司志本??

數(shù)學(xué)無(wú)處不在，此話不假.只要你稍加留心就可以發(fā)現(xiàn)，我們身邊的許多事物，都與數(shù)學(xué)有關(guān)，或者說(shuō)都能給出數(shù)學(xué)的解釋.實(shí)際上，從一些事物中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅可以訓(xùn)練我們的數(shù)感，而且還可以提高我們的思維能力.本文選取兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明.1電梯里的數(shù)學(xué)問(wèn)題

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人們的生活水平在不斷提高.就居住條件而言，與前些年相比，可以說(shuō)發(fā)生了翻天覆地的變化，即使不很發(fā)達(dá)的城鎮(zhèn)，現(xiàn)在也是高樓林立，鱗次櫛比.住在裝有電梯的高樓里，在每天若干次的上樓下樓的過(guò)程中，你想過(guò)沒(méi)有，在這狹窄的電梯里，有許多值得我們思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例1（上樓問(wèn)題）有一棟高為27層的高層住宅樓，假設(shè)電梯上升和下降都是勻速的，速度都是2秒/每層.要想從任何一層（頂樓27層除外）乘電梯上到另外的任何一層，一共有多少種選擇方案？

分析為了敘述方便，我們把上電梯的樓層說(shuō)成“走進(jìn)電梯”的樓層，把到達(dá)的樓層說(shuō)成“走出電梯”的樓層.

從1樓“走進(jìn)電梯”，可以從2樓到27樓中的任何一層“走出電梯”，一共有26種選擇方案；同樣的道理，從2樓“走進(jìn)電梯”，可以從3樓到27樓中的任何一層“走出電梯”，一共有25種選擇方案；依此類推，當(dāng)從26樓“走進(jìn)電梯”時(shí)，只能從27樓“走出電梯”，即只有1種選擇方案.因?yàn)?/p>

26+25+24+…+1=26+12×26=351.

所以，要想從這棟樓的任何一層乘電梯上到另外的任何一層

一共有351種選擇方案.

例2（上樓用時(shí)問(wèn)題）在“上樓問(wèn)題”中，如果實(shí)現(xiàn)所有的上樓方案，那么一共需要多長(zhǎng)時(shí)間（走進(jìn)樓梯和走出樓梯的時(shí)間忽略不計(jì)）？

分析第一類情況：從1樓“走進(jìn)電梯”.從1樓“走進(jìn)電梯”，可以從2樓到27樓中的任何一層“走出電梯”.

從1樓“走進(jìn)電梯”，從2樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)1層樓，用時(shí)2秒；

從1樓“走進(jìn)電梯”，從3樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)2層樓，用時(shí)2×2=4秒；

從1樓“走進(jìn)電梯”，從4樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)3層樓，用時(shí)2×3=6秒；

以此類推，從1樓“走進(jìn)電梯”，從27樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)26層樓，用時(shí)2×26=52秒.

所以，對(duì)于從1樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時(shí)

2（1+2+3+…+26）=2×26+12×26=27×26=702（秒）.

第二類情況：從2樓“走進(jìn)電梯”.從2樓“走進(jìn)電梯”，可以從3樓到27樓中的任何一層“走出電梯”.

從2樓“走進(jìn)電梯”，從3樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)1層樓，用時(shí)2秒；

從2樓“走進(jìn)電梯”，從4樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)2層樓，用時(shí)2×2=4秒；

從2樓“走進(jìn)電梯”，從5樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)3層樓，用時(shí)2×3=6秒；

依此類推，從2樓“走進(jìn)電梯”，從27樓“走出電梯”，經(jīng)過(guò)25層樓，用時(shí)2×25=50秒.

所以，對(duì)于從2樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時(shí)

2（1+2+3+…+25）=2×25+12×25=26×25=650（秒）.

同理可得，對(duì)于從3樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時(shí)

2（1+2+3+…+24）=2×24+12×24=25×24=600（秒）.

對(duì)于從4樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時(shí)

2（1+2+3+…+23）=2×23+12×23=24×23=552（秒）.

…….

對(duì)于從26樓“走進(jìn)電梯”這一類情況，一共用時(shí)2×1=2（秒）.

所以，如果實(shí)現(xiàn)所有的上樓方案，一共需要

27×26+26×25+25×24+…+3×2+2×1=6552（1）

秒的時(shí)間.

關(guān)于（1）式的計(jì)算，待同學(xué)們學(xué)過(guò)排列組合知識(shí)以后，可以很容易計(jì)算出來(lái).在此同學(xué)們不妨思考一下，你能用所學(xué)的知識(shí)求出這個(gè)和嗎？

仿照上面的討論，還可以提出類似的“下樓問(wèn)題”及“下樓用時(shí)問(wèn)題”，請(qǐng)讀者自行討論.2“2048”游戲中的運(yùn)算問(wèn)題

手機(jī)上有一個(gè)叫“2048”的游戲.游戲規(guī)則是這樣的：沿著水平方向或鉛直方向滑動(dòng)手機(jī)顯示屏，會(huì)出現(xiàn)若干個(gè)2.若出現(xiàn)兩個(gè)2水平相鄰，則橫向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)2變成一個(gè)4（這相當(dāng)于做一個(gè)加法運(yùn)算：2+2=4），若出現(xiàn)兩個(gè)2鉛直相鄰，則豎向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)2也變成一個(gè)4；顯示屏出現(xiàn)4以后，若出現(xiàn)兩個(gè)4水平相鄰，則橫向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)4變成一個(gè)8（這相當(dāng)于做一個(gè)加法運(yùn)算：4+4=8），若出現(xiàn)兩個(gè)4鉛直相鄰，則豎向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)4也變成一個(gè)8；以此類推，若出現(xiàn)兩個(gè)1024水平相鄰，則橫向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)1024變成一個(gè)2048（這相當(dāng)于做一個(gè)加法運(yùn)算：1024+1024=2048），若出現(xiàn)兩個(gè)1024鉛直相鄰，則豎向滑動(dòng)顯示屏，兩個(gè)1024也變成一個(gè)2048.出現(xiàn)一個(gè)2048以后，游戲結(jié)束.這就是所謂的“2048”的游戲.

至于這個(gè)游戲?qū)﹂_(kāi)發(fā)人們的智力，訓(xùn)練人們的思維能力有多少益處，我們暫且不論.我們提出的問(wèn)題是：要想完成這個(gè)游戲，即在顯示屏上出現(xiàn)一個(gè)2048這個(gè)數(shù)，至少需要多少次運(yùn)算？

我們先列出下列事實(shí)：

一個(gè)2048由兩個(gè)1024構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：1024+1024=2048；

一個(gè)1024由兩個(gè)562構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：512+512=1024；

一個(gè)512由兩個(gè)256構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：256+256=512；

一個(gè)256由兩個(gè)128構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：128+128=256；

一個(gè)128由兩個(gè)64構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：64+64=128；

一個(gè)64由兩個(gè)32構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：32+32=64；

一個(gè)32由兩個(gè)16構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：16+16=32；

一個(gè)16由兩個(gè)8構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：8+8=16；

一個(gè)8由兩個(gè)4構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：4+4=8；

一個(gè)4由兩個(gè)2構(gòu)成，即需要一個(gè)算式：2+2=4.

現(xiàn)在我們討論一下上面的每一個(gè)算式出現(xiàn)的次數(shù).

算式1024+1024=2048只要出現(xiàn)1次，就完成了這個(gè)游戲，所以，算式1024+1024=2048只出現(xiàn)1次；

因?yàn)樗闶?024+1024=2048需要2個(gè)1024，所以，算式512+512=1024需要出現(xiàn)2次；

同理，算式256+256=512需要出現(xiàn)22=4次；

算式128+128=256需要出現(xiàn)23=8次；

算式64+64=128需要出現(xiàn)24=16次；

算式32+32=64需要出現(xiàn)24=32次；

算式16+16=32需要出現(xiàn)25=64次；

算式8+8=16需要出現(xiàn)26=128次；

算式4+4=8需要出現(xiàn)27=256次；

算式2+2=4需要出現(xiàn)28=512次；

由此不難得出，要想完成“2048”這個(gè)游戲，至少需要出現(xiàn)的算式個(gè)數(shù)為

1+2+22+23+24+…+28

=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512

=1023.

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，運(yùn)用于生活.在我們的日常生活中，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，只要我們善于觀察、善于思考，就可以隨時(shí)隨地提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能夠運(yùn)用我們所掌握的知識(shí)和方法解決一些問(wèn)題.養(yǎng)成這樣的良好習(xí)慣，對(duì)于提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是十分有益的.作者簡(jiǎn)介司志本，男，1959年11月生，河北興隆人，教授.主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作.曾先后被授予河北省優(yōu)秀教師、國(guó)家曾憲梓教育基金會(huì)教師獎(jiǎng)；有150余篇數(shù)學(xué)論文在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等十多種雜志上公開(kāi)發(fā)表；主編或參編了9部數(shù)學(xué)及相關(guān)書(shū)籍.