白瑞蒲，陳雙雙，王偉東，程榮

（河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002）

1 預(yù)備知識(shí)

冪零李代數(shù)、可解李代數(shù)是2類非常重要的李代數(shù)［1］，并在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.任意一個(gè)李代數(shù)具有一個(gè)極大的可解理想與冪零理想，分別稱為李代數(shù)的可解根基與冪零根基.可解根基為零的李代數(shù)，為半單李代數(shù).在復(fù)數(shù)域上的半單李代數(shù)已經(jīng)得到了較完善的結(jié)構(gòu)理論.因此，可解李代數(shù)與冪零李代數(shù)是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論研究中的重要對(duì)象，且其研究結(jié)果備受關(guān)注［2－5］.完備李代數(shù)［6－8］是一類中心為零，所有導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子的李代數(shù).完備李代數(shù)在對(duì)稱空間上有著重要的應(yīng)用.本文主要研究一類以特殊的冪零李代數(shù)，以Filiform 李代數(shù)為冪零根基的可解李代數(shù)L，通過(guò)其內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)adL、導(dǎo)子代數(shù)DerL 的結(jié)構(gòu)研究，證明此類可解李代數(shù)是完備李代數(shù)，且還討論了adLN 與adN的結(jié)構(gòu).假定所討論的李代數(shù)是復(fù)數(shù)域上的有限維李代數(shù).首先介紹要用到的幾個(gè)概念.

設(shè)L 是域K 上的李代數(shù)［1］.如果L 的線性變換D：L→L 滿足：D［x，y］＝［Dx，y］＋［x，Dy］，?x，y∈L，則稱D 是L 的一個(gè)導(dǎo)子.L 的導(dǎo)子全體記為DerL，是線性李代數(shù).對(duì)任意x∈L，ad（x）：L→L，ad（x）（y）＝［x，y］，?y∈L，稱為內(nèi)導(dǎo)子，ad x 全體記為ad L 稱為L(zhǎng) 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)，內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)ad L 是導(dǎo)子代數(shù)DerL 的理想.

如果李代數(shù)L 的中心是零，且導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子，則稱其為完備李代數(shù).

設(shè)L 是m－維冪零李代數(shù)，如果L 具有性質(zhì)dimLi＝m－i－2，則稱L 是Filiform 李代數(shù).

設(shè)N 是滿足如下條件的m－維的Filiform 李代數(shù).根據(jù)乘法表直接計(jì)算可得冪零李代數(shù)N 的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)ad N 的一組基為

N 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)的維數(shù)為m－1，dimad N＝m－1＜dim N＝m.

在文獻(xiàn)［8］中，利用李代數(shù)與3－李代數(shù)［3］的結(jié)構(gòu)關(guān)系證明了以N 為冪零根基的可解李代數(shù)僅有一類.

引理1［8］設(shè)L 是（m＋k）－維的以N 為冪零根基的可解李代數(shù)（k＞0），則一定有k＝1.且在同構(gòu)的意義下，有且僅有如下一類：

其中3≤i≤m，4≤j≤m－1，2≤k≤m，｛e1，…，em，em＋1｝是L 的一組基.

2 主要結(jié)論

首先研究引理1中李代數(shù)L 的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)與導(dǎo)子代數(shù).對(duì)L 的任意一個(gè)導(dǎo)子D：L→L，設(shè)D（ei）＝，即D 在基｛e1，…，em，em＋1｝下的矩陣形式為，其中Eij為（m＋1）×（m＋1）－階矩陣單位，即第i行第j 列的元素為1，其余元素為0的（m＋1）×（m＋1）－矩陣.

定理1 設(shè)L 是引理1中（m＋1）－維的以N 為冪零根基的可解李代數(shù)，且在一組基｛e1，…，em，em＋1｝下的乘法表為式（1），則dimad L＝m＋1，L 的內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)為

所以L 同構(gòu)于L 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)ad L.

證明：首先由乘法表（1）直接計(jì)算可得對(duì)4≤i≤m－1（省略計(jì)算過(guò)程），

由上述計(jì)算可知｛ad（e1），ad（e2），…，ad（em＋1）｝線性無(wú)關(guān)，所以得到｛ad（e1），ad（e2），L，ad（em＋1）｝是內(nèi)導(dǎo)子代數(shù)的一組基.ad：L→ad L 是代數(shù)同構(gòu).證得L 同構(gòu)于L 的內(nèi)導(dǎo)子ad L.證畢.

定理2 設(shè)L 是引理1中（m＋1）－維的以N 為冪零根基的可解李代數(shù)，在一組基｛e1，L，em，em＋1｝下的乘法表（1），則L 的任意一個(gè)導(dǎo)子D：L→L 在基｛e1，…，em，em＋1｝下的矩陣為

所以，導(dǎo)子代數(shù)等于L 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)，即 Der L＝ad L.

對(duì)任意4≤j≤m－1，

對(duì)任意2≤k≤m，

得到a1j＝－am＋1j＋1＋（m－j＋2）a1j，2≤j≤m－1.am＋1m＋1＝0，a1m＋1＝0，a1m＝0，

總結(jié)上述結(jié)論得到

所以導(dǎo)子在基｛e1，…，em，em＋1｝下的矩陣形式為式（2），即

導(dǎo)子代數(shù)的維數(shù)為m＋1.Der L＝ad L.證畢.

定理3 設(shè)L 是引理1中以N 為冪零根基的（m＋1）－維可解李代數(shù)，則L 是完備李代數(shù).

證明：由定理1和定理2可知，Der L＝ad L.為證明L 是完備李代數(shù)，下面證明L 的中心為零.因?yàn)長(zhǎng) 以N 為冪零根基，所以如果z是中心元，一定有z∈N.設(shè)，則由乘法表（1），可知［e1，z］＝得到z＝a1e1＋a2e2.再由，且m≥5，得到a1＝a2＝0，因此，z＝0.證得L 是完備李代數(shù).證畢.

定理4 設(shè)L 是以N 為冪零根基的（m＋1）－維可解李代數(shù)，則ad L 由｛ad（e1），ad（e2），L，ad（em）｝張成的子代數(shù)是 與N 同 構(gòu) 的Filliform 李 代 數(shù)，且 是Der L 的 冪 零根基.

證明：由定理3可知，L 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)同構(gòu)于L，L 的冪零根基N ＝Fe1＋…＋Fem同構(gòu)于導(dǎo)子李代數(shù)Der L 的冪零根基Der L 的冪零根基為可得結(jié)論.證畢.

由定理4可知，李代數(shù)L 的一些內(nèi)導(dǎo)子構(gòu)成的李代數(shù)adLN 與L 的冪零根基N 同構(gòu).但是，F(xiàn)iliform李代數(shù)N 的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)ad N 與N 不同構(gòu).因此，adLN 與adNN＝ad N 不同構(gòu).

［1］ HUMPHREYS J E.Introduction to Lie algebras and representation theory［M］.New York：Springer－Verlag，1972.

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