吳傳俠,張敏,楊驍

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

軸對稱爆炸載荷作用下深埋圓形隧洞的準(zhǔn)飽和土動力響應(yīng)

吳傳俠,張敏,楊驍

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

考慮準(zhǔn)飽和土與隧洞彈性襯砌的非完整連接,基于Biot模型和彈性理論,研究了深埋圓形隧洞的準(zhǔn)飽和彈性土在軸對稱爆炸載荷作用下的動力響應(yīng).通過引入勢函數(shù)和Laplace變換,得到準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)在Laplace變換空間中動力響應(yīng)的解析解;借助Laplace逆變換的數(shù)值Crump法,得到了耦合系統(tǒng)的時程響應(yīng);分析了不同隧洞模型下準(zhǔn)飽和土的動力響應(yīng).結(jié)果表明:準(zhǔn)飽和土-殼體襯砌系統(tǒng)模型的土體響應(yīng)最小,而無隧洞襯砌準(zhǔn)飽和土模型的土體響應(yīng)最大;飽和度對土體位移和應(yīng)力影響較小,但對孔隙水壓力有較為顯著的影響;且隨著接觸面剛度的增大,準(zhǔn)飽和土體的徑向位移和環(huán)向應(yīng)力幅值均增大.

準(zhǔn)飽和土;隧洞襯砌;爆炸載荷;動力響應(yīng);Laplace變換

Key words:nearly saturated soil;tunnel lining;blasting load;dynamical response; Laplace transform

隨著城市的發(fā)展,各類地下隧洞設(shè)施如地鐵和電力管線等日趨增多,這些地下隧洞在為城市發(fā)展提供有力基礎(chǔ)支持的同時,也給城市安全帶來隱患.各類地下隧洞的破壞事故嚴(yán)重影響著城市生命線的安全,威脅人們的生命財產(chǎn),如2004年2月6日發(fā)生在莫斯科地鐵的爆炸造成150多人的傷亡.因此,爆炸載荷作用下地下隧洞的動力響應(yīng)研究具有重要的理論意義,相關(guān)研究成果可為隧洞的設(shè)計提供指導(dǎo).

在含隧洞土體力學(xué)性能研究中,較為簡單的模型是將土體視為單相介質(zhì),研究含隧洞單相土體的靜動力學(xué)性能[1-6].然而,土體是典型的多相介質(zhì).為此,基于飽和土的Biot模型[7-8], Xie等[9]分析了飽和土中半封閉隧洞的動力特性,楊驍?shù)萚10-11]研究了飽和粘彈性土-深埋圓形隧洞襯砌系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力特性,而徐長節(jié)等[12]建立了含球空腔的飽和粘彈性土動力方程,得到了穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng).利用積分變換法,Liu等[13]得到了內(nèi)水壓力下隧洞襯砌與圍巖動力相互作用的半解析解.Senjuntichai等[14]則研究了含圓形隧洞無限飽和多孔彈性介質(zhì)在隧洞徑向力作用下的瞬態(tài)動力響應(yīng),而劉干斌等[15]分析了含半封閉圓形隧洞的粘彈性飽和土動力響應(yīng),以及隧洞邊界透水性對土體動力響應(yīng)的影響.蔡袁強等[16]將襯砌等效為Flügge殼體,研究了簡化爆炸載荷下含圓形隧洞飽和土的動力響應(yīng).而Gao等[17]將襯砌視為彈性介質(zhì),解析研究了深埋圓形隧洞飽和彈性土的動力響應(yīng),揭示了不同載荷對土體動力響應(yīng)的影響.Andersen等[18]利用有限元和邊界元耦合法,建立了鐵路隧洞振動分析模型,并對三維和二維數(shù)值結(jié)果進行了對比分析.而Liu[19]利用有限元方法研究了爆炸載荷對地鐵隧洞造成的破壞和損傷,并進行了參數(shù)分析.

現(xiàn)實中的土體通常是由固、液、氣組成的三相混合體,絕對的單相土和飽和土是不存在的,土體孔隙中都或多或少含有氣體.對于地下水位線以下高飽和度的土體,采用準(zhǔn)飽和土模型[20]更為恰當(dāng)合理.王明洋等[21]結(jié)合爆炸波在準(zhǔn)飽和土中的傳播試驗,建立了一維平面爆炸波作用下準(zhǔn)飽和土的動力分析模型.Yang等[22-23]研究了飽和度對土體界面處SV波和P波反射的影響.忽略襯砌的影響,徐長節(jié)等[24]研究了含球空腔準(zhǔn)飽和粘彈性土的動力響應(yīng),而楊驍?shù)萚25]以及高華喜等[26]研究了含球空腔準(zhǔn)飽和粘彈性土的動力特性.可見,有關(guān)準(zhǔn)飽和土的動力響應(yīng)研究尚有待于進一步深入.

考慮土體與隧洞襯砌的非完整連接,將土體視為準(zhǔn)飽和彈性土,本工作研究了深埋圓形隧洞的準(zhǔn)飽和彈性土在軸對稱爆炸載荷作用下的動力響應(yīng).首先,通過引入勢函數(shù)和Laplace變換,分別得到了準(zhǔn)飽和土和彈性襯砌以及殼體襯砌在Laplace變換空間中的動力響應(yīng)通解;利用連續(xù)性條件及邊界條件,得到爆炸載荷作用下準(zhǔn)飽和彈性土和襯砌系統(tǒng)的位移、應(yīng)力以及孔隙水壓力等在Laplace變換空間中的解析解.而后,借助Laplace逆變換的數(shù)值Crump法[27]得到了耦合系統(tǒng)的時程響應(yīng),分析了不同隧洞模型下準(zhǔn)飽和土的動力響應(yīng)特性,探討了飽和度和非完整連接物性參數(shù)等對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響.

1 控制方程及通解

1.1 準(zhǔn)飽和土體的控制方程及求解

如圖1所示,設(shè)準(zhǔn)飽和彈性土體中有半徑為R1的無限長圓形隧洞,隧洞的彈性襯砌厚為h,即襯砌的內(nèi)外半徑分別為R1和R2,R2=R1+h.對于沿隧洞軸線發(fā)生爆炸的深埋圓形隧洞,可將準(zhǔn)飽和彈性土-隧洞襯砌系統(tǒng)的動力響應(yīng)視為軸對稱平面應(yīng)變問題.

當(dāng)土體飽和度Sr>90%時,空氣僅以氣泡的形式存在于孔隙水中,可將水-氣混合物視為均勻流體,此時的土體稱為準(zhǔn)飽和土[20].可采用Biot兩相多孔介質(zhì)理論描述準(zhǔn)飽和土的力學(xué)行為[24,28],而孔隙中水-氣混合流體的體積模量可近似為

式中,Kf表示孔隙中水-氣混合流體的體積模量,Kw表示孔隙水的體積模量,P0表示孔隙絕對壓力.

由Biot理論[7-8]可知,飽和彈性土體的動力控制方程如下:

式中,λS和μS為土骨架的表觀Lame常數(shù),USr為土骨架的徑向位移,Wr為孔隙混合流體相對于土骨架的徑向位移,n為孔隙率,ρ=(1?n)ρS+nρf為準(zhǔn)飽和土的表觀密度,ρf=Srρw為孔隙混合流體的密度,ρw和ρS分別為孔隙水和土骨架的真實密度,b為反映準(zhǔn)飽和土體滲透性的參數(shù).若KS和Kb分別為土顆粒和土骨架的體積模量,則刻畫土骨架和孔隙混合流體壓縮性的參數(shù)α和M可分別表示為[24,26]

孔隙水壓力Pf的狀態(tài)方程如下:

而準(zhǔn)飽和土體的本構(gòu)方程如下:

式中,σSi(i=r,θ)為準(zhǔn)飽和土體總應(yīng)力.考慮到初始條件

圖1 準(zhǔn)飽和彈性土中的圓形隧洞Fig.1 Circular tunnel in nearly saturated elastic soil

對控制方程(2)的時間變量t進行Laplace變換,并引入如下無量綱變量和參數(shù):

可得Laplace變換空間中的控制方程如下:

引入2個標(biāo)量勢函數(shù)

則運動控制方程(8)可進一步寫為

式中,

利用Bessel函數(shù)的漸近性質(zhì),并注意到條件USr→0(r→∞),可得方程(10)的通解為

式中,B1和B2為待定系數(shù),Kn(η)為n階第二類變形Bessel函數(shù),且參數(shù)為

將通解(12)代入方程(10)中的第二個方程,可得

于是,在Laplace變換空間中土骨架的徑向位移USη和孔隙混合流體的相對徑向位移為

這樣,利用式(4)和(5)可得Laplace變換空間中準(zhǔn)飽和彈性土總應(yīng)力和孔隙水壓力為

1.2 彈性襯砌的控制方程及求解

將襯砌視為彈性體,則其軸對稱平面應(yīng)變的運動方程如下:

式中,ULr為襯砌的徑向位移,ρL為襯砌的密度,而λL和μL為襯砌的Lame常數(shù).注意到襯砌的初始條件

引入如下無量綱變量和參數(shù)

則運動方程(17)的Laplace變換如下:

式中,In(η)為n階第一類變形Bessel函數(shù),B3和B4為待定系數(shù).

由彈性襯砌的本構(gòu)方程可得襯砌的徑向應(yīng)力σLr和環(huán)向應(yīng)力σLθ分別為

1.3 殼體襯砌的控制方程及求解

若將襯砌視為Flügge柱殼體,則其軸對稱運動方程[16]如下:

式中,EL為襯砌的彈性模量,νL為襯砌的泊松比,Qa為襯砌的外部徑向凈壓力.引入無量綱量

則方程(10)在Laplace變換空間的解為

2 準(zhǔn)飽和土-襯砌系統(tǒng)的響應(yīng)

考慮襯砌內(nèi)壁對爆炸波的反射作用,采用爆炸載荷的冪函數(shù)形式(見圖2)[28]:

圖2 爆炸載荷模型Fig.2 Blast loading model

對隧洞周圍土體力學(xué)性能的研究通常采用3種不同的襯砌模型,即將襯砌等效為彈性介質(zhì)的土體-彈性襯砌耦合系統(tǒng)模型[4-5,10-11,17,28]、將襯砌等效為圓柱殼的土體-殼體襯砌耦合系統(tǒng)模型[1,2,9,16]和忽略襯砌效應(yīng)的無隧洞襯砌土體模型[2,12,14-15,24-25].

2.1 準(zhǔn)飽和土-彈性襯砌系統(tǒng)的響應(yīng)

對于準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)模型,若彈性襯砌與準(zhǔn)飽和土接觸面處為非完整的粘性連接,且接觸面不滲透,則接觸面處(r=R2)彈性襯砌與準(zhǔn)飽和土的連接條件[29]如下:

式中,Kr和Cr分別為非完整連接的剛度和阻尼.對式(28)進行Laplace變換可得

這里,Kr?和Cr?為剛度Kr和阻尼Cr的無量綱參數(shù),且

同時,隧洞襯砌內(nèi)邊界(r=R1)處的邊界條件為

將式(15),(16)以及式(21),(22)代入連接條件(29)和邊界條件(31),可得確定待定系數(shù)Bi(i=1,2,3,4)的線性代數(shù)方程組如下:

由方程(32)確定待定系數(shù)Bi(i=1,2,3,4)后,得到爆炸載荷作用下準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)在Laplace變換空間中動力響應(yīng)的解析解.為了得到該系統(tǒng)在時域中應(yīng)力、位移和孔隙水壓力等的瞬態(tài)動力響應(yīng),需對Laplace變換空間中的相應(yīng)物理量進行Laplace逆變換,這里采用Crump數(shù)值逆變換法[27].

2.2 準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌耦合系統(tǒng)的響應(yīng)

對于準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌耦合系統(tǒng),Laplace變換空間中殼體襯砌與準(zhǔn)飽和土接觸面處粘性連接的條件[26]如下:

將式(15),(16)以及式(25)代入連接條件(33),可得確定待定系數(shù)B1,B2以及Qa?.由此可得準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌耦合系統(tǒng)在Laplace變換空間中動力響應(yīng)的解析解.仍采用Laplace逆變換的Crump數(shù)值法[27]可得該系統(tǒng)在時域中的瞬態(tài)動力響應(yīng).

2.3 無襯砌準(zhǔn)飽和彈性土的響應(yīng)

對于無隧洞襯砌的準(zhǔn)飽和彈性土,有R1=R2,則Laplace變換空間中邊界條件變?yōu)?/p>

將式(15)和(16)代入式(34)可確定準(zhǔn)飽和彈性土的待定系數(shù)B1和B2,從而得到無隧洞襯砌準(zhǔn)飽和彈性土在Laplace變換空間中動力響應(yīng)的解析解,并可利用Laplace逆變換的Crump數(shù)值法[27]得到該系統(tǒng)在時域中的瞬態(tài)動力響應(yīng).

3 算例分析

3.13 種隧洞模型的準(zhǔn)飽和土動力響應(yīng)

為揭示準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌系統(tǒng)模型、準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌系統(tǒng)模型和無隧洞襯砌準(zhǔn)飽和彈性土模型在爆炸載荷式(26)作用下的動力響應(yīng)差異,選取如下參數(shù)[12,17,25]:

由于Kr?和Cr?較大,此時可認(rèn)為襯砌與準(zhǔn)飽和土在接觸面處為完整連接.

圖3～5給出了在爆炸載荷式(26)作用下3種隧洞模型中準(zhǔn)飽和土邊界(r=R2)處土體的無量綱徑向位移U?=μSUSr/(f0R2)、無量綱環(huán)向應(yīng)力σ?=σSθ/f0以及無量綱孔隙水壓力P?=Pf/f0隨無量綱時間t?的瞬態(tài)動力響應(yīng).可見,在3種模型中,徑向位移U?、環(huán)向應(yīng)力σ?和孔隙水壓力P?隨時間t?的響應(yīng)性態(tài)基本一致,但準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌系統(tǒng)模型振動響應(yīng)的幅度最小,準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌系統(tǒng)模型振動響應(yīng)的幅度次之,而無隧洞襯砌準(zhǔn)飽和彈性土模型振動響應(yīng)的幅度最大;徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?的最大峰值隨時間t?依次增加了約13%,而孔隙水壓力最大峰值分別增加了約7%和17%,且3種模型的響應(yīng)周期依次增大.可見,襯砌模型對隧洞附近準(zhǔn)飽和彈性土的動力響應(yīng)有較為明顯的影響.

圖3 3種隧洞模型的土體徑向位移Fig.3 Radial displacements of soil in three tunnel models

圖4 3種隧洞模型的土體環(huán)向應(yīng)力Fig.4 Circumferential stresses of soil in three tunnel models

圖5 3種隧洞模型的孔隙水壓力Fig.5 Pore water pressures of soil in three tunnel models

3.2 參數(shù)分析

圖6～8給出了當(dāng)飽和度Sr取不同值,而其他參數(shù)同式(35)時,在爆炸載荷式(26)作用下準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)模型土體邊界(r=R2)處的動力響應(yīng),其中Sr=1為飽和彈性土的響應(yīng).可見,隨著飽和度Sr的增大,土體徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?以及孔隙水壓力P?的響應(yīng)性態(tài)不變,但準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌系統(tǒng)與飽和土-彈性襯砌系統(tǒng)的響應(yīng)峰值有較明顯的差異.準(zhǔn)飽和土徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?以及孔隙水壓力P?的峰值小于相應(yīng)的飽和土響應(yīng)峰值,且隨著Sr的減小,響應(yīng)幅值減小,其中孔隙水壓力P?的幅值變化較為明顯.

圖6 不同Sr下徑向位移U?時程響應(yīng)Fig.6 Responses of radial displacement U?of soil with time t?for different values of Sr

圖7 不同Sr下環(huán)向應(yīng)力σ?時程響應(yīng)Fig.7 Responses of circumferential stress σ?of soil with time t?for different values of Sr

圖8 不同Sr下孔隙水壓力P?時程響應(yīng)Fig.8 Responses of pore water pressure P?with time t?for different values of Sr

圖9～11給出了當(dāng)邊界連接參數(shù)Cr?取不同值,而其他參數(shù)同式(35)時,在爆炸載荷式(26)作用下準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)模型準(zhǔn)飽和土體邊界(r=R2)處的動力響應(yīng).可見,當(dāng)Kr?=0,且Cr?=108時,徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?以及孔隙水壓力P?的峰值最大,這是因為此時邊界的阻尼較大,增強了準(zhǔn)飽和土和彈性襯砌的相互作用.同時,隨著Cr?的增大,土體的徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?以及孔隙水壓力P?的幅值均增大,但增幅不大.

圖9 不同Cr下徑向位移U?時程響應(yīng)Fig.9 Responses of radial displacement U?of soil with time t?for different values of Cr

圖10 不同Cr下環(huán)向應(yīng)力σ?時程響應(yīng)Fig.10 Responses of circumferential stress σ?of soil with time t?for different values of Cr

圖11 不同Cr下孔隙水壓力P?時程響應(yīng)Fig.11 Responses of pore water pressure P?with time t?for different values of Cr

圖12～14給出了當(dāng)邊界連接參數(shù)Kr?取不同值,而其他參數(shù)同式(35)時,在爆炸載荷式(26)作用下準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)模型準(zhǔn)飽和土體邊界(r=R2)處的動力響應(yīng).可見,當(dāng)Kr?=108,且Cr?=0時,徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?以及孔隙水壓力P?的峰值最大.并且,隨著Kr?的增大,土體的徑向位移U?和環(huán)向應(yīng)力σ?的幅值均增大,孔隙水壓力P?的幅值減小,但影響較小.

圖12 不同Kr下徑向位移U?時程響應(yīng)Fig.12 Responses of radial displacement U?of soil with time t?for different values of Kr

圖13 不同Kr下環(huán)向應(yīng)力σ?時程響應(yīng)Fig.13 Responses of circumferential stress σ?of soil with time t?for different values of Kr

圖14 不同Kr下孔隙水壓力P?時程響應(yīng)Fig.14 Responses of pore water pressure P?with time t?for different values of Kr

4 結(jié)論

本研究考慮準(zhǔn)飽和土與隧洞彈性襯砌的非完整接觸,采用Laplace變換得到了準(zhǔn)飽和彈性土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)在Laplace變換空間中動力響應(yīng)的解析解,并借助Laplace逆變換的數(shù)值Crump法得到了耦合系統(tǒng)的時程響應(yīng).通過參數(shù)分析,對比了不同隧洞模型對準(zhǔn)飽和土動力響應(yīng)的影響,得到以下結(jié)論.

(1)在爆炸載荷作用下,準(zhǔn)飽和彈性土-殼體襯砌系統(tǒng)模型的土體響應(yīng)最小,而無襯砌隧洞準(zhǔn)飽和彈性土模型的土體響應(yīng)最大,且殼體襯砌、彈性襯砌和無襯砌系統(tǒng)的響應(yīng)周期依次增大.

(2)準(zhǔn)飽和土與飽和土的動力響應(yīng)有較為顯著的差別.隨著飽和度的增大,準(zhǔn)飽和土的響應(yīng)幅值增大,但增幅有限,而孔隙水壓力的增幅較為明顯.

(3)非完整接觸邊界的阻尼和剛度對土體的動力響應(yīng)有所影響,隨著剛度和阻尼的增大,土體的徑向位移和環(huán)向應(yīng)力幅值均增大,但增幅較小.

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Dynamical response of nearly saturated soil with deeply buried circular tunnel under axisymmetrical blasting load

WU Chuan-xia,ZHANG Min,YANG Xiao
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Considering the non-complete connection between nearly saturated soil and elastic lining of a tunnel,the dynamical responses of nearly saturated elastic soil with a deeply buried circle tunnel subject to an axisymmetrical blasting load are investigated based on the Biot model and elasticity.Analytical solutions of dynamical responses of nearly saturated soil and elastic lining coupled system in the Laplace transform space are derived with the potential function and Laplace transform.The time-history responses of the coupled system are obtained with a numerical Crump method of the inverse Laplace transform.The dynamical responses of nearly saturated soil with different tunnel lining models are analyzed.It is shown that the soil responses of nearly saturated soil and a shell lining system are minimal,while the soil responses of nearly saturated soil without lining are maximal.Influence of the degree of saturation on displacement and stress of the soil is weak,but has evident influence on pore water pressure.Furthermore,the magnitudes of radial displacement and circumferential stress increase as stiffness of the interface increases.

O 327;TU 435

A

1007-2861(2015)05-0617-14

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.02.005

2014-03-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(10872124)

楊驍(1965—),男,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向為結(jié)構(gòu)加固與修復(fù)、土-樁-結(jié)構(gòu)相互作用等. E-mail:xyang@shu.edu.cn