(1.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；2.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

·基礎(chǔ)學(xué)科·

第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的性質(zhì)及譜分解

胡 艷1，陸亞哲2

(1.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；2.文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

給出第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的概念及一些基本性質(zhì)。利用第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的特征值和非奇異矩陣的充要條件，得出第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的譜分解。

第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣；非奇異；譜分解

循環(huán)矩陣、r-循環(huán)矩陣、r-置換因子循環(huán)矩陣都是有趣的特殊矩陣，這些特殊的矩陣在編碼理論、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)時(shí)序分析等諸多方面都有廣泛的應(yīng)用，關(guān)于這些循環(huán)矩陣的概念和性質(zhì)在文獻(xiàn)[1-4]中都有涉及。文獻(xiàn)[4]研究了r-循環(huán)矩陣的特征值問(wèn)題，文獻(xiàn)[5-10]研究了第二類(lèi)r-循環(huán)矩陣的性質(zhì)及對(duì)角化、塊置換因子循環(huán)矩陣的問(wèn)題；但目前關(guān)于本文給出的第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的相關(guān)研究卻未見(jiàn)報(bào)道。

1 基本概念

定義1[1]稱一個(gè)n階置換矩陣P為基本置換因子循環(huán)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)Pn=En，這里n是滿足該式的最小正整數(shù)。

定義2 設(shè)P為滿足定義1的n階基本置換因子循環(huán)矩陣，對(duì)于Mn中的矩陣πr如果滿足

定義3 設(shè)πr∈PrCMn,對(duì)于Mn中的矩陣A,存在多項(xiàng)式

f(x)=a0+an-1x+an-2x2+…+a1xn-1，

稱f(x)為A的伴隨多項(xiàng)式。

定義4[2]若n階矩陣P∈Cn×n滿足條件P2=P,則稱P為冪等矩陣。

引理1[7]AT與A有相同的特征值。

引理2[7]vandermonde矩陣

的逆矩陣存在，且

其中ω是n次本原單位根，θωj(0≤j≤n-1)是xn-r=0的n個(gè)不同的根。

2 主要結(jié)果

2.1基本性質(zhì)

性質(zhì)1 若πr為滿足定義2中的n階第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣，對(duì)于Mn中的矩陣A,若A∈PrCMn,則πrA=Aπr。

證明因?yàn)锳∈PrCMn,由定義可得

則

性質(zhì)2 設(shè)矩陣K1,K2∈PrCMn,則K1+K2=K2+K1∈PrCMn,K1K2=K2K1∈PrCMn。

故K1+K2仍是πr的多項(xiàng)式，即K1+K2∈PrCMn。

則K1K2仍是πr的多項(xiàng)式，因而K1K2∈PrCMn。

性質(zhì)3A∈PrCMn可逆，則A-1∈PrCMn。

構(gòu)造方程組

(1)

因?yàn)榫仃嘇可逆，所以方程組(1)有唯一解x0,xn-1,xn-2,…x1。且由方程組(1)可得

(2)

由式(2)可得

因此X為矩陣A的逆矩陣A-1,且A-1也是第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣。

2.2譜分解

定理1 設(shè)A∈PrCMn則A的特征值λj=f(θωj)=a0+an-1(θω)+…+a1(θωn-1)n-1,a0,a1,…,an-1是A的第一行元素(ai0,ai1,…,ain-1)對(duì)于置換矩陣πr的一個(gè)重排，其中ω是n次本原單位根，θωj(0≤j≤n-1)是xn-r=0的n個(gè)不同的根,f(x)=a0+an-1x+…+a1xn-1。

由特征值xi可求出相應(yīng)的特征向量

令T=(T0,T1,…Tn-1)，即

所以T-1πrT=diag(x0,x1,…,xn-1)=diag(θ,θω,…，θωn-1)；

所以A的特征值是λi=f(θωi)。

推論1 若A∈PrCMn,且A=Percirpr(a0,a1,…，an-1),則A非奇異的充要條件是f(θωi)≠0(i=0,1,2,…,n-1)。其中第一行元素為(a0,a1,…,an-1)的第二類(lèi)置換因子循環(huán)矩陣A記為A=Percircr(a0,a1,…,an-1)。

此推論易證。

定理2 設(shè)A∈PrCMn,并且有n個(gè)互異特征值f(λ0),f(λ1),…,f(λn-1),則A可對(duì)角化的充分必要條件是，存在n個(gè)冪等矩陣P0,P1,…Pn-1滿足:

2)PiPj=0,當(dāng)i≠j時(shí)；

可以得到

因而Pi是冪等矩陣。

令X=(X0,X1,…,Xn-1),Y=(Y0,Y1,…,Yn-1)。

通過(guò)驗(yàn)證可得：Y是X的逆矩陣，所以

可得

故A與對(duì)角矩陣相似，因而A可對(duì)角化。

必要性：由πr的特征多項(xiàng)式xn-r,可得πr有n個(gè)互不相同的特征值λ0,λ1,…λn-1,從而可以得出對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

由定理1可知，A的特征值為f(λo),f(λ1),…,f(λn-1)。

由引理3可知，AT的特征值也為f(λo),f(λ1),…,f(λn-1)。

同理可得AT的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量為

令

很容易驗(yàn)證：Pi滿足1)、2)、3)

由

從而可得到

由引理4可得

通過(guò)定理2,可得出求第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣的譜分解的一般步驟：

1)由置換因子循環(huán)矩陣A∈PrCMn,找出πr,得到特征多項(xiàng)式f(x)；

2)求出特征值，進(jìn)而求出A特征向量以及左特征向量；

3)得到Pi，進(jìn)而求出A的譜分解。

解：由

可得A是第二類(lèi)r-置換因子循環(huán)矩陣，且r=1。

所以

進(jìn)而求出特征向量分別為：

同理可以求得AT的特征向量分別為：

即

所以

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(編校：葉超)

CharactersandSpectralDecompositionOftheSecondKindofr-permutationfactorCirculantMatrix

HU Yan1, LU Ya-zhe2

(1．DepartmentsBasicCourses，Xi’anPeihuaUniversity,Xi’an710125China；2.CollegeofMaths,WenshanUniversity,Wenshan610031China)

The concept and some characters of the second kind of r-permutation factor circulant matrix are given. Based on the Eigenvalues and the necessary and sufficicent condition of nonsingularity of the second kind of r-permutation factor circulant matrix, sepectral decomposition of the second kind of r-permutation factor circulant matrix is obtained.

the second kind of r-permutation factor circulant matrix ; nonsingularity; spectral decomposition

2014-10-07

國(guó)家自然科學(xué)基金(61473239);文山學(xué)院科研基金項(xiàng)目(14WSY01)

胡艷(1984—)，女，助教，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚怼?/p>

O151

：A

：1673-159X(2015)03-0083-06

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.03.017