王 軍閆鋒剛馬文潔喬曉林

①(哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院 哈爾濱 150001)

②(哈爾濱工業(yè)大學(威海)信息與電氣工程學院 威海 264209)

基于Laplace先驗的Bayes壓縮感知波達方向估計

王 軍①②閆鋒剛*②馬文潔②喬曉林①②

①(哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院 哈爾濱 150001)

②(哈爾濱工業(yè)大學(威海)信息與電氣工程學院 威海 264209)

基于多任務貝葉斯壓縮感知(BCS)理論，該文提出一種使用Laplace先驗的目標到達角(DOA)估計算法。該算法利用陣元輸出為觀測值，將DOA估計轉(zhuǎn)化為Laplace先驗約束下的BCS求解稀疏信號問題，使用Laplace先驗獲得比傳統(tǒng)BCS更好的稀疏性。該算法不需要信源個數(shù)的先驗信息和進行特征值分解，能夠適應相干信源場景，仿真結(jié)果表明該算法具有比傳統(tǒng)BCS方法和經(jīng)典MUSIC算法更好的DOA估計性能。

目標到達角估計；多任務；Bayes壓縮感知；Laplace先驗

1 引言

信號的波達角(Direction-Of-Arrival, DOA)估計在雷達、聲吶、無線通信等領域有重要應用。一般地，DOA估計問題具有空域信號稀疏特征，滿足壓縮感知理論(Compressive Sensing, CS)[1,2]的應用條件，基于CS的DOA估計得到國內(nèi)外學者的關(guān)注和研究。

利用CS理論，文獻[3,4]基于單測量向量模型、文獻[5,6]基于多測量向量模型實現(xiàn)了DOA估計，仿真表明基于CS的DOA估計具有比多重信號分類(MUltiple SIgnals Classification, MUSIC)等經(jīng)典算法更好的性能，特別是在低信噪比和相干信源場景時性能改善更明顯。文獻[7]基于CS理論利用兩個正交子陣的互相關(guān)信息獲得比互相關(guān)矩陣-旋轉(zhuǎn)不變子空間信號參數(shù)估計算法(Cross Correlation Matrix-Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, CCM-ESPRIT)更好的估計性能；文獻[8]對空間相關(guān)信源建立塊-稀疏信號模型，同時獲得了中心DOA和相關(guān)信源角度跨度。文獻[9]在目標的距離-多普勒單元進行CS稀疏重構(gòu)，獲得目標的超分辨DOA估計；文獻[10]利用壓縮感知-MUSIC算法(CS-MUSIC)在快拍數(shù)少于信源數(shù)和相干信源場景下獲得高分辨DOA估計。文獻[11]基于CS理論解決了分布式天線陣列引起的角度模糊問題；文獻[12]的波束形成算法在低快拍下可有效抑制相干、非相干干擾。

貝葉斯壓縮感知(Bayes CS, BCS)[13]將CS中信號重構(gòu)轉(zhuǎn)化為求解稀疏先驗約束下的信號后驗概率問題，具有比傳統(tǒng)CS更好的性能。文獻[14]和文獻[15]針對單任務和多任務觀測模型，提出基于Laplace先驗的BCS重構(gòu)理論，獲得比傳統(tǒng)BCS[13]更好的重構(gòu)性能。文獻[16]提出基于BCS的DOA估計，仿真表明其性能優(yōu)于ESPRIT算法和求根MUSIC算法。本文根據(jù)多快拍DOA估計中觀測矩陣不變特征，基于文獻[14]，給出一種觀測矩陣不變時基于Laplace先驗的多任務CS重構(gòu)方法(Multi-Task CS using LAplace prior, MTCS-LAP)，對文獻[15]中方法進行改進并消除了文獻[15]中的迭代近似誤差；然后將MTCS-LAP應用到DOA估計中，獲得了比基于BCS的DOA估計方法和經(jīng)典MUSIC算法更優(yōu)的性能。

2 MTCS-LAP算法

2.1 MTCS-LAP分層模型

式中ωi∈?N,i=1,2,…,W 代表W個共享支撐集但取值不同的稀疏信號；Φ∈?M×N為多任務中共享的觀測矩陣；ni∈?M,i=1,2,…,W 代表觀測噪聲。設{ωi}具有高斯先驗[14]：

設多任務觀測模型為其中ωi,j,i=1,2,…,W;j=1,2,…,N 代表ωi的第j個元素。在式(2)中，不同ωi中第j個相同位置元素ωi,j的概率密度受同一個參數(shù)γj控制，這種共享參數(shù)設置為多任務中不同的稀疏信號{ωi}建立關(guān)聯(lián)。式(2)中γj=為ωi,j,j=1,2,…,N的方差，稱γ=[γ1, γ2,…,γN]T為超參數(shù)，且服從Gamma分布：

其中Gamma(γj|1,λ/2)=λ/2·exp(?λγj/2),λ＞0。根據(jù)式(2)和式(3)可得{ωi}的邊緣概率：

如式(4)所示，{ωi}服從Laplace先驗。相對于BCS[13], ωi服從Laplace分布使其具有更好的稀疏特征。對λ指定Gamma先驗

設如式(1)觀測模型中噪聲ni,i=1,2,…,W 服從高斯分布：

式中c,d為控制參數(shù)。由式(1)～式(6)定義的基于Laplace先驗的BCS分層模型如圖1所示。

圖1 基于Laplace先驗的多任務BCS分層模型

圖1中Φm·代表Φ的第m行，ti,m和ni,m分別代表ti和ni的第m∈[1,M]個元素。

根據(jù)式(1)線性模型，由貝葉斯估計理論可得{ωi}的后驗為多變量高斯分布：

式中μi∈?N和Σi∈?N×N分別為ωi的后驗均值和后驗協(xié)方差：

其中C=(β?1IM+ΦΛ?1ΦT)。關(guān)于β,γ,λ的對數(shù)似然Lmt(β,γ,λ)=lnp(β,γ,λ,{ti})為

式中l(wèi)n(·)代表取自然對數(shù)。舍棄Lmt(β,γ,λ)中與γ無關(guān)的項，可得關(guān)于γ的似然函數(shù)：式中用到了和。令dLmt(γ)/dγj=0，可得γj,j=1,2,…,N 的估計為

這種在多任務觀測下，通過圖1所示分層概率模型為稀疏信號{ωi}施加如式(4)所示Laplace先驗約束的BCS重構(gòu)稱為基于Laplace先驗的多任務壓縮感知(MTCS-LAP)。

2.2 MTCS-LAP快速算法

如上節(jié)迭代求解，在每次迭代中都要計算式(9)所示N維矩陣求逆，計算復雜度高。為降低計算量，可通過快速算法在每次迭代中只更新一個參數(shù)γj∈γ，不對γ整體更新。快速算法由空模型(γ=0)開始，通過迭代不斷向模型中添加γj，等價于向觀測模型中不斷添加Φ的基向量?j，這里?j代表Φ的第j列。

式(11)中的矩陣C可重寫為

式中第1項是僅與γk有關(guān)的項，第2項C?k是與γk無關(guān)的項。將式(17)代入式(11)可得關(guān)于γ的似然函數(shù)：

其中L(γ?k)代表與γk無關(guān)的項，?(γk)代表僅與γk有關(guān)的項。定義：

sk在多任務中不變，而qi,k在多任務中與每個觀測ti有關(guān)。式(20)中?(γk)可重寫為

因dLmt(γ)/dγj=d?(γk)/d γj，

在文獻[15]中，利用近似式sk?，將分母做了近似處理(γ+sk)2≈。在式(24)中，因多任務中共享觀測矩陣Φ所以分母1+γksk中的sk與觀測{ti}無關(guān)，式(24)不需近似，經(jīng)過通分變?yōu)?/p>

令d?(γk)/dγk=0并根據(jù)γk≥0的性質(zhì)，可得γk為

表1 MTCS-LAP快速算法步驟

3 基于MTCS-LAP的DOA估計

如圖2均勻線陣，設xm=(m?1)d,m=1,2,…, M'為陣元位置，其中d=λ/2,λ為入射信號波長。對入射角為θ的遠場信號，導向矢量為a(θ)=2πsinθ/λ。將入射空間劃分為N'個離散角度Θ= {θn,n=1,2,…,N'}，設在Θ上的入射信號為si= [si(1),si(2),…,si(N')]T,i=1,2,…,W ，其中W為快拍數(shù)。陣列關(guān)于{si}的輸出為

在DOA估計中，在包含多個快拍的觀測時間段內(nèi)可假設信源空間位置不變，多個快拍的陣列輸出可認為是對空間信源的多任務觀測，可通過MTCS-LAP算法實現(xiàn)對信源的DOA估計。

圖2 均勻線陣空間示意圖

式(28)中yi∈?M′和εi∈?M′,i=1,2,…,W分別為陣列輸出和觀測噪聲；A∈?M′×N′為陣列流形。設Θ中僅存在K'?N'個入射信號，即si0=K'，稱{si}Wi=1為稀疏目標場景，·0代表?0-范數(shù)。為使用BCS[13]理論，將觀測式(28)轉(zhuǎn)化為實數(shù)形式：

其中ti=[Re{yi},Im{yi}]T為M=2M'維實數(shù)觀測；ni=[Re{εi},Im{εi}]T,ωi=[Re{si},Im{si}]T分別為N=2N'維實數(shù)噪聲和信號，其中實信號ωi的稀疏度為K=2K'。矩陣Φ∈?M×N是實數(shù)陣列流形：其中Re{·},Im{·}為取實部、取虛部。如式(30)所示，{ωi}代表W個快拍中的稀疏目標場景，根據(jù)入射信源空間位置不變假設可知{ωi}是共支撐集的稀疏信號，滿足MTCS-LAP算法條件。設經(jīng)過MTCSLAP快速算法得到后驗均值估計=μi,i=1, 2,…,W，則復觀測模型式(28)中{si}的估計為

4 仿真分析

本節(jié)通過仿真分析基于MTCS-LAP的DOA估計性能，將經(jīng)典MUSIC算法和基于BCS的DOA估計算法[16]作為比較基準。在仿真中，設信源角度空間Θ={?90°,?89°,…,89°},N'=180。定義陣元數(shù)M'、快拍數(shù)W、信源數(shù)K'和信源信噪比SNR取固定值時為一個仿真設置St={M',W,K',SNR}，對于一個St進行Q=500次仿真評估此St下MTCSLAP的DOA估計性能。在每次獨立仿真中，在Θ上隨機取K'個目標，令K'個目標SNR取相同值。一個St下信源角度估計的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)為

4.1 單快拍DOA估計

實驗1 單快拍觀測時，MTCS-LAP在不同信噪比下的DOA估計性能。單快拍是MTCS-LAP取任務數(shù)W=1的情形。實驗參數(shù)：M'=10,W=1, K'=2。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨SNR變化的性能如圖3所示：隨信噪比增加，MTCS-LAP算法的RMSE變??；相同信噪比下MTCS-LAP的RMSE比傳統(tǒng)BCS算法小；MTCS-LAP可實現(xiàn)單快拍的DOA估計。

實驗2 單快拍觀測時，MTCS-LAP在不同陣元數(shù)下的DOA估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'∈[4,20]，快拍數(shù)W=1，信源數(shù)K'=2, SNR=6 dB。保持W,K',SNR 不變，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化時的性能如圖4：隨陣元數(shù)增加，MTCS-LAP算法的RMSE變??；相同陣元數(shù)時，MTCS-LAP算法的RMSE比BCS算法小。綜合實驗1，實驗2結(jié)果，單快拍觀測時，MTCS-LAP算法的DOA估計性能優(yōu)于BCS算法。

4.2 多快拍DOA估計

實驗3 多快拍時，MTCS-LAP在不同信噪比下的DOA估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=2。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨SNR變化時的估計性能如圖5所示。多快拍時，隨信噪比增加MTCS-LAP算法的RMSE減??；相同信噪比下，3種算法的RMSE大小順序為：MTCS-LAP＜BCS＜MUSIC, MTCS-LAP算法具有比BCS和MUSIC算法更小的角度估計誤差。

實驗4 多快拍時，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化時的DOA估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'∈[4,20]，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=2, SNR=6 dB。保持W,K',SNR 不變，MTCS-LAP隨陣元數(shù)變化的性能如圖6：隨陣元數(shù)M'的增加，MTCS-LAP算法的RMSE減??；陣元數(shù)相同時，3種算法RMSE大小順序為MTCS-LAP＜BCS＜MUSIC。

實驗5 多快拍時，MTCS-LAP隨快拍數(shù)變化時的DOA估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W∈[20,180]，信源數(shù)K'=2，信噪比SNR= 6 dB。保持M',K',SNR不變，MTCS-LAP隨快拍數(shù)變化時的性能如圖7：隨著快拍數(shù)增加，MTCSLAP的RMSE減?。豢炫臄?shù)相同時，3種算法的RMSE大小順序為MTCS-LAP＜BCS＜MUSIC。

實驗6 多快拍時，MTCS-LAP在不同信源DOA時的估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50，信源數(shù)K'=1, SNR=6 dB。保持M',W,K',SNR參數(shù)不變，仿真得到MTCS-LAP在信源角度區(qū)間θ∈[0°,85°]的估計性能如圖8所示：隨信源DOA變大，MTCS-LAP的估計性能下降；隨信源DOA的變大，MTCS-LAP的RMSE增加速率變快；在相同DOA下，MTCS-LAP的性能優(yōu)于MUSIC和BCS。

4.3 相干信源場景

實驗7 兩個相干信源場景下，MTCS-LAP算法的估計性能。實驗參數(shù)：陣元數(shù)M'=10，快拍數(shù)W=50；設Θ上存在K'=2個相干信源。保持M',W,K'不變，MTCS-LAP隨信噪比變化時的性能如圖9所示。

從圖9可以看出：在相干信源場景下，隨SNR增加MTCS-LAP的RMSE降低；相同信噪比下各算法RMSE大小順序為MTCS-LAP＜BCS, MTCSLAP算法優(yōu)于BCS算法；CS理論框架下的MTCSLAP和BCS可以對相干信源場景實現(xiàn)有效的DOA估計。

圖3 單快拍MTCS-LAP算法性能(不同信噪比)

圖4 單快拍MTCS-LAP算法性能 (不同陣元數(shù))

圖5 多快拍MTCS-LAP算法 DOA估計性能(不同信噪比)

圖8 MTCS-LAP在不同 DOA時的估計性能

圖6 多快拍MTCS-LAP算法DOA估計性能(不同陣元數(shù))

圖7 多快拍MTCS-LAP算法 DOA估計性能(不同快拍數(shù))

圖9 MTCS-LAP在相干信源場景下的性能

圖10 MTCS-LAP對相干信源的一次重構(gòu)結(jié)果

如圖10是在一次仿真中MTCS-LAP對兩個相干信源進行DOA估計的結(jié)果。兩個信源角度分別為4°和57°，信噪比同為SNR=6 dB。由圖10可知：對于相干信源場景，MUSIC算法難以得到目標真實DOA；而CS理論框架下的的BCS和MTCS-LAP能有效估計出信源真實角度。

通過上述實驗可知，基于Laplace先驗的MTCS-LAP在DOA估計中性能優(yōu)于BCS，明顯優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法；MTCS-LAP能夠?qū)崿F(xiàn)單快拍DOA估計，克服經(jīng)典子空間方法對快拍數(shù)的要求；在相干信源場景下MTCS-LAP能有效實現(xiàn)信源DOA估計，估計性能比BCS好，克服了經(jīng)典MUSIC算法對相干信源場景的DOA估計失效問題；MTCS-LAP進行DOA估計時不需要信源數(shù)先驗信息，提高了算法的適應性。

5 結(jié)束語

基于BCS理論，本文首先給出了基于Laplace先驗的多任務BCS重構(gòu)算法MTCS-LAP，得到了比BCS更稀疏的重構(gòu)性能；然后提出一種利用MTCS-LAP的DOA估計算法。仿真實驗表明：MTCS-LAP可根據(jù)單個快拍觀測進行DOA估計，估計性能優(yōu)于傳統(tǒng)BCS方法，解決了經(jīng)典MUSIC算法不能根據(jù)單個快拍進行DOA估計的難題；多快拍觀測時MTCS-LAP的DOA估計性能優(yōu)于BCS算法，明顯優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法，且不需信源個數(shù)的先驗信息；MTCS-LAP能在相干信源場景下實現(xiàn)有效的DOA估計，解決了經(jīng)典MUSIC算法不能適應相干信源場景的問題。

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王 軍： 男，1976年生，博士生，講師，研究方向為壓縮感知雷達信號處理、雷達對抗理論.

閆鋒剛： 男，1982年生，博士，講師，研究方向為雷達對抗、陣列信號處理.

馬文潔： 女，1988年生，碩士生，研究方向為陣列信號處理.

喬曉林： 男，1948年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為新體制雷達技術(shù)、極化信號處理.

Direction-of-arrival Estimation Using Laplace Prior Based on Bayes Compressive Sensing

Wang Jun①②Yan Feng-gang②Ma Wen-jie②Qiao Xiao-lin①②

①(School of Electronics and Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

②(School of Information and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

Based on the multi-task Bayes Compressive Sensing (BCS), a Direction-Of-Arrival (DOA) estimation strategy using Laplace prior is proposed. The DOA estimation is formulated as the reconstruction of sparse signal constrained by the Laplace prior through the BCS framework. The outputs of array sensors are directly employed as the observations, and the exploiting of Laplace prior leads to better spare property than the conventional BCS method. The proposed method needs not the prior information of the number of sources, needs not the eigenvalue decomposition and can work in the coherent signal scenario. The numerical experiments show that the proposed method has the better performance than the conventional BCS and MUSIC algorithm on the DOA estimation.

Directions-Of-Arrival (DOA) estimation; Multi-task; Bayes Compressive Sensing (BCS); Laplace prior

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)04-0817-07

10.11999/JEIT140937

2014-07-15收到，2014-12-05改回

山東省自然科學基金(ZR2014FQ003)和國家自然科學基金(61371181)資助課題

*通信作者：閆鋒剛 yfglion@163.com