C.Simplified Equivalent Multiple Baseline Solutions with Elevation－dependent Weights［J］.GPS Solutions，2008，13（3）：165－171.

［14］ LI B F，TEUNISSEN PJG.GNSS Antenna Array－aided CORS Ambiguity Resolution［J］.Journal of Geodesy，2014，88（4）：363－376.

［15］ WEI Ziqing，GE Maorong.Mathmatical Model of GPS Relative Positioning［M］.Beijing：Publishing House of Surveying and Mapping，1998：56－82.（魏子卿，葛茂榮.GPS相對定位的數(shù)學模型［M］.北京：測繪出版社，1998：56－82.）

［16］ SCHAFFRIN B，GRAFAREND E.Generating Classes of Equivalent Linear Models by Nuisance Parameter Elimination［J］.Manuscripta Geodaetica，1986，11：262－271.

［17］ XU G C.GPS Data Processing with Equivalent Observation E－quations［J］.GPS Solutions，2002，6（1－2）：28－33.

［18］ LI B F，VERHAGEN S，TEUNISSEN PJG.Robustness of GNSS Integer Ambiguity Resolution in the Presence of Atmospheric Biases［J］.GPS Solutions，2014，18（2）：283－296.

［19］ LI B F，SHEN Y Z，F(xiàn)ENG Y M，et al.GNSS Ambiguity Resolution with Controllable Failure Rate for Long Baseline Network RTK［J］.Journal of Geodesy，2014，88（2）：99－112.

［20］ LI B F，VERHAGEN S，TEUNISSEN PJG.GNSS Integer Ambiguity Estimation and Evaluation：LAMBDA and Ps－LAMBDA［C］∥China Satellite Navigation Conference（CSNC）2013Proceedings.Wuhan：Springer，2013：291－301.

［21］ ODIJK D，Teunissen P J G.ADOP in Closed Form for a Hierarchy of Multi－frequency Single－baseline GNSS Models［J］.Journal of Geodesy，2008，82（8）：473－492.

［22］ VERHAGEN S，TEUNISSEN PJG，VAN DER MAREL H，et al.GNSS Ambiguity Resolution：Which Subset to Fix？［C］∥ Proceedings of IGNSS Symposium.Sydney，Australia：［s.n.］，2011.

［23］ TEUNISSEN PJG，JOOSTEN P，TIBERIUS C.Geometry－free Ambiguity Success Rates in Case of Partial Fixing［C］∥Proceedings of ION－NTM.San Diego：［s.n.］，1999：25－27.