李偉康

摘 要：當(dāng)對兩個類似對象或兩個相似過程進行比較時，有一類問題比較麻煩。針對被比較的物理量，這類問題中一般有兩個因素共同對其產(chǎn)生影響，往往它們產(chǎn)生的影響又是相悖的，從而使答題者有種“亂花漸欲迷人眼”的感覺。本文將針對這類試題提出一種獨到的分析思路，以供同行們參考。

關(guān)鍵詞：求同尋異；雙變量；比較；旋轉(zhuǎn)秋千；摩擦生熱；電荷運動；空氣阻力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）5-0049-3

例1 （2013年江蘇卷）如圖1所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是（ ）

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的纜繩所受的拉力小

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圖1 旋轉(zhuǎn)秋千

解析 顯然座椅A、B的角速度大小相等，B距離轉(zhuǎn)軸更遠些，線速度和加速度也都更大些。又因為兩者質(zhì)量相等，所以B所需向心力更大些。

設(shè)纜繩與豎直方向的夾角為θ，則：

mgtanθ=mω2r （1）

由于rB>rA，

所以θB>θA，

而豎直方向上滿足FTcosθ=mg，

所以FTB>FTA，答案為選項D。

然而，有些同學(xué)對此解析提出了自己的疑議，為什么座椅A、B在運動過程中不可能呈現(xiàn)如圖2所示的空間關(guān)系呢？

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圖2 分析圖

此時，rA>rB且θA>θB，是基本滿足（1）式的。

于是，筆者便借機讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)方法證明此種情況是不會發(fā)生的。學(xué)生思考后確實給出了證明，較為繁瑣，此處不再贅述。

那么，有什么更好的方法，說明此種情況不會發(fā)生呢？

讓我們首先來進行“求同”分析：即假想把座椅A、B系于同一位置，則顯然有rA=rB，θA=θB。在此基礎(chǔ)上把系座椅B的位置外移一些，進行“尋異”分析：由于rB變大，由（1）式自然得出θB隨之變大，從而導(dǎo)致θB>θA，即圖2所示情況不會發(fā)生，而應(yīng)該是圖3所示情況。

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圖3 秋千旋轉(zhuǎn)圖示

例2 （2010年江蘇卷）如圖4所示，平直木板AB傾斜放置，板上的P點距A端較近，小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小，先讓物塊從A由靜止開始滑到B。然后，將A著地，抬高B，使木板的傾角與前一過程相同，再讓物塊從B由靜止開始滑到A。上述兩過程相比較，下列說法中一定正確的有（ ）

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圖4 物塊下滑圖

A.物塊經(jīng)過P點的動能，前一過程較小

B.物塊從頂端滑到P點的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，前一過程較少

C.物塊滑到底端的速度，前一過程較大

D.物塊從頂端滑到底端的時間，前一過程較長

解析 本題較難判斷的是選項B，其他選項此處不再分析。摩擦生熱的公式為Q=fs相。然而，由A到P和由B到P兩過程相比，前一過程的摩擦力較大，位移卻較小，似乎很難判斷兩過程中產(chǎn)生熱量多少。

下面進行“求同”分析：設(shè)木板中點為O，則A到O和由B到O兩過程相比，位移大小相同，而前者的摩擦力較大，所以前一過程產(chǎn)生的熱量多些。由此可以得知兩過程產(chǎn)生熱量相等的位置應(yīng)位于O點上方，設(shè)為Q點。

現(xiàn)在可以“尋異”了：

（1）若P點剛好也位于Q點，則兩過程產(chǎn)生的熱量相等；

（2）若P點位于Q點上方，則前一過程產(chǎn)生的熱量少；

（3）若P點位于Q點下方，則前一過程產(chǎn)生的熱量多。

由于題中只提到“P點距A端較近”，不知道P點與Q點的位置關(guān)系，故兩過程產(chǎn)生熱量多少關(guān)系不確定。

例3 如圖5甲所示， 在x軸上有兩個固定的點電荷Q1、Q2，現(xiàn)有一個點電荷q（電性未知）以一定的初速度沿x軸正方向運動（只受電場力作用），其v-t圖像如圖5乙所示，q經(jīng)過a、b兩點時速度分別為va、vb。則以下判斷正確的是（ ）

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圖5 例3題意圖示

A.Q2帶負電且電荷量小于Q1

B.b點的場強比a點的場強大

C.q在a點的電勢能小于在b點的電勢能

D.q一定帶正電

解析 本題很容易判斷出選項A、C是正確的，因b處加速度為零，故場強為零，選項B錯誤，但選項D較難分析。

學(xué)生很容易進行如下分析：由a到b的過程中，q做減速運動，受到的合力沿x軸負方向，若q帶正電，Q2對其的吸引力應(yīng)大于Q1對其的排斥力。雖然Q2Q2，好像也可以實現(xiàn)。從而得知q的電性是不確定的這一錯誤結(jié)論。究其原因，是因為庫侖力受到電荷量和距離雙變量共同影響，而學(xué)生這種定性并沒有厘清這種關(guān)系，再加上沒有對后面過程進行分析，從而給出了片面的結(jié)論。

本題我們依然先進行“求同”分析：顯然，在b點Q1、Q2對q的作用力大小相等，在這個共同點基礎(chǔ)上分析就方便多了。

然后再進行“尋異”分析：逆向分析q由b向a的運動，q在做加速運動，表示合力沿x軸負方向?，F(xiàn)在設(shè)想q由b運動到了b到Q2的中點，即Q2對其的作用力變?yōu)樵瓉淼乃谋?，而此時q到Q1的距離卻還大于原來的一半，即Q1對q的作用力比原來的四倍小，合力與此時Q2對q的作用力方向相同，沿x軸負方向，q一定帶正電。選項D也正確。

例4 （2014年重慶卷）以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受的空氣阻力可忽略，另一個物體所受的空氣阻力大小與物體速率成正比。下列用虛線和實線描述兩物體運動的v-t圖像（如圖6所示）可能正確的是（ ）

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A B

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C D

圖6 兩物體運動的v-t圖像

解析 本題很容易排除A選項，但對B、C、D選項的判斷不少學(xué)生顯得不知所措。實際上，只要從“求同”出發(fā)，很容易發(fā)現(xiàn)在兩個物體的速度均為零時，它們的加速度均為重力加速度，是相等的，而只有D選項中當(dāng)速度為零時，圖線的斜率相等，所以正確的是D選項。

本題若追加問題：兩物體哪個先落回到出發(fā)點？由于受到初速度大小和空氣阻力變化雙變量的共同影響，是很難判斷運動時間長短的。然而，在“求同”的基礎(chǔ)上也是很好分析的了。如圖7所示，設(shè)受空氣阻力的物體甲初速度為v甲，并令不受空氣阻力的物體乙初速度為v0時，兩物體運動時間相等，同時落回。則由“尋異”分析易知，當(dāng)v乙>v0時，t乙>t甲，甲先落回；當(dāng)v乙

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圖7 v-t關(guān)系圖

（欄目編輯 陳 潔）