孫慧敏 趙芝敏??

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“數(shù)學(xué)是思維的體操”.通過解題發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題.但是，過多、過密、盲目的解題，不僅不會促進(jìn)思維能力的發(fā)展，反而容易窒息智慧，降低興趣，產(chǎn)生疲勞感.

一些習(xí)題，看似平凡，實卻內(nèi)涵豐富.若能深入挖掘，從橫向、縱向、逆向、系統(tǒng)等多層次、多方向上進(jìn)行思考、演變、拓展，舉一反三，聞一知十，必可深化教學(xué)內(nèi)容，揭示問題實質(zhì)，促進(jìn)思維變通，發(fā)展創(chuàng)造能力，提高學(xué)習(xí)效率.本文以兩個案例說明.

案例1引例如圖1，在△ABC中，點E在AC上，點F在BC上.過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G.連接DE，若∠1=∠3，試證明：DE∥BC.

這是基礎(chǔ)年級學(xué)習(xí)《相交線與平行線》時最經(jīng)典的一個例題，廣泛存在于各種教輔資料中，能通過綜合運用平行線的性質(zhì)與判定定理解題達(dá)到融會貫通相關(guān)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)目的，并因此為許多老師所引用和喜歡.如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學(xué)功能？在教研教學(xué)中，我們做到了以下幾點：

1.變換設(shè)問方式

一方面，通過調(diào)換題設(shè)中的部分條件和結(jié)論的位置實現(xiàn)創(chuàng)新：

變式1：調(diào)換結(jié)論中“DE∥BC”和已知中“∠1=∠3”的位置，其它不變.

變式2：如圖1，在△ABC中，點E在AC上，點F在BC上，點G在AB上.過點C作CD⊥AB于點D.連接DE、FG，若DE∥BC，∠1=∠3，試證明：FG⊥AB.

另一方面，可以把題目中“CD⊥AB”和“FG⊥AB”這些線段間的特殊位置關(guān)系作一些調(diào)整實現(xiàn)創(chuàng)新：

變式3：引例中，將“過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G”調(diào)整為“∠CDB=∠FGB”，其它不變.

變式4：在變式1中，將“過點C作CD⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G”調(diào)整為“∠CDB=∠FGB”，其它不變.

變式5：在變式2中，將“過點C作CD⊥AB于點D”調(diào)整為“∠CDB=80°”，結(jié)論調(diào)整為“求∠FGB的大小”，其它不變.

2.變換圖形結(jié)構(gòu)

在圖1中，點F在BC上，有一定的隨意性，能否將之調(diào)整到“BC的延長線上”或“BC的反向延長線上”？

變式6～11：如圖2，題干分別同引例、變式1～5.

變式12～17：如圖3，題干分別同引例、變式1～5.

在圖1～3中，“CD”和“FG”的“平行關(guān)系”才是本質(zhì)！如此，能否把“點D在AB上”調(diào)整為“點D在BA的延長線上”或“點D在AB的延長線上”？

比如：保持點F在BC上，調(diào)整點D到BA的延長線上可以做以下提問：

變式18：如圖4，在△ABC中，點D在BA的延長線上，點E在CA的延長線上，點F在BC上，點G在AB上，連接CD、DE、FG.若CD∥FG，∠1與∠3互補，試證明：DE∥BC.

變式19：將變式18中已知中“∠1與∠3互補”和結(jié)論中“DE∥BC”調(diào)換位置，其它不變.

變式20：將變式18中已知中“CD∥FG”和結(jié)論中“DE∥BC”調(diào)換位置，其它不變.

變式21～23：如圖4，題干同變式3～5.

由此可見，每個圖形至少可以做六種提問方式.如果我們再作出圖5～9，還可以類似變式18～23找到變式24～53.到此，相當(dāng)于做了54個問題.

變化到此并未結(jié)束.如圖10，在圖1的基礎(chǔ)上，延長ED、FG交于點P，將線段BD向右平移，擦去圖中的虛線，留下的實線圖形，圖10你是否覺得似曾相識？

變式54：如圖10（實線部分），已知CD⊥D′B′于點N，PF⊥D′B′于點M.若∠1=∠2，試證明：PD′∥B′C.

變式55～59：題干類似于變式1～5，稍作調(diào)整即可.

點評如果能在課堂中生發(fā)出上述之變化，對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟數(shù)學(xué)的魅力，其效果是不言而喻的.如何在幾何解題教學(xué)中推陳出新，充分開發(fā)題目的教學(xué)功能？上述案例值得總結(jié)：

（1）幾何命題由題設(shè)和結(jié)論組成，對于圖1，引例和變式1，2的關(guān)系是在探尋命題的可逆性，而變式3，4，5則是通過強化或弱化條件上所做的一點小手術(shù)，沒有更多的拓展.

（2）幾何圖形中的直線形無非是由線以及線間所成的不同角度而構(gòu)成的，而構(gòu)成圖形的線或角往往帶有一定的隨意性，通過變化某些線的位置或某些角度，往往可以在一定程度上改變圖形的結(jié)構(gòu)或是視覺上的熟悉程度，從而使題目變得新穎起來或增加了一定的難度.

由案例1可見，若要通過調(diào)整線段來改變圖形結(jié)構(gòu)，往往先要確定調(diào)整哪一條線段（即調(diào)整對象），然后再決定如何調(diào)整它（即調(diào)整方法）.由于既可以調(diào)整點D的位置（有3個不同的位置類型），又可以調(diào)整點F的位置（也有3個不同的位置類型），總共組合出9種不同的圖形類型.而圖10的由來，則要復(fù)雜一些.不過正是由于圖10的出現(xiàn)才引發(fā)人們思考：之所以能變化出（至少）10個圖形來，是因為這所有圖形中均有兩組平行線！

案例2

引例為了鼓勵居民節(jié)約用水，某市自來水公司按如下方式對每戶月水費進(jìn)行計算：當(dāng)用水量不超過10噸時，每噸的收費標(biāo)準(zhǔn)相同；當(dāng)用水量超過10噸時，超出10噸的部分每噸收費標(biāo)準(zhǔn)也相同.下表是小明家1—4月份用水量和交費情況：

請根據(jù)表格中提供的信息，回答以下問題：

（1）若小明家5月份用水量為20噸，則應(yīng)繳水費多少元？

（2）若小明家6月份交納水費29元，則小明家6月份用水多少噸？

此例也是常見問題，廣泛存在于各種教輔資料中.如何推陳出新，充分挖掘該題目的教學(xué)功能？在教研教學(xué)中，我們做到了以下幾點：

變式1：刪去表格中的2月份和4月份信息，其它不變；

變式2：刪去表格中的2月份和3月份信息，其它不變；

變式3：刪去表格中的1月份和4月份信息，其它不變；

變式4：刪去表格中的1月份和3月份信息，其它不變.

上述變式并沒有改變題目的思維量，只是刪掉了部分冗余信息.

變式5：刪去表格中的1月份和2月份信息，其它不變.

這種變式已經(jīng)不能通過簡單讀表得到月用水量在10噸以內(nèi)部分的收費標(biāo)準(zhǔn)，而需要通過布列方程（組）找出10噸以內(nèi)部分和10噸以上部分的收費標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而完成題目解答.

變式6：將“當(dāng)用水量不超過10噸時，每噸的收費標(biāo)準(zhǔn)相同；當(dāng)用水量超過10噸時，超出10噸的部分每噸收費標(biāo)準(zhǔn)也相同”中的所有“10噸”改為“a噸”，其它不變.

這種變式大大提升了思維含量，題目考查的厚重度驟然提升.解決時需要結(jié)合表格對a分段討論，布列方程（組），取舍各種情形，才能最終綜合得到10噸以內(nèi)部分和10噸以上部分的收費標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而完成題目解答.

變式7～12：將變式1～6中以表格形式給予信息的方式改變?yōu)橐灾鶢顖D方式（圖形略）給予信息，其它不變；

變式13～18：將變式1～6中以表格形式給予信息的方式改變?yōu)橐哉劬€圖方式（圖形略）給予信息，其它不變.

變式19～36：將變式1～8中增加新的設(shè)問，如找到月應(yīng)繳水費與月用水量之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出圖象等，其它不變.

點評通過此例可以發(fā)現(xiàn)有些代數(shù)題可以從以下角度進(jìn)行變式：

（1）刪減某些信息，題目是否可解？比如，刪去表格中的3月份和4月份信息，其它不變，則題目不可解；而變式6相對于原題，不僅可解，難度和思維量上也增加不少，題目對思維品質(zhì)考查的厚重度有所增強.正因為原題有冗余條件，才使善于變式教學(xué)的教師抓住了“化腐朽為神奇”的機會.

（2）調(diào)整信息給予方式.如變式7～18，把表格信息變?yōu)閳D形、圖象信息，可以考查學(xué)生提取有用信息的能力，讓表格、圖象、圖形等象自然語言和式子一樣說話.

（3）增加或改變設(shè)問方式.如變式19～36，要求學(xué)生建構(gòu)函數(shù)關(guān)系式，畫出圖象，通過圖象直觀分析信息等.

兩個變式教學(xué)的案例，一個在幾何上變出精彩，一個在代數(shù)上變出花樣，讓數(shù)學(xué)的魅力彰顯，讓教學(xué)的藝術(shù)升華.仔細(xì)體味其中玄妙，必有益于未來數(shù)學(xué)教學(xué)效果之提升.

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