董光順

摘 要：基于同源帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典模型，以高考?jí)狠S真題為例，回顧并探討了處理抽象磁場(chǎng)難題時(shí)化抽象為具體的解題要點(diǎn)。同時(shí)，為充分開(kāi)發(fā)學(xué)生抽象思維與分析能力的教學(xué)資源，嘗試將最近兩年磁場(chǎng)壓軸題的考查熱點(diǎn)：“粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”等內(nèi)容與同源帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行融合，對(duì)開(kāi)辟粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的命題新領(lǐng)域做一點(diǎn)嘗試。

關(guān)鍵詞：磁場(chǎng)；同源粒子；規(guī)律；交變磁場(chǎng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）5-0067-5

1 回顧經(jīng)典：同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型及重要規(guī)律

由于同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)這一版塊的內(nèi)容極具思維內(nèi)涵且較為靈活，對(duì)學(xué)生的分析能力、抽象思維和數(shù)學(xué)能力均有較高要求，故在2011年以前，該內(nèi)容一度受到了壓軸試題命制者的青睞。通過(guò)分析，筆者發(fā)現(xiàn)同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)遵循很多經(jīng)典的規(guī)律，這類核心規(guī)律的應(yīng)用可將試題對(duì)抽象能力和數(shù)學(xué)能力的過(guò)高要求轉(zhuǎn)移到對(duì)分析能力的考查上，有助于學(xué)生高效地處理此類問(wèn)題。

題型一：同源帶電粒子群在磁場(chǎng)中完成軌跡變形

重要規(guī)律1：如圖1所示，同源帶電粒子群自某位置以等大的速率從不同方向射入與運(yùn)動(dòng)軌跡等大的圓形磁場(chǎng)中，則所有粒子必從該圓形磁場(chǎng)的邊界平行射出。反之，相同粒子群從與運(yùn)動(dòng)軌跡等大的圓形磁場(chǎng)邊界平行射入，則所有粒子必從某一共點(diǎn)射出。

■

一點(diǎn)發(fā)散成平行 平行匯聚于一點(diǎn)

圖1

證明：如圖2所示，一帶電粒子①自坐標(biāo)原點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)1/4周期的軌跡如圖1所示（粒子水平出射）。對(duì)于朝任意方向射入的另一個(gè)同源粒子②（速度方向與水平方向的夾角為θ），設(shè)當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)至速度方向與粒子①平行時(shí)處于P（x，y）位置：x=Rsinθ，y=R-Rcosθ。由勾股定理得坐標(biāo)關(guān)系式x2+（y-R）2=R2。由此可知，粒子出射位置的坐標(biāo)集合（即，磁場(chǎng)邊界）是一個(gè)半徑r=■R，圓心位于（0，R）的圓形磁場(chǎng)。

■

圖2 證明圖示

反之，假設(shè)粒子自左向右平行進(jìn)入強(qiáng)度相同方向相反的磁場(chǎng)，則粒子的受力及運(yùn)動(dòng)規(guī)律與上述情況一致，粒子將匯聚于一點(diǎn)（原出發(fā)點(diǎn)），由此便可獲得規(guī)律一。

典例1 如圖3-甲所示，在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e）從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，現(xiàn)在xOy平面內(nèi)施加一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若要使這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x正方向運(yùn)動(dòng)，求符合題意的磁場(chǎng)最小面積。

邏輯分析：若要計(jì)算磁場(chǎng)的最小面積，應(yīng)確定磁場(chǎng)的邊界，而速度沿y軸正方向的粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)至x軸正方向?qū)儆谄D(zhuǎn)程度最大的，所以該粒子所做的1/4圓軌跡即為磁場(chǎng)的上邊界，再利用規(guī)律1，即可確定磁場(chǎng)的下邊界是（0，R）為圓心，半徑等于■的1/4圓弧，如圖3-乙所示。

■

甲 乙

圖3 例1圖示

答案：通過(guò)分析，磁場(chǎng)的最小范圍應(yīng)是以上兩個(gè)1/4圓弧的交集，其面積為Smin=πR2/2-R2=[（π-2）/2]（mv0）2/B2e2。

典例2 （2009·海南）如圖4-甲所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)重力。求：

（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（解析略）

（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

■

甲 乙

圖4 例2圖示

邏輯分析：第（2）問(wèn)分析中，若要使垂直于BC入射的粒子均從A點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，只需把握好粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡特點(diǎn)：“平行射入，最終匯聚于一點(diǎn)”，便知下邊界是與運(yùn)動(dòng)軌跡等半徑的1/4圓弧，如圖4-乙所示，其圓心位于D處，故磁場(chǎng)的最小面積為Smin=πa2/2-a2=[（π-2）/2]（mv0）2/B2e2。

評(píng)析：對(duì)于思維能力較為一般的學(xué)生，在確定磁場(chǎng)下邊界的過(guò)程中通常會(huì)陷入困境，一方面很難想象到磁場(chǎng)下邊界相應(yīng)的圖像類型；另一方面，很難快速地證明并確定該邊界的圓心及半徑。但如果考生能夠抓住與“規(guī)律1”相應(yīng)的關(guān)鍵信息：“從某點(diǎn)出發(fā)，最終平行射出”“平行射入，最終匯聚于一點(diǎn)”然后將規(guī)律1遷移應(yīng)用到此類問(wèn)題中，就能突破解題過(guò)程中所遇到的抽象思維和數(shù)學(xué)能力障礙。

題型二：同源帶電粒子群磁場(chǎng)中的分布范圍

常規(guī)方法：“旋轉(zhuǎn)圓法”是處理同源離子偏轉(zhuǎn)問(wèn)題最為常用的方法之一，是以粒子出射位置為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，將粒子運(yùn)動(dòng)的圓軌跡進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而獲得粒子群軌跡大致的分布圖樣。

典例3 （2009·全國(guó)新課標(biāo)）如圖5-甲所示，在0≤x≤a，0≤y≤a/2范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90 °范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：（1）速度大?。唬?）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

■

甲 乙

圖5 例3圖示

評(píng)析與解：為獲得最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，繞O點(diǎn)以半徑R（a/2

解得：v=（2-■）■，sinα=■。

重要規(guī)律2：同源帶電粒子群自某位置以等大的速率朝不同方向同時(shí)射入磁場(chǎng)，則粒子群在任意時(shí)刻均處于以出射點(diǎn)為圓心，任意粒子距出發(fā)點(diǎn)的距離為半徑的圓周上。如圖6所示，若某粒子自O(shè)點(diǎn)射出，則該粒子沿軌道①運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)時(shí)，同一時(shí)刻射入磁場(chǎng)的粒子此時(shí)均處于以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑的圓周I上。

■

圖6 規(guī)律2圖示

此規(guī)律系筆者的原創(chuàng)想法，提煉的意圖是希望在分析同源帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況時(shí)，與常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)圓法形成互補(bǔ)。并且，這一規(guī)律在確定某條件下粒子群位置時(shí)尤其便捷，可廣泛應(yīng)用于做圓周運(yùn)動(dòng)的同源粒子群經(jīng)過(guò)相同時(shí)間、運(yùn)動(dòng)相同弧長(zhǎng)、跨過(guò)相同弦長(zhǎng)、掃過(guò)相同圓心角以及在磁場(chǎng)中發(fā)生相同角度的速度偏向等情況下，粒子群所處的位置。

此外，從圖中很容易看出帶電粒子離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，粒子群位于以出發(fā)點(diǎn)為圓心，圓周軌跡的直徑為半徑的圓周上。

筆者以為，常用的旋轉(zhuǎn)圓法是通過(guò)作出一系列的運(yùn)動(dòng)軌跡后進(jìn)行的試探性分析，側(cè)重于“試誤”，而規(guī)律2的應(yīng)用則是基于問(wèn)題情景分析后進(jìn)行的思考，偏重于“遷移”。

典例4 （2010·全國(guó)I卷）如圖7-甲，在區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xOy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180 °范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻t1剛好從磁場(chǎng)邊界上P（■a，a）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m；（解析略）

（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。（解析略）

評(píng)析與解：針對(duì)第（2）問(wèn)，為快捷地確定沿y軸發(fā)射的粒子自P處離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，其他粒子所處的位置，可依據(jù)規(guī)律2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OP為半徑，做出圓弧如圖7-乙所示。虛線圓弧即為粒子群此刻（應(yīng)處）的位置，結(jié)合題中磁場(chǎng)的分布可知，弧線MN（圖中實(shí)線）表示的是此時(shí)刻仍處于磁場(chǎng)中的粒子。其中，M、N兩粒子處于磁場(chǎng)邊緣，由幾何關(guān)系知，P處粒子所對(duì)應(yīng)的出射速度vp與弦線OP之間的夾角為■、而P、M、N三處的粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角相同，即與OM、與ON的夾角均為■。所以速度與y軸的正方向的夾角范圍是■到■。

■

甲 乙

圖7 例4圖示

2 重組經(jīng)典：同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況再創(chuàng)造

從近兩年的壓軸試題上看，關(guān)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況的考查熱點(diǎn)似乎由同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)向了帶電粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況（2014·重慶、2014·山東、2013·江蘇），帶電粒子射擊目標(biāo)（2014·四川）等內(nèi)容的考查上。但筆者以為，同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)情況蘊(yùn)涵著非常豐富的思維內(nèi)涵，是培養(yǎng)學(xué)生分析能力的優(yōu)質(zhì)資源。另外，倘若命題人或教師在教學(xué)中對(duì)本塊內(nèi)容進(jìn)行挖掘，或?qū)⑵渑c交變磁場(chǎng)等熱點(diǎn)進(jìn)行融合，應(yīng)能柳暗花明，下面附兩例原創(chuàng)試題作引玉之用。

思路一：同源帶電粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

原創(chuàng)1 如圖8-甲所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形豎直邊框ABCD內(nèi)分布著垂直邊框強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向按圖8-乙所示的規(guī)律變化，t=0時(shí)，A處有一電子發(fā)射源在豎直平面內(nèi)以相同速率朝框內(nèi)的各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射了足夠多的電子，已知電子質(zhì)量為m，帶電量為e，不計(jì)電子重力以及電子間的相互作用力，試求：

（1）為使沿AD邊射出的電子垂直打在AB邊，則電子從A點(diǎn)射出時(shí)的速度大小范圍以及磁場(chǎng)變化周期T的最小值。

（2） 若調(diào)整電子發(fā)射速度及磁場(chǎng)變化周期，使得v=■，T=■，則電子打在邊框上的范圍是多少？

■

甲 乙

圖8 原創(chuàng)1圖示

評(píng)析與解：（1）依題意，在臨界條件下，粒子打在B點(diǎn)，即0

（2）當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)1/4圓周時(shí)，磁場(chǎng)反向，對(duì)于沿AD方向射出的粒子其軌跡如圖8-丙中①所示，利用旋轉(zhuǎn)圓法，以A為中心將①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)便可獲得粒子軌跡分布的大致圖樣，對(duì)于軌跡與AB相切的電子，設(shè)切點(diǎn)為E，∵ΔAOF≌ΔO1EF，∴OF=EF，O1F=AF，而OF+O1F=OO1=2R=L，故AF+FE=L，即E與B點(diǎn)重合。所以，電子打在A至B與B至C的邊框上。

■

丙

圖8

思路二：同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡分布以及偏轉(zhuǎn)后射擊特定目標(biāo)

原創(chuàng)2 如圖9-甲所示，在原點(diǎn)O處有一粒子源向坐標(biāo)系xOy平面的第一象限內(nèi)以大小為v0的速率朝各方向發(fā)射足夠多的帶正電的相同粒子，粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間t0后，在第一象限區(qū)域內(nèi)施加方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知粒子質(zhì)量為m，帶電量為q，不計(jì)重力以及粒子間的相互作用力。

（1）若發(fā)射速度與x軸正方向夾角為θ的粒子恰好垂直打在x軸上，試確定勻強(qiáng)磁場(chǎng)的強(qiáng)度。

（2）若所加磁場(chǎng)的強(qiáng)度與第（1）問(wèn)相同，試求未飛出磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所分布的面積大小。

（3）若施加磁場(chǎng)后又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t'（t'>■）后撤去磁場(chǎng)，可否使仍處在磁場(chǎng)中的粒子重聚于一點(diǎn)。若可以，則t'值為多少？寫(xiě)出粒子重聚的點(diǎn)的坐標(biāo)。

■

圖9 甲

評(píng)析與解：（1）作圖知，對(duì)以θ出射的粒子R=v0ttanθ=■，可得，B=■。

（2）對(duì)于運(yùn)動(dòng)軌跡與x、y軸分別相切的兩個(gè)粒子①、②，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9-乙實(shí)線所示，未飛出磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡分布于圖中的封閉區(qū)域（封閉區(qū)域由兩端的兩個(gè)半圓與中間的兩個(gè)扇形面積之差構(gòu)成），由幾何關(guān)系知β=θ、兩扇形半徑分別為r1=v0tsecθ-R，r2=v0tsecθ+R。

∴S=（■-2θ）·■·π（r■■-r■■）。

■

圖9 乙（下轉(zhuǎn)第74頁(yè)）

（上接第70頁(yè)）

（3）以O(shè)點(diǎn)為圓心，v0t為半徑作1/4圓?。ㄈ鐖D9-丙中的虛線所示），依題意，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)至軌跡與該圓弧相交處時(shí)撤去磁場(chǎng)，粒子群即可聚集于一點(diǎn)，t=（■+n）·T=（■+n）■，（n=0，1，2…）。

■

圖9 丙

關(guān)于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，上述試題的命制，實(shí)質(zhì)上就是將兩個(gè)經(jīng)典模型進(jìn)行整合的過(guò)程，這種在教學(xué)中大家都熟悉的做法，一方面維續(xù)了經(jīng)典，另一方面開(kāi)發(fā)了教學(xué)資源，開(kāi)拓了思考的新領(lǐng)域。

3 結(jié) 語(yǔ)

（1）隨著中學(xué)物理教學(xué)的發(fā)展，在每年高考之后都會(huì)出現(xiàn)一系列針對(duì)重難知識(shí)考查的經(jīng)典模型。事實(shí)上，絕大多數(shù)經(jīng)典模型都極具思維內(nèi)涵，而新一年的試題必將在考查方式上推陳出新。所以，這些經(jīng)典往往會(huì)很快過(guò)時(shí)并被遺忘。筆者以為，試題命制或備考復(fù)習(xí)時(shí)，推陳出新的同時(shí)應(yīng)適度兼顧經(jīng)典。

（2）同源帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題不僅對(duì)抽象思維有較高要求，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查程度也較深，但這類運(yùn)動(dòng)遵循很多經(jīng)典“物理性”規(guī)律，對(duì)這類核心規(guī)律的理解和應(yīng)用可將試題對(duì)抽象能力和數(shù)學(xué)能力的過(guò)高要求轉(zhuǎn)移到對(duì)分析、遷移能力的考查上，有助于中等學(xué)生突破學(xué)習(xí)困難。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭俊昌.巧用“動(dòng)態(tài)圓”處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[J].物理教學(xué)探討，2007，（11）：35.

（欄目編輯 鄧 磊）